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\title{TP Modulation d'amplitude}
\author{Ewen Le Bihan, Gaya Ait-Hamouda}
\date{2021-10-01}

\begin{document}
\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Modulation d'amplitude}
\subsection{Modulation sans porteuse: signal modulant sans composante continue}
\subsubsection{Prédétermination théorique}

\paragraph{Allure du signal produit}

Soit $f_p$ la fréquence de la porteuse et $f_m$ celle du signal modulant.

 \begin{align*}
	 s(t) &= \frac{\sin(2\pi f_p t) \sin(2\pi f_m t)}{10} \\
	      &= \frac{1}{10} \frac{ \cos(2 \pi(f_p - f_m)t) - \cos(2 \pi(f_p + f_m)t) }{2}  \\
\end{align*}

On s'attend donc à un signal:
\begin{itemize}
	\item Déphasé de $-\frac{\pi}{2}$ (dû à l'apparition de $\cos$ au lieu des $\sin$)
	\item Avec une amplitude $A$ divisée par 20
\end{itemize}

\vspace{5cm}

\paragraph{Spectre théorique}

En ce qui concerne le spectre, on s'attend à observer deux raies:
\begin{itemize}
	\item à $f_p+f_m$
	\item à $f_p-f_m$
\end{itemize}

\vspace{5cm}

\paragraph{Justification du nom}

Le signal est transmis sans en changer l'amplitude: \emph{la porteuse est de même amplitude que le modulant}, d'où le nom.

\subsubsection{Mise en \oe uvre expérimentale}

On choisi $ \begin{cases}
	f_p &= \SI{1}{kHz} \\
	f_m &= \SI{100}{Hz} \\
	A &= \SI{2}{V} \\
\end{cases} $

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{1 le vrai.png}
	\caption{Signal et spectre en amplitude de $s(t)$}
	\label{fig:1-le-vrai}
\end{figure}

\paragraph{Analyse des résultats}
	On obtient un signal à deux fréquences prédominantes:
	\begin{itemize}
		\item $\SI{0.9}{kHz} = f_p - f_m$
		\item $\SI{1.1}{kHz} = f_p + f_m$
	\end{itemize}

	L'amplitude est de $\SI{0.5}{V} \gg \frac{2}{20}$, ce qui est trop élevé.

\subsection{Modulation avec porteuse: signal modulant avec une composante continue}

\subsubsection{Prédétermination théorique}

% \begin{align*}
% 	S(t) &= \frac{1}{10} s_m(t) s_p(t) \\
% 	     &= \frac{1}{10}\left( S_0 S_p \cos(2\pi f_p t) + S_m S_p \frac{1}{2} \left[ \cos(2\pi(f_p + f_m)t) + \cos(2\pi(f_p-f_m)t) \right] \right)  \\
% \end{align*}


\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{ccc}
	\includegraphics[width=0.3\textwidth]{allure-sousmodulation.png}
	& \includegraphics[width=0.3\textwidth]{allure-sansmodulation.png}
	& \includegraphics[width=0.3\textwidth]{allure-surmodulation.png} \\
	Cas $m<1$ 
	& Cas $m=1$
	& Cas $m>1$  \\
	(sous-modulation)
	& (sans porteuse)
	& (surmodulation)
\end{tabular}
\caption{Conditions sur le taux de modulation}
\end{table}

\paragraph{}
Dans le cas $m<1$, une partie de l'information (la partie du signal qui se retrouve sous l'axe temporel) sera perdue lors d'une détection d'enveloppe \emph{supérieure}.

L'information sera rendue correctement dans le cas \fbox{ $m\ge 1$ }

\paragraph{Etude spectrale du signal modulé}

 \paragraph{Nom} On appelle cette modulation \emph{surmodulation} car l'amplitude est augmentée.

\paragraph{Puissances}

\begin{align*}
	\left<s_m(t) \right> &= \sqrt{S_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} S_m_n^2}  \\
\end{align*}


\vspace{5cm}

\begin{align*}
	\left<s_p(t) \right> &= \frac{1}{\sqrt{2} } \sqrt{ \sum_{n=0}^{+\infty} S_p_n^2} \\
\end{align*}
\vspace{5cm}

\paragraph{Spectre avec signal continu}

\vspace{5cm}

\paragraph{Largeur relative}

\vspace{5cm}

\paragraph{Vitesse de propagation}

Si la porteuse possède une fréquence dont la vitesse de propagation diffère significativement de celle du modulant,
l'information pourrait être perdue, à cause d'une déformation du signal trop importante.

\subsubsection{Mise en \oe uvre expérimentale}


\begin{table}[H]
	\centering
	\begin{tabular}{cc}
		\includegraphics[width=0.5\textwidth]{surrmodulation.png}
		& \includegraphics[width=0.5\textwidth]{sousmodulation.png} \\
		Surmodulation ($m>1$)
		& Sous-modulation ($m<1$)
	\end{tabular}
	%\caption{Sous-modulation et surmodulation}
	\label{tab:surmodulation-sousmodulation}
\end{table}


\paragraph{Analyse}
En cas de sous-modulation, on observe un rebroussement du signal à l'extrémité d'une période
(une courte partie est inversée symmétriquement à l'axe horizontal).


\vspace{2cm}

\subsubsection{Signal créneau}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2.2.2--creneau_modulant.png}
	\caption{Signal modulant créneau}
	\label{fig:signal-modulant-creneau}
\end{figure}

On observe de nombreuses raies parasites dans le spectre en fréquences,
dûes à la nature discontinue du signal carré.

\subsection{Démodulation par détection d'enveloppe (détection asynchrone)}

\subsubsection{Prédétermination théorique}

\paragraph{}
Le cas de surmodulation $(m>1)$ permet la récupération du signal.

\paragraph{Diode passante}

Quand la diode est passante, le condensateur se charge et  $u(t)$ suit $s(t)$
\[
	u(t) = s(t)
\] 


\paragraph{Diode bloquée}

Le condensateur se décharge progressivement jusqu'à ce que la diode soit de nouveau passante

\paragraph{Condition sur $RC$}

\begin{description}
	\item[Si $RC$ trop grand] La diode condensateur se décharge trop vite, et
		la détection d'enveloppe supérieure échoue.

	\item[Si $RC$ trop faible] $u(t)$ restera très souvent supérieur à $s(t)$, et
		la diode ne sera quasiment jamais passante, on perd toute l'information
\end{description}

Expérimentalement, on obtient un résultat satisfaisant avec $R= \SI{1,46}{M\Omega}$, et la double inégalité est

\begin{align*}
	\le RC \le 
\end{align*}


\subsubsection{Réalisation expérimentale}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{2.3.2-1.png}
	\caption{Démodulation d'un signal à $\SI{5}{kHz}$}
	\label{fig:demod-5khz}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.7\textwidth]{2.3.2-50kilos.png}
	\caption{Démodulation d'un signal à $\SI{50}{kHz}$}
	\label{fig:demod-5khz}
\end{figure}

On remarque que la fréquence du signal démodulé correspond à celle du modulant, ce qui signifie que le signal a été correctement démodulé.
On observe également une importante différence d'amplitude --- une grande partie est dûe à la surmodulation (et à la divison par 10 du multiplieur), et le reste provient du décalage de tension $u_D$ de la diode.

\subsection{Démodulation par détection synchrone}
\subsubsection{Prédétermination théorique}

\vfill


\subsubsection{Mise en \oe uvre expérimentale}

\begin{center}
\vspace{1cm}
	--- On n'a pas eu le temps ---
\vspace{1cm}
\end{center}






\end{document}
