\input{../.headers/cours.tex}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Bilan sur les structures alg\'ebriques.}}\\
\end{center}

\section{Structures}
\subsection{Groupes}
\dfn[Groupe]
Un groupe est un couple $(G,\cdot)$, o\`u $G$ est un ensemble et $\cdot : G\times G \too G$ une {\bf loi de composition interne}, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $\cdot$ est associative, \cad~: $\forall (a,b,c)\in G^3, a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$,
\item $\cdot$ a un \'el\'ement neutre, \cad~: $\exists e\in G, \forall a\in G, a\cdot e = e\cdot a = a$,
\item tout \'el\'ement de $G$ a un sym\'etrique pour $\cdot$, \cad~: $\forall x \in G, \exists y\in G, x\cdot y = y\cdot x = e$.
\end{enumerate}
\nfd
\rmq\ \\[-0.4cm]
C'est l'associativit\'e de %la loi
 $\cdot$ qui nous autorise \`a \'ecrire $a\cdot b\cdot c$ au lieu de $(a\cdot b)\cdot c$ ou $a\cdot (b\cdot c)$ %(puisque ces expressions sont \'egales).
(ces expressions \'etant \'egales).
\qmr
\dfn[Commutativit\'e]
Un groupe $(G,\cdot)$ est dit commutatif (ou ab\'elien) lorsque la loi $\cdot$ est commutative, \cad~: $\forall (a,b)\in G^2, a\cdot b = b\cdot a$.
\nfd
\dfn[Groupe sym\'etrique]
On appelle groupe sym\'etrique le groupe $\left(S_n,\circ\right)$  o\`u $S_n=S_{\left\{1,2,\ldots,n\right\}}$ est l'ensemble des bijections de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ dans $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$.
\nfd
\pro[Unicit\'e du neutre et des sym\'etriques]\ \\\vspace{-1.2cm}\\
\begin{enumerate}
\item Dans un groupe, l'\'el\'ement neutre est en r\'ealit\'e unique.
\item De plus, tous les \'el\'ements ont en r\'ealit\'e un unique sym\'etrique.
\end{enumerate}
\orp
\rmq\ \\[-0.4cm]
Ce th\'eor\`eme nous autorise \`a \'ecrire $x^{-1}$ pour d\'enoter \underline{\bf le} sym\'etrique de $x$.
\qmr
\thm[Sym\'etrique d'un produit]
Dans un groupe, on a $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$.
\mht
\dfn[Groupe produit]
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\cdot)$ et $(G_2,*)$, on appelle {\bf groupe produit de $(G_1,\cdot)$ et $(G_2,*)$} le couple  $(G_1\times G_2,\star)$ o\`u $\star$ est d\'efinie par $(x_1,x_2)\star(y_1,y_2) = (x_1\cdot y_1,x_2*y_2)$
\nfd
\pro[Groupe produit]
Les groupes produits sont des groupes.
\orp
\subsection{Anneaux}
\dfn[Anneaux]
Un anneau est un triplet $(A,+,\times)$, o\`u $A$ est un ensemble et $+,\times : A\times A \too A$ deux lois de composition internes, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(A,+)$ forme un groupe commutatif,
\item $\times$ a un \'el\'ement neutre,
\item $\times$ est associative,
\item $\times$ est distributive sur $+$, c'est-\`a-dire $\forall (a,b,c)\in A^3, a\times(b+c)=a\times b+a\times c$ (distributivit\'e \`a gauche) et $\forall (a,b,c)\in A^3, (a+b)\times c=a\times c+b\times c$ (distributivit\'e \`a droite).
\end{enumerate}
\nfd
\rmq
De la m\^eme fa\c{c}on que pour les groupes, le neutre de $+$ est unique, les sym\'etriques pour $+$ sont uniques, le neutre pour $\times$ est unique, et les sym\'etriques pour $\times$, lorsqu'ils existent, sont uniques.\bigsubline\\
On a donc coutume de toujours noter~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $0_A$ ou $0$ le neutre de $+$,
\item $-a$ le sym\'etrique de $a$ pour $+$, qu'on appelle oppos\'e de $a$,
\item $1_A$ ou $1$ le neutre de $\times$,
\item $a^{-1}$ l'\'eventuel sym\'etrique de $a$ pour $\times$, s'il existe, qu'on appelle alors inverse de $a$.
\end{enumerate}
\qmr
\dfn[Commutativit\'e]
Un anneau est dit commutatif si la loi $\times$ est commutative.
\nfd
\pro[$0_A$ est absorbant]\label{AnneauOAbsorbant}
Dans un anneau $(A,+,\times)$, l'\'el\'ement $0_A$ est absorbant pour la loi $\times$, \cad $\forall a\in A, a \times 0_A = 0_A$.
\orp
\pro[Oppos\'e et multiplication]
Dans un anneau $(A,+,\times)$, on a, pour tout $a\in A$, $-a = (-1_A)\times a$.
\orp
\thm[Bin\^ome de Newton]\label{AnneauBdN}
Soient $(A,+,\times)$ un anneau, $n\in\N$, et $a,b\in A$ \uuline{qui commutent}. Alors on a~: $\dsp{(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}$.
\mht
\thm[Identit\'e g\'eom\'etrique g\'en\'eralis\'ee]
Soient $(A,+,\times)$ un anneau, $n\in\N$, $a,b\in A$ \uuline{qui commutent}. Alors on a~: $\dsp{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k}$.
\mht
\dfn[Int\'egrit\'e]
Un anneau commutatif non nul $(A,+,\times)$ est dit {\bf int\`egre} lorsqu'on a 
$\forall (a,b)\in A, a\times b=0_A \Leftrightarrow a=0_A \text{\,ou\,} b=0_A$.
\nfd
\rmq Dans la litt\'erature, on trouve parfois d'autres d\'efinitions de l'int\'egrit\'e, qui rajoutent une hypoth\`ese de commutativit\'e et/ou une hypoth\`ese de non nullit\'e. Comme le programme n'est pas explicite sur la d\'efinition \`a prendre, je vous donne celle que j'utilise.\\
\qmr
\dfn[Divisibilit\'e]
Dans tout anneau commutatif, pour tout couple $(a,b)$ d'\'el\'ements de $A$, on dit que $a$ divise $b$ et on note $a | b$ lorsqu'on a $\exists k\in A, b=a\times k$.
\nfd
\nota
\'Etant donn\'e un anneau $(A,+_A,\times_A)$ on note $A^\times$ l'ensemble des inversibles de $A$ (pour $\times_A$).
\aton
\rmq
Soit $(A,+_A,\times_A)$ un anneau. On a $\forall (a,b)\in A^\times,\ a\times_A b\in A^\times$. %\\
Autrement dit $\times_A$ peut \^etre vue comme une lci sur $A^\times$.
\qmr
\thm[Groupe des inversibles d'un anneau]
$(A^\times,\times_A)$ forme un groupe, on l'appelle {\bf groupe des inversibles de $(A,+_A,\times_A)$}.
\mht
\subsection{Corps}
\dfn[Corps]
Un corps est un triplet $(\K,+,\times)$, o\`u $\K$ est un ensemble et $+,\times : \K\times \K \too \K$ deux lois de composition internes, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(\K,+,\times)$ forme un anneau {\bf commutatif et non nul}.
\item Tout \'el\'ement de $\K\setminus\{0\}$ a un inverse.
\end{enumerate}
Ce qui peut se reformuler~:% de la fa\c{c}on qu'on a d\'ej\`a vue~:
\begin{enumerate}
\item $(\K,+)$ forme un groupe commutatif.
\item $(\K\setminus\{0\},\times)$ forme un groupe commutatif.
\item $\times$ est distributive sur $+$
\end{enumerate}
\nfd
\pro
Un corps est un anneau int\`egre.
\orp
\subsection{Espaces vectoriels sur un corps}
\dfn[$K$-ev]
\'Etant donn\'e un corps $\K$, en contexte une bonne fois pour toute\footnote{C'est du pipo. En pratique on suppose $\K=\R$ ou $\C$... tr\`es \'eventuellement $\Q$.}, un espace vectoriel sur $\K$ (ou $\K$-ev) est un triplet $(E,+,\cdot)$, o\`u $E$ est un ensemble, $+ : E\times E \too E$ une loi de composition interne et $\cdot : \K\times E \too E$ une loi de composition {\it externe} v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(E,+)$ forme un groupe {\bf commutatif} (on note $0_E$ ou parfois $\bvec{0}$ son \'el\'ement neutre),
\item $\cdot$ est distributive \`a gauche et \`a droite sur $+$,
\item $\cdot$ est compatible avec $\times$ et $1_K$.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[{\mathversion{bold}{$0_K$}} et {\mathversion{bold}{$0_E$}} sont absorbants]\label{KEvOAbsorbant}~\\\vspace{-0.8cm}
\enumeration{
\item Dans un $\K$-ev $E$, on a $\forall x\in E, 0_K \cdot x = 0_E$.
\item Dans un $\K$-ev $E$, on a $\forall \lambda\in \K, \lambda \cdot 0_E = 0_E$.}
\orp
\col[Oppos\'e et multiplication externe] \label{KEvOppose}
Dans un $\K$-ev $E$, on a, pour tout $x\in E$, $-x = (-1_\K)\cdot x$.
\loc
\pro[Produit nul dans un espace vectoriel] \label{KEvProduitNul}
Dans un $\K$-ev $E$, on a, pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\K$, on a~:
$\lambda\cdot x = 0_E \Leftrightarrow \lambda=0_\K \text{ ou } x=0_E.$
\orp
\subsection{Alg\`ebre (unitaire, sur un corps)}
\dfn[$\K$-alg\`ebre]
\'Etant donn\'e un corps $(\K,+_{\K},\times_{\K})$ (comprendre~: $\R$ ou $\C$), une alg\`ebre unitaire sur $\K$ (abr\'egeons~: une $\K$-alg) est un quadruplet $(\ac,+,\times,\cdot)$, o\`u $\ac$ est un ensemble, $+,\times : \ac\times \ac \too \ac$ deux lois de composition internes et $\cdot : \K\times \ac \too \ac$ une loi de composition externe v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(\ac,+,\times)$ forme un anneau (on notera $0_{\ac}$ et $1_{\ac}$ ses \'el\'ements neutres),
\item $(\ac,+,\cdot)$ est un $\K$-ev,
\item $\cdot$ et $\times$ sont compatibles~: $(a\cdot x)\times(b\cdot y)=(a\times_\K b)\cdot (x\times y)$. 
\end{enumerate}
\nfd
\section{Sous-structures}
\subsection{Sous-groupes}
\dfn[Sous-groupe]
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On appelle sous-groupe de $G$ un ensemble $H$ inclus dans $G$ stable pour la structure de groupe de $G$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $e\in H$ (en notant $e$ le neutre de $G$),
\item $\forall (x,y) \in H^2, x\cdot y\in H$,
\item $\forall x \in H, x^{-1} \in H$ (en notant $x^{-1}$ le sym\'etrique de $x$ pour $\cdot$).
\end{enumerate}
\nfd
\thm[Sous-groupe]
Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors les lois de $G$ induisent des lois sur $H$ et $H$, muni des lois induites, forme un groupe. 
\mht
\pro[Transitivit\'e de "\^etre un sous-groupe de"]
Un sous-groupe d'un sous-groupe est un sous-groupe.
\orp
\rmq Un sous-groupe d'un groupe commutatif est commutatif.
\qmr\megasubline
\subsection{Sous-anneaux}
\dfn[Sous-anneau]
Soit  $(A,+,\times)$ un anneau. On appelle sous-anneau de $A$ un ensemble $B$ inclus dans $A$ stable pour la structure d'anneau de $A$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $0_A,~1_A\in B$,
\item $\forall (x,y) \in B^2, x+y\in B$,
\item $\forall x \in B, -x\in B$,
\item $\forall (x,y) \in B^2, x\times y \in B$.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Sous-anneau]
Si $B$ est un sous-anneau de $A$, alors les lois de $A$ induisent des lois sur $B$, et $B$, muni des lois induites, forme un anneau. 
\orp
\pro
Un sous-anneau d'un sous-anneau est un sous-anneau.
\orp
\rmq\ \\[-1cm]
\begin{enumerate}
\item Un sous-anneau d'un anneau commutatif est commutatif.
\item Un sous-anneau d'un anneau int\`egre est int\`egre.
\end{enumerate}
\qmr
\subsection{Sous-corps}
\dfn[Sous-corps]
Soit  $(\K,+,\times)$ un anneau. On appelle sous-corps de $\K$ un ensemble $L$ inclus dans $\K$ stable pour la structure de corps de $\K$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $(L,+,\times)$ forme un sous-anneau de $\K$ (reprendre les $4$ axiomes).
\item L'inverse de tout \'el\'ement de $\L\setminus\{0\}$ {\bf est dans $L$}.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Sous-corps]
Si $L$ est un sous-corps de $K$, alors les\,lois\,de\,$K$\,induisent\,des\,lois\,sur\,$L$, et $L$\,muni\,des\,lois\,induites forme un corps. 
\orp
\pro
Un sous-corps d'un sous-corps est un sous-corps.
\orp
\subsection{Sous-espace vectoriel}
\dfn[Sous-espace vectoriel]
Soit  $(E,+,\cdot)$ un $\K$-ev. On appelle sev de $E$ un ensemble $F$ inclus dans $E$ stable pour la structure de $\K$-ev de $E$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $0\in F$,
\item $\forall (x,y) \in F^2, x+y\in E$,
\item $\forall x \in F, -x \in F$,
\item $\forall x \in F, \forall \lambda \in \K, \lambda x \in F$.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Sev]
Si $F$ est un sev de $E$, alors les lois de $E$ induisent des lois sur $F$, et $F$, muni des lois induites, forme un $\K$-ev. 
\orp
\pro
Un sev d'un sev est un sev.
\orp
\subsection{Sous-alg\`ebres}
\section{Morphismes}
\subsection{Morphismes de groupe}
\dfn[Morphisme de groupe]
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$, on appelle {\bf morphisme de groupe} (mdg) de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$ une application $f : G_1 \too G_2$ qui pr\'eserve la structure de groupe, \cad telle que~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(e_1)=e_2$
\item $\forall x \in G_1, f(x^{-1})=f(x)^{-1}$
\item $\forall (x,y) \in G_1^2, f(x\star y)=f(x)\square f(y)$
\end{enumerate}
\nfd
\thm[Morphisme de groupe]\label{CaracterisationDesMorphismes}
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$, une application $f : G_1 \too G_2$ est un mdg \ssi\subline elle pr\'eserve les produits, \cad $\forall (x,y) \in G_1^2, f(x\star y)=f(x)\square f(y)$.
\mht
\dfn[Isomorphisme de groupe]
On appelle {\bf isomorphisme de groupe} un morphisme de groupe bijectif.
\nfd
\thm[Isomorphisme de groupe]
L'application r\'eciproque d'un isomorphisme de groupe est un isomorphisme de groupe.
\mht
\pro[Pr\'eservation des propri\'et\'es par isomorphisme]
Si $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$ sont isomorphes, alors $(G_1,\star)$ est commutatif \ssi $(G_2,\square)$ l'est.
\orp
\thm[Structure cat\'egorielle]
\ \\\vspace{-0.8cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un groupe est toujours un morphisme de groupe.
\item La compos\'ee de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupe.
\end{enumerate}
\mht
\dfn[Image, Noyau]
\'Etant donn\'e un morphisme de groupe $f : (G_1,\star) \too (G_2,\square)$, on appelle~:\subline
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Noyau de $f$ la partie de $G_1$ suivante~: $\Ker(f)=\left\{x\in G_1,~f(x)=e_2\right\} = f^{\leftarrow}(\{e_2\})$.\subline
\item Image de $f$ la partie de $G_2$ suivante~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in G_1\right\} = f^{\rightarrow}(G_1)$.\subline
\end{enumerate}
\nfd
\thm[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Soit $f$ un mdg de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=G_2$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{e_1\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=G_2$ et $\Ker(f)=\{e_1\}$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Structure d'un noyau, d'une image]
Soit $f$ un mdg de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $\Ker(f)$ est un sous-groupe de $(G_1,\star)$
\item $\Image(f)$ est un sous-groupe de $(G_2,\square)$
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Morphismes d'anneau}
\dfn[Morphisme d'anneau]
\'Etant donn\'es deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$, on appelle {\bf morphisme d'anneau} (mda) de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$ une application $f : A \too B$ qui pr\'eserve la structure d'anneau, \cad tq~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0_A)=0_B$
\item $\forall x \in A, f(-x)=-f(x)$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Morphisme d'anneau]
\'Etant donn\'es deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$, une application $f : A \too B$ est un mda ssi
\begin{enumerate}[i/]
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\orp
\dfn[Isomorphisme d'anneau]
On appelle {\bf isomorphisme d'anneau} un morphisme d'anneau bijectif.
\nfd
\pro[Isomorphisme d'anneau]
L'application r\'eciproque d'un isomorphisme d'anneau est un isomorphisme d'anneau.
\orp
\dfn[Morphisme de corps]
\'Etant donn\'es deux corps $(\K_A,+_A,\times_A)$ et $(\K_B,+_B,\times_B)$, on appelle {\bf morphisme de corps} de $(\K_A,+_A,\times_A)$ dans $(\K_B,+_B,\times_B)$ une application $f : \K_A \too \K_B$ qui pr\'eserve la structure de corps, \cad telle que~:\\[0.25cm]
\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0_A)=0_B$\subline
\item $\forall x \in A, f(-x)=-f(x)$\subline
\item $\forall (x,y) \in \K_A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$\subline
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item[iv/] $f(1_A)=1_B$\subline
\item[v/] $\forall (x,y) \in \K_A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$\subline
\item[vi/] $\forall x \in \K_A^\times, f(x^{-1})=f(x)^{-1}$\subline
\end{enumerate}
\end{minipage}
\nfd
\pro[Morphisme de corps]
\'Etant donn\'es deux corps $(\K_A,+_A,\times_A)$ et $(\K_B,+_B,\times_B)$ et une application $f : \K_A \too \K_B$, sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[a.]
\item $f$ est un morphisme de corps
\item $f$ est un morphisme d'anneau de $\K_A$ dans $\K_B$
\item %$f$ pr\'eserve les additions et les multiplications, \ie~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\orp
\pro[Pr\'eservation des propri\'et\'es par isomorphisme]
Soient $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$ deux anneaux isomorphes.
\begin{enumerate}[i/]
\item $A$ est commutatif \ssi $B$ est commutatif
\item $A$ est int\`egre \ssi $B$ est int\`egre
\item $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps
\end{enumerate}
\orp
\pro[Structure cat\'egorielle]
\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un anneau est toujours un morphisme d'anneau.
\item La compos\'ee de deux morphismes d'anneaux est un morphisme d'anneau.
\end{enumerate}
\orp
\dfn[Image, Noyau]
Pour $f$ un mda de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Noyau de $f$~: $\Ker(f)=\left\{x\in A,~f(x)=0_B\right\}$.
\item[$\bullet$] Image de $f$~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in A\right\}$.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Pour $f$ un mda de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=B$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{0_A\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=B$ et $\Ker(f)=\{0_A\}$.
\end{enumerate}
\orp
\subsection{Applications lin\'eaires}
\dfn[Application lin\'eaire]
\'Etant donn\'es un corps $\K$ et deux $\K$-espaces vectoriels $(E_1,+,\cdot)$ et $(E_2,+,\cdot)$, on appelle {\bf application lin\'eaire} ("morphisme d'espace vectoriel") de  $(E_1,+,\cdot)$ dans $(E_2,+,\cdot)$ une application $f : E_1 \too E_2$ qui pr\'eserve la structure d'espace vectoriel, \cad telle que~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0)=0$
\item $\forall x \in E_1, \forall \lambda \in \K f(\lambda x)=\lambda f(x)$
\item $\forall (x,y) \in E_1^2, f(x+y)=f(x)+f(y)$
\end{enumerate}
\nfd
\thm[Application lin\'eaire]
$f: E_1 \too E_2$ est une application lin\'eaire ssi on a~: $\forall (x,y)\in E_1^2, \forall (\lambda,\mu)\in\K^2, f(\lambda x +\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y)$.
\mht
\thm[Structure cat\'egorielle]
\ \\\vspace{-0.8cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un espace vectoriel est toujours une application lin\'eaire.
\item La compos\'ee de deux application lin\'eaires est une application lin\'eaire.
\end{enumerate}
\mht
\dfn[Image, Noyau]
Pour $f : E_1 \too E_2$ une application lin\'eaire, on appelle~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Noyau de $f$ la partie de $E_1$ suivante~: $\Ker(f)=\left\{x\in E_1,~f(x)=0\right\}$.
\item Image de $f$ la partie de $E_2$ suivante~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in E_1\right\}$.
\end{enumerate}
\nfd
\thm[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Pour $f : E_1 \too E_2$ une application lin\'eaire~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=E_2$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{0\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=E_2$ et $\Ker(f)=\{0\}$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Structure d'un noyau, d'une image]
$\Ker(f)$ et $\Image(f)$ sont des \sevs.
\mht
\section{Conclusion}
\end{document}