\input{../.headers/cours.tex}

%\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Bilan sur les structures alg\'ebriques.}}\\
\end{center}

\section{Structures}

Les structures que nous serons amen\'es \`a \'etudier en MPSI sont les structures de groupe (commutatif ou non), d'anneau (commutatif ou non), de corps, d'espace vectoriel, et d'alg\`ebre. Toutes ces notions ont d\'ej\`a \'et\'e vues. Dressons un bilan des d\'efinitions assorties de quelques exemples, d\'ej\`a rencontr\'es ou \`a venir.

\subsection{Groupes}

\dfn[Groupe]
Un groupe est un couple $(G,\cdot)$, o\`u $G$ est un ensemble et $\cdot : G\times G \too G$ une {\bf loi de composition interne}, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $\cdot$ est associative, \cad~: $\forall (a,b,c)\in G^3, a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$,
\item $\cdot$ a un \'el\'ement neutre, \cad~: $\exists e\in G, \forall a\in G, a\cdot e = e\cdot a = a$,
\item tout \'el\'ement de $G$ a un sym\'etrique pour $\cdot$, \cad~: $\forall x \in G, \exists y\in G, x\cdot y = y\cdot x = e$.
\end{enumerate}
\nfd

%\lilbound

\rmq\ \\[-0.4cm]
C'est l'associativit\'e de %la loi
 $\cdot$ qui nous autorise \`a \'ecrire $a\cdot b\cdot c$ au lieu de $(a\cdot b)\cdot c$ ou $a\cdot (b\cdot c)$ %(puisque ces expressions sont \'egales).
(ces expressions \'etant \'egales).
\qmr

\lilbound

\ex \label{exemplesdegroupes} Ainsi~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $(\Z,+)$ forme un groupe~: l'\'el\'ement neutre est $0$, les sym\'etriques sont les oppos\'es.
\item[$\longrightarrow$] $(\C\setminus\{0\},\times)$ forme un groupe~: l'\'el\'ement neutre est $1$, les sym\'etriques sont les inverses.
\item[$\longrightarrow$] $\left(\{\pm 1\}, \times \right)$ forme un groupe~: l'\'el\'ement neutre est $1$, les sym\'etriques sont les \'el\'ements eux-m\^eme.\\
Cet exemple est int\'eressant~: contrairement aux autres, ce groupe est fini.\bigsubline
\end{enumerate}
En revanche~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $(\N,+)$ ne forme pas un groupe~: il existe bien un \'el\'ement neutre qui est $0$, mais il n'est pas vrai que tout entier a un sym\'etrique pour $+$. En fait, seul $0$ a un sym\'etrique. 
\item[$\longrightarrow$] $(\R,\times)$ ne forme pas un groupe~: il existe bien un \'el\'ement neutre qui est $1$, mais il n'est pas vrai que tout r\'eel a un sym\'etrique pour $\times$ puisque $0$ n'en a pas.
\item[$\longrightarrow$] $(\R, \min)$ ne forme pas un groupe~: il n'existe pas d'\'el\'ement neutre.
\end{enumerate}
\xe

\lilbound

\dfn[Commutativit\'e]
Un groupe $(G,\cdot)$ est dit commutatif (ou ab\'elien) lorsque la loi $\cdot$ est commutative, \cad~: $\forall (a,b)\in G^2, a\cdot b = b\cdot a$.
\nfd

\lilbound

\ex
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] Tous les exemples de l'exemple \ref{exemplesdegroupes} sont des exemples de groupes commutatifs.
\item[$\longrightarrow$] En revanche, si on note $S(\R)$ l'ensemble des applications bijectives de $\R$ dans $\R$, $(S(\R),\circ)$ forme bien un groupe, mais ce groupe n'est pas commutatif. 
\end{enumerate}
\xe

\lilbound

\dfn[Groupe sym\'etrique]
On appelle groupe sym\'etrique le groupe $\left(S_n,\circ\right)$  o\`u $S_n=S_{\left\{1,2,\ldots,n\right\}}$ est l'ensemble des bijections de $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$ dans $\left\{1,2,\ldots,n\right\}$.
\nfd

\ \\
{\bf Exercice~!} D\'ecrivons $S_2$ et $S_3$, et calculons quelques produits dans ces groupes.\\
\begin{enumerate}
\item On a d\'ej\`a vu qu'on a $S_2=\{\id,\tau_{1,2}\}$ o\`u $\tau_{1,2} : \left \{ \begin{array}{ccl} \{1,2\} & \too &  \{1,2\}\\ 1 & \mapsto & 2\\ 2 & \mapsto & 1 \end{array} \right .$. Sa "table de multiplication" est~:
$$\begin{array}{|c||c|c|} \hline
\circ & \id & \tau_{1,2}\\ \hline\hline
\id & \id & \tau_{1,2} \\ \hline
\tau_{1,2} & \tau_{1,2} & \id \\ \hline
\end{array}$$
\item On a d\'ej\`a vu qu'on a $S_3=\{\id,\tau_{1,2},\tau_{1,3},\tau_{2,3},c,c^{-1}\}$ o\`u les $\tau_{i,j}$ permutent $i$ et $j$, et o\`u $c(1)=2,\ c(2)=3,\ c(3)=1$.\\
La "table de multiplication" est la suivante. Attention~! La lci $\circ$ n'est pas commutative ici, l'\'el\'ement \'ecrit en ligne $f$ et colonne $g$ correspond \`a $f\circ g$ (donc~: d'abord $g$ et ensuite $f$) et non pas \`a $g\circ f$.
$$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|} \hline
\circ & \id & \tau_{1,2} & \tau_{1,3} & \tau_{2,3} & c & c^{-1}\\ \hline\hline
\id & \id & \tau_{1,2} & \tau_{1,3} & \tau_{2,3}  & c & c^{-1} \\ \hline
\tau_{1,2} & \tau_{1,2} & \id & c^{-1} & c & \tau_{2,3} & \tau_{1,3} \\ \hline
\tau_{1,3} & \tau_{1,3} & c & \id & c^{-1} & \tau_{1,2} & \tau_{2,3} \\ \hline
\tau_{2,3} & \tau_{2,3} & c^{-1} & c & \id  & \tau_{1,3} & \tau_{1,2} \\ \hline
c & c & \tau_{1,3} & \tau_{2,3} & \tau_{1,2} & c^{-1} & \id \\ \hline
c^{-1} & c^{-1} & \tau_{2,3} & \tau_{1,2} & \tau_{1,3} & \id & c \\ \hline
\end{array}$$
\end{enumerate}



Un des int\'er\^ets d'identifier qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe est qu'on dispose alors gratuitement de toute une banque de th\'eor\`emes montr\'es une bonne fois pour toutes pour tous les groupes. Voyons %ci-dessous
 deux exemples imm\'ediats et \'evidents (%ils ne figurent 
pas explicitement dans le programme mais sans lesquels on ne peut \'enoncer les th\'eor\`emes du programme)~:%\\impossible d'\'enoncer les th\'eor\`emes du programme sans)~:\\

\pro[Unicit\'e du neutre et des sym\'etriques]\ \\\vspace{-1.2cm}\\
\begin{enumerate}
\item Dans un groupe, l'\'el\'ement neutre est en r\'ealit\'e unique.
\item De plus, tous les \'el\'ements ont en r\'ealit\'e un unique sym\'etrique.
\end{enumerate}
\orp

\demo
Soit $(G,\cdot)$ un groupe.
\begin{enumerate}
\item Soient $e_1$ et $e_2$ deux neutres. $e_1 = e_1\cdot e_2 = e_2$. D'o\`u l'unicit\'e.
\item Soient $x\in G$ et $y_1,y_2$ deux sym\'etriques de $x$. On a $y_2=y_2\cdot(x\cdot y_1)=(y_2\cdot x)\cdot y_1=y_1$. D'o\`u l'unicit\'e.
\end{enumerate}
\ \\[-0.85cm]\cqfd

%\ \\[-0.5cm]
\rmq\ \\[-0.4cm]
Ce th\'eor\`eme nous autorise \`a \'ecrire $x^{-1}$ pour d\'enoter \underline{\bf le} sym\'etrique de $x$.
\qmr

\lilbound

\thm[Sym\'etrique d'un produit]
Dans un groupe, on a $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$.
\mht

La d\'emonstration consiste simplement \`a \'ecrire l'associativit\'e.\\

%\lilbound
\ \\[-1cm]

\dfn[Groupe produit]
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\cdot)$ et $(G_2,*)$, on appelle {\bf groupe produit de $(G_1,\cdot)$ et $(G_2,*)$} le couple  $(G_1\times G_2,\star)$ o\`u $\star$ est d\'efinie par $(x_1,x_2)\star(y_1,y_2) = (x_1\cdot y_1,x_2*y_2)$
\nfd

\ex
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] Le groupe $(\R^2,+)$ est le groupe produit $(\R,+)\times(\R,+)$.
\item[$\longrightarrow$] Voici un groupe produit en apparence artificiel (mais en apparence seulement)~: $(\{\pm1\},\times)\times(\Z,+)$.\\
Les \'el\'ements de se groupe sont les couples $(\eps,n)$ avec $\eps\in\{\pm1\}$ et $n\in\Z$.\\
Et pour deux \'el\'ements $(\eps_1,n_1)$ et $(\eps_2,n_2)$ on a $(\eps_1,n_1)\star(\eps_2,n_2) = (\eps_1\eps_2,n_1+n_2)$.
\end{enumerate}
\xe

\lilbound

\pro[Groupe produit]
Les groupes produits sont des groupes.
\orp

La d\'emonstration est imm\'ediate~: on raisonne "coordonn\'ee par coordonn\'ee".\subline

\subsection{Anneaux}

\dfn[Anneaux]
Un anneau est un triplet $(A,+,\times)$, o\`u $A$ est un ensemble et $+,\times : A\times A \too A$ deux lois de composition internes, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(A,+)$ forme un groupe commutatif,
\item $\times$ a un \'el\'ement neutre,
\item $\times$ est associative,
\item $\times$ est distributive sur $+$, c'est-\`a-dire $\forall (a,b,c)\in A^3, a\times(b+c)=a\times b+a\times c$ (distributivit\'e \`a gauche) et $\forall (a,b,c)\in A^3, (a+b)\times c=a\times c+b\times c$ (distributivit\'e \`a droite).
\end{enumerate}
\nfd

\ \\[-0.85cm]

\rmq
De la m\^eme fa\c{c}on que pour les groupes, le neutre de $+$ est unique, les sym\'etriques pour $+$ sont uniques, le neutre pour $\times$ est unique, et les sym\'etriques pour $\times$, lorsqu'ils existent, sont uniques.\bigsubline\\
On a donc coutume de toujours noter~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $0_A$ ou $0$ le neutre de $+$,
\item $-a$ le sym\'etrique de $a$ pour $+$, qu'on appelle oppos\'e de $a$,
\item $1_A$ ou $1$ le neutre de $\times$,
\item $a^{-1}$ l'\'eventuel sym\'etrique de $a$ pour $\times$, s'il existe, qu'on appelle alors inverse de $a$.
\end{enumerate}
\qmr

\ \\[-0.5cm]

\ex \label{exemplesdanneaux} Ainsi~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $(\{0\},+,\times)$ forme un anneau~: les lois sont d\'efinies de la seule fa\c{c}on possible et les deux neutres sont \'egaux. \subline\\On l'appelle {\bf l'anneau nul}. C'est \`a cause de lui qu'on a la pr\'ecision "non nul" pour les corps.
\item[$\longrightarrow$] On a d\'ej\`a vu de nombreux autres exemples. \\Des gentils~: $(\Z,+,\times)$, $(\D,+,\times)$, $(\Q,+,\times)$, $(\R,+,\times)$, $(\C,+,\times)$, $(\K[X],+,\times)$. \\Des plus m\'echants~: $(\Z/n\Z,+,\times)$, $(\mnr,+,\times)$, $(\cc^n(I,\R),+,\times)$ ($n\in\N$).
\end{enumerate}
\xe

\lilbound

\dfn[Commutativit\'e]
Un anneau est dit commutatif si la loi $\times$ est commutative.
\nfd

\lilbound

\ex Tous les anneaux de l'exemple \ref{exemplesdanneaux} sont commutatifs sauf $(\mnr,+,\times)$ qui ne l'est pas pour $n\geq 2$.
\xe

%\lilbound

Deux th\'eor\`emes \'evidents sur les anneaux~:

\pro[$0_A$ est absorbant]\label{AnneauOAbsorbant}
Dans un anneau $(A,+,\times)$, l'\'el\'ement $0_A$ est absorbant pour la loi $\times$, \cad $\forall a\in A, a \times 0_A = 0_A$.
\orp

\demo
Soit $(A,+,\times)$ un anneau et $a\in A$.\\
On a $a \times 0_A = a \times (0_A+0_A) = a\times 0_A + a\times 0_A$.\\
En rajoutant \`a chaque membre l'oppos\'e de $a\times 0_A$, on trouve bien $0_A = a\times 0_A$.
\cqfd

\uuline{Corollaire imm\'ediat}~: $0_A$ n'a jamais d'inverse, sauf dans l'anneau nul.\\

\pro[Oppos\'e et multiplication]
Dans un anneau $(A,+,\times)$, on a, pour tout $a\in A$, $-a = (-1_A)\times a$.
\orp

\demo
Par unicit\'e de l'oppos\'e, il suffit de montrer que $a$ et $(-1_A)\times a$ ont une somme nulle.\\
Or $a+(-1_A)\times a = 1_A\times a + (-1_A)\times a = (1_A+(-1_A))\times a = 0_A \times a$
\cqfd

\ \\[-1cm]

Deux th\'eor\`emes importants sur les anneaux~:

\thm[Bin\^ome de Newton]\label{AnneauBdN}
Soient $(A,+,\times)$ un anneau, $n\in\N$, et $a,b\in A$ \uuline{qui commutent}. Alors on a~: $\dsp{(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}$.
\mht

\ \\[-1.2cm]
\demo
En TD.
\cqfd

%\lilbound

\thm[Identit\'e g\'eom\'etrique g\'en\'eralis\'ee]
Soient $(A,+,\times)$ un anneau, $n\in\N$, $a,b\in A$ \uuline{qui commutent}. Alors on a~: $\dsp{a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k}$.
\mht

\ \\[-1.2cm]
\demo
En TD.
\cqfd

%\lilbound
\ \\[-1cm]
\dfn[Int\'egrit\'e]
Un anneau commutatif non nul $(A,+,\times)$ est dit {\bf int\`egre} lorsqu'on a 
$\forall (a,b)\in A, a\times b=0_A \Leftrightarrow a=0_A \text{\,ou\,} b=0_A$.
\nfd

Les anneaux int\`egres sont donc pr\'ecis\'ement ceux pour lesquels le th\'eor\`eme "un produit est nul \ssi l'un de ses facteurs est nul" est vrai.\newpage\ \\[-1.5cm]

%\\[-0.3cm]
%{\footnotesize \underline{Remarque}~: Dans la litt\'erature, on trouve parfois d'autres d\'efinitions de l'int\'egrit\'e, qui rajoutent une hypoth\`ese de commutativit\'e et/ou une hypoth\`ese de non nullit\'e. Comme le programme n'est pas explicite sur la d\'efinition \`a prendre, je vous donne celle que j'utilise.}

\rmq Dans la litt\'erature, on trouve parfois d'autres d\'efinitions de l'int\'egrit\'e, qui rajoutent une hypoth\`ese de commutativit\'e et/ou une hypoth\`ese de non nullit\'e. Comme le programme n'est pas explicite sur la d\'efinition \`a prendre, je vous donne celle que j'utilise.\\
\qmr

\ex On a d\'ej\`a vu que les gentils exemples de l'exemple \ref{exemplesdanneaux} sont int\`egres alors que les m\'echants exemples de l'exemple \ref{exemplesdanneaux} le sont rarement.
\xe

%\ \\

\dfn[Divisibilit\'e]
Dans tout anneau commutatif, pour tout couple $(a,b)$ d'\'el\'ements de $A$, on dit que $a$ divise $b$ et on note $a | b$ lorsqu'on a $\exists k\in A, b=a\times k$.
\nfd
%\ \\
Ceci signifie qu'on peut "faire de l'arithm\'etique" dans tout anneau commutatif\footnote{Dans les anneaux non commutatifs c'est plus compliqu\'e~: on va avoir des diviseurs \`a gauche et des diviseurs \`a droite. Beurk.}, et pas seulement dans $\Z$. Par contre, tous les anneaux n'ont pas les m\^emes propri\'et\'es arithm\'etiques que $\Z$. Par exemple, le th\'eor\`eme de division euclidienne n'est pas toujours vrai dans un anneau quelconque. N\'eanmoins, lorsqu'il sera vrai, on sera bien parti.

\bigskip

\exx
Le th\'eor\`eme de division euclidienne est vrai dans $\Z$ mais aussi dans $\K[X]$.
\xxe

\lilbound

\nota
\'Etant donn\'e un anneau $(A,+_A,\times_A)$ on note $A^\times$ l'ensemble des inversibles de $A$ (pour $\times_A$).
\aton

\lilbound

\rmq
%\'Etant donn\'e un anneau $(A,+_A,\times_A)$ o
Soit $(A,+_A,\times_A)$ un anneau. On a $\forall (a,b)\in A^\times,\ a\times_A b\in A^\times$. %\\
Autrement dit $\times_A$ peut \^etre vue comme une lci sur $A^\times$.
\qmr

\demo Soient $a,\ b\in A^\times$, on a $b^{-1}a^{-1}ab=1_A$ par associativit\'e donc $ab$ est inversible d'inverse $b^{-1}a^{-1}$.
\cqfd

\smallskip

\thm[Groupe des inversibles d'un anneau]
$(A^\times,\times_A)$ forme un groupe, on l'appelle {\bf groupe des inversibles de $(A,+_A,\times_A)$}.
\mht

\demo On sait que  $\times_A$ peut \^etre vue comme une lci sur $A^\times$. Les axiomes d'anneau et la d\'efinition de $A^\times$ impliquent alors les axiomes de groupe.
\cqfd

\ex \begin{enumerate}
\item Le groupe $(\Z^\times,\times)$ est le groupe $(\{\pm 1\},\times)$.
\item $(\R^*,\times)$ est un groupe puisque c'est le groupe $(\R^\times,\times)$.
\item L'ensemble $\mnk^\times$ des matrices inversibles se note $GL_n(\K)$. Le groupe $(GL_n(\K),\times)$ s'appelle le \newdef{groupe lin\'eaire}.
\end{enumerate}
\xe

%\dfn[Anneau produit]
%\'Etant donn\'es deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$, on appelle anneau produit de $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$ le triplet  $(A\times B,+,\times)$ o\`u $+$ et $\times$ sont d\'efinies par $(a_1,b_1)+(a_2,b_2) = (a_1+_A a_2,b_1+_B b_2)$ et $(a_1,b_1)+(a_2,b_2) = (a_1\times_A a_2,b_1\times_B b_2)$
%\nfd
%
%\ \\
%
%\thm[Anneau produit]
%Les anneaux produits sont des anneaux, et ils ne sont jamais int\`egres sauf si $A$ ou $B$ est l'anneau nul.
%\mht

%\lilbound

\smallskip

\subsection{Corps}

\dfn[Corps]
Un corps est un triplet $(\K,+,\times)$, o\`u $\K$ est un ensemble et $+,\times : \K\times \K \too \K$ deux lois de composition internes, v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(\K,+,\times)$ forme un anneau {\bf commutatif et non nul}.
\item Tout \'el\'ement de $\K\setminus\{0\}$ a un inverse.
\end{enumerate}
Ce qui peut se reformuler~:% de la fa\c{c}on qu'on a d\'ej\`a vue~:
\begin{enumerate}
\item $(\K,+)$ forme un groupe commutatif.
\item $(\K\setminus\{0\},\times)$ forme un groupe commutatif.
\item $\times$ est distributive sur $+$
\end{enumerate}
\nfd

%\lilbound

%\newpage\ \\[-1cm]
\ex \label{exemplesdecorps} Ainsi~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $(\C,+,\times)$ forme un corps.
\item[$\longrightarrow$] $(\Z/5\Z,+,\times)$ forme un corps.\newpage
\end{enumerate}
En revanche~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $(\Z,+,\times)$ ne forme pas un corps~: seuls $1$ et $-1$ ont un inverse. 
\item[$\longrightarrow$] $(\Z/4\Z,+,\times)$ ne forme pas un corps~: $2$ n'a pas d'inverse. 
\item[$\longrightarrow$] $(\mdr,+,\times)$ ne forme pas un corps, par exemple parce qu'il n'est pas commutatif.
\end{enumerate}
\xe

\lilbound

La proposition imm\'ediate la plus int\'eressante sur les corps est la suivante~:%\newpage
%
%\ \\[-1.75cm]
\pro
Un corps est un anneau int\`egre.
\orp

\lilbound

%Ceci nous donne un argument rapide pour voir que $\mnr$ n'est pas un corps, puisqu'on sait qu'il n'est pas int\`egre.\\
Notons que la r\'eciproque est fausse puisque $\Z$ est int\`egre.

\medskip

\demo Soit $(\K,+,\times)$ un corps. Soient $x,\ y\in\K$ tels que $xy=0_\K$.\\[0.2cm]
On veut montrer \og$x=0_\K$ ou $y=0_\K$\fg, \cad \og$x\neq 0_\K \Rightarrow y=0_\K$\fg.\\
Supposons $x\neq 0_K$, alors $x^{-1}$ existe et est dans $\K$. On a donc $y=x^{-1}xy=x^{-1}0_K=0_K$. Et boum.
\cqfd

%\newpage
\subsection{Espaces vectoriels sur un corps}

On va les \'etudier \`a fond (mais vraiment \`a fond) %au second 
 ce semestre et en deuxi\`eme ann\'ee. Donc allons vite.

\dfn[$K$-ev]
\'Etant donn\'e un corps $\K$, en contexte une bonne fois pour toute\footnote{C'est du pipo. En pratique on suppose $\K=\R$ ou $\C$... tr\`es \'eventuellement $\Q$.}, un espace vectoriel sur $\K$ (ou $\K$-ev) est un triplet $(E,+,\cdot)$, o\`u $E$ est un ensemble, $+ : E\times E \too E$ une loi de composition interne et $\cdot : \K\times E \too E$ une loi de composition {\it externe} v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(E,+)$ forme un groupe {\bf commutatif} (on note $0_E$ ou parfois $\bvec{0}$ son \'el\'ement neutre),
\item $\cdot$ est distributive \`a gauche et \`a droite sur $+$,
\item $\cdot$ est compatible avec $\times$ et $1_K$.
\end{enumerate}
\nfd

\lilbound

\ex~~ Cf les $4$ chapitres sur les espaces vectoriels qu'on a d\'ej\`a fait~!
\xe\ \\

Comme $(E,+)$ forme un groupe (commutatif), toutes les r\`egles de calcul au sein d'un groupe pr\'esent\'ees sur les groupes sont \'egalement valables dans un espace vectoriel.\\

Les th\'eor\`emes suivants se d\'emontrent \`a l'aide de la distributivit\'e~:

\pro[{\mathversion{bold}{$0_K$}} et {\mathversion{bold}{$0_E$}} sont absorbants]\label{KEvOAbsorbant}~\\\vspace{-0.8cm}
\enumeration{
\item Dans un $\K$-ev $E$, on a $\forall x\in E, 0_K \cdot x = 0_E$.
\item Dans un $\K$-ev $E$, on a $\forall \lambda\in \K, \lambda \cdot 0_E = 0_E$.}
\orp
%\demo
%C'est la m\^eme que celle du th\'eor\`eme \ref{AnneauOAbsorbant}.
%\cqfd

En corollaire~:
\col[Oppos\'e et multiplication externe] \label{KEvOppose}
Dans un $\K$-ev $E$, on a, pour tout $x\in E$, $-x = (-1_\K)\cdot x$.
\loc
%\demo
%On a~: $x+(-1_\K)\cdot x = 1_\K\cdot x+(-1_\K)\cdot x = (1_\K+(-1_\K))\cdot x = 0_\K \cdot x = 0_E$.\\
%D'o\`u le r\'esultat par unicit\'e des sym\'etriques dans un groupe.
%\cqfd

\pro[Produit nul dans un espace vectoriel] \label{KEvProduitNul}
Dans un $\K$-ev $E$, on a, pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\K$, on a~:
$\lambda\cdot x = 0_E \Leftrightarrow \lambda=0_\K \text{ ou } x=0_E.$
\orp
\demo
Soient $x\in E$ et $\lambda\in\K$. On veut montrer $\lambda\cdot x = 0_E \Leftrightarrow \lambda=0_\K \text{ ou } x=0_E$. L'implication r\'eciproque r\'esulte la proposition \ref{KEvOAbsorbant}. Montrons l'implication directe. Supposons $\lambda \cdot x = 0_E$. Soit $\lambda$ est nul, et le r\'esultat est d\'emontr\'e, soit on a $\lambda\neq 0_K$, et $\lambda$ est inversible car $\K$ est un corps, mais dans ce second cas on a $x=\lambda^{-1}\cdot \lambda \cdot x = \lambda^{-1}\cdot 0_E=0_E$ \phantom{et ce}\break d'apr\`es la proposition \ref{KEvOAbsorbant}.\\~\\[-0.85cm]
\cqfd

\subsection{Alg\`ebre (unitaire, sur un corps)}

\dfn[$\K$-alg\`ebre]
\'Etant donn\'e un corps $(\K,+_{\K},\times_{\K})$ (comprendre~: $\R$ ou $\C$), une alg\`ebre unitaire sur $\K$ (abr\'egeons~: une $\K$-alg) est un quadruplet $(\ac,+,\times,\cdot)$, o\`u $\ac$ est un ensemble, $+,\times : \ac\times \ac \too \ac$ deux lois de composition internes et $\cdot : \K\times \ac \too \ac$ une loi de composition externe v\'erifiant les axiomes suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(\ac,+,\times)$ forme un anneau (on notera $0_{\ac}$ et $1_{\ac}$ ses \'el\'ements neutres),
\item $(\ac,+,\cdot)$ est un $\K$-ev,
\item $\cdot$ et $\times$ sont compatibles~: $(a\cdot x)\times(b\cdot y)=(a\times_\K b)\cdot (x\times y)$. 
\end{enumerate}
\nfd

\ex $(\mnk,+,\times,\cdot)$, $(\K^\N,+,\times,\cdot)$,  $(\cc(I,\K),+,\times,\cdot)$,  $(\K[X],+,\times,\cdot)$, $\ldots$
\xe

\medskip

\section{Sous-structures}

\midbound
Pour r\'esumer cette section~:\begin{enumerate}
\item un sous-truc est un machin inclus dans le truc {\it stable pour la structure de truc}~;
\item un sous-truc, muni des lois induites par le truc, forme un truc.
\end{enumerate}
\lilbound

\subsection{Sous-groupes}

\dfn[Sous-groupe]
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On appelle sous-groupe de $G$ un ensemble $H$ inclus dans $G$ stable pour la structure de groupe de $G$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $e\in H$ (en notant $e$ le neutre de $G$),
\item $\forall (x,y) \in H^2, x\cdot y\in H$,
\item $\forall x \in H, x^{-1} \in H$ (en notant $x^{-1}$ le sym\'etrique de $x$ pour $\cdot$).
\end{enumerate}
\nfd



\thm[Sous-groupe]
Si $H$ est un sous-groupe de $G$, alors les lois de $G$ induisent des lois sur $H$ et $H$, muni des lois induites, forme un groupe. 
\mht

\demo C'est fait pour~! \cqfd

\ex \begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] On a d\'ej\`a vu (?) que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont exactement les $n\Z$ pour $n\in\N$.
\item[$\longrightarrow$] On a d\'ej\`a vu (???) que les sous-groupes de $(\R,+)$ sont soit de la forme $\gamma\Z$ (%pour un certain 
$\gamma \in\R_+$), soit denses dans $\R$.
\item[$\longrightarrow$] On a d\'ej\`a vu que pour tout entier $n\geq 1$, $\U_n$ est un sous-groupe de $(\C^\times,\times)$.\\
\end{enumerate}
\xe

Une autre remarque int\'eressante~:

\pro[Transitivit\'e de "\^etre un sous-groupe de"]
Un sous-groupe d'un sous-groupe est un sous-groupe.
\orp

\rmq Un sous-groupe d'un groupe commutatif est commutatif.
\qmr\megasubline

\subsection{Sous-anneaux}

\dfn[Sous-anneau]
Soit  $(A,+,\times)$ un anneau. On appelle sous-anneau de $A$ un ensemble $B$ inclus dans $A$ stable pour la structure d'anneau de $A$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $0_A,~1_A\in B$,
\item $\forall (x,y) \in B^2, x+y\in B$,
\item $\forall x \in B, -x\in B$,
\item $\forall (x,y) \in B^2, x\times y \in B$.
\end{enumerate}
\nfd

\lilbound

L\`a encore~:
\pro[Sous-anneau]
Si $B$ est un sous-anneau de $A$, alors les lois de $A$ induisent des lois sur $B$, et $B$, muni des lois induites, forme un anneau. 
\orp

\pro
Un sous-anneau d'un sous-anneau est un sous-anneau.
\orp

%\newpage\ \\[-1cm]
\rmq\ \\[-1cm]
\begin{enumerate}
\item Un sous-anneau d'un anneau commutatif est commutatif.
\item Un sous-anneau d'un anneau int\`egre est int\`egre.
\end{enumerate}
\qmr

\lilbound

Attention, la r\'eciproque est fausse~: par exemple l'ensemble $\big\{\lambda I_n,\ \lambda\in\R\}$ est un sous-anneau de $\mnk$ et $\mnk$ n'est ni int\`egre ni commutatif, mais ce sous-anneau est int\`egre et commutatif puisque c'est un corps (ce sous-anneau est essentiellement $\K$, \`a renommage pr\`es).

\lilbound

\subsection{Sous-corps}

\dfn[Sous-corps]
Soit  $(\K,+,\times)$ un anneau. On appelle sous-corps de $\K$ un ensemble $L$ inclus dans $\K$ stable pour la structure de corps de $\K$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $(L,+,\times)$ forme un sous-anneau de $\K$ (reprendre les $4$ axiomes).
\item L'inverse de tout \'el\'ement de $\L\setminus\{0\}$ {\bf est dans $L$}.
\end{enumerate}
\nfd

\lilbound

L\`a encore~:
\pro[Sous-corps]
Si $L$ est un sous-corps de $K$, alors les\,lois\,de\,$K$\,induisent\,des\,lois\,sur\,$L$, et $L$\,muni\,des\,lois\,induites forme un corps. 
\orp

\pro
Un sous-corps d'un sous-corps est un sous-corps.
\orp

%\ \\
%
%\ex \label{exemplesdesouscorps} Ainsi~: $(\Q,+,\times)$ est un sous-corps de $(\R,+,\times)$ qui est lui-m\^eme un sous-corps de $(\C,+,\times)$ (si bien que $(\Q,+,\times)$ est un sous-corps de $(\C,+,\times)$).
%\xe
%
%\ \\
%
%Attention, l'exemple de $\Z$ montre qu'{\bf un sous-anneau quelconque d'un corps n'en forme pas n\'ecessairmeent un sous-corps}. Inversement, un anneau qui n'est pas un corps (m\^eme \'eventuellement un anneau non int\`egre, non commutatif) peut avoir des corps parmi ses sous-anneaux.

%\lilbound

\subsection{Sous-espace vectoriel}

\dfn[Sous-espace vectoriel]
Soit  $(E,+,\cdot)$ un $\K$-ev. On appelle sev de $E$ un ensemble $F$ inclus dans $E$ stable pour la structure de $\K$-ev de $E$ \cad tel que~:
\begin{enumerate}
\item $0\in F$,
\item $\forall (x,y) \in F^2, x+y\in E$,
\item $\forall x \in F, -x \in F$,
\item $\forall x \in F, \forall \lambda \in \K, \lambda x \in F$.
\end{enumerate}
\nfd

%\lilbound
Remarquons que $3$ est un cas particulier de $4$ (pourquoi~?). Ce qui explique qu'on ne mentionne jamais cet axiome. \\[0.1cm]On a donn\'e des caract\'erisations \'equivalentes et plus synth\'etiques dans le chapitre sur les espaces vectoriels.
\newpage

\ \\[-1.2cm]
L\`a encore~:
\pro[Sev]
Si $F$ est un sev de $E$, alors les lois de $E$ induisent des lois sur $F$, et $F$, muni des lois induites, forme un $\K$-ev. 
\orp

\pro
Un sev d'un sev est un sev.
\orp

\lilbound

On n'\'epilogue pas parce qu'on en a d\'ej\`a mang\'e, et qu'on va bient\^ot en r\'eingurgiter par kilos, des sevs...

\lilbound

\subsection{Sous-alg\`ebres}

Une sous-alg\`ebre est simultan\'ement un sev et un sous-anneau (pour les lois correspondantes), ce qui en ram\`ene l'\'etude \`a celle des sev et des sous-anneaux.\subline

\ex On a par exemple d\'ej\`a vu que l'ensemble des suites born\'ees est une sous-alg\`ebre de l'alg\`ebre de toutes les suites \`a valeurs dans $\K$.
\xe


\section{Morphismes}

\subsection{Morphismes de groupe}

\vspace{0.2cm}
\underline{\bf (a) D\'efinition}
\vspace{0.2cm}

\dfn[Morphisme de groupe]
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$, on appelle {\bf morphisme de groupe} (mdg) de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$ une application $f : G_1 \too G_2$ qui pr\'eserve la structure de groupe, \cad telle que~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(e_1)=e_2$
\item $\forall x \in G_1, f(x^{-1})=f(x)^{-1}$
\item $\forall (x,y) \in G_1^2, f(x\star y)=f(x)\square f(y)$
\end{enumerate}
\nfd

Donnons tout de suite une caract\'erisation plus simple des morphismes de groupe~:

\thm[Morphisme de groupe]\label{CaracterisationDesMorphismes}
\'Etant donn\'es deux groupes $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$, une application $f : G_1 \too G_2$ est un mdg \ssi\subline elle pr\'eserve les produits, \cad $\forall (x,y) \in G_1^2, f(x\star y)=f(x)\square f(y)$.
\mht
\demo L'implication directe est \'evidente. Reste \`a montrer qu'une application qui pr\'eserve les produits pr\'eserve l'\'el\'ement neutre et les sym\'etriques. Soit $f$ une telle application d'un groupe  $(G_1,*)$ dans un groupe $(G_2,\square)$.
\begin{enumerate}[1.]
\item On a $f(e_1)=f(e_1* e_1)=f(e_1)\square f(e_1)$.
%Comme tous les \'el\'ements de $G_2$, $f(e_1)$, a un inverse $f(e_1)^{-1}$. Multiplions (avec $\square$) \`a droite notre \'egalit\'e par $f(e_1)^{-1}$ et utilisons l'associativit\'e de $\square$.\\
%Il vient $f(e_1)\square f(e_1)^{-1}=f(e_1)\square f(e_1)\square f(e_1)^{-1}$, \cad $e_2=f(e_1)\square e_2 = f(e_1)$.\\
Comme on peut \og simplifier \fg une \'egalit\'e au sein d'un groupe (on multiplie par l'inverse), on obtient : $e_2=f(e_{1})$.
Ainsi $f$ pr\'eserve bien les \'el\'ements neutres.
\item On sait maintenant que $f$ pr\'eserve les \'el\'ements neutres. \\
Soit $x\in G_1$. On a $f(x)\square f(x^{-1}) = f(x* x^{-1})=f(e_1)=e_2$. Par unicit\'e du sym\'etrique
%\footnote{Rappelons que pour conclure que $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$, on doit normalement aussi \'etablir $f(x^{-1})\square f(x)=e_2$, ce qui se fait sans plus de difficult\'e. Mais comme d\'ej\`a mentionn\'e dans la remarque \ref{unerelation}, une seule des deux relations $a*b=e$ et $b*a=e$ suffit au sein d'un groupe pour conclure que $a$ et $b$ sont sym\'etriques l'un de l'autre.}
, on a donc $f(x^{-1})=f(x)^{-1}$.\\
Ainsi $f$ pr\'eserve bien les sym\'etriques.
\end{enumerate}
\cqfd

%\ \\[-1.85cm]
\ \\[-0.75cm]
\ex \label{exemplesdemorphismesdegroupe} Ainsi~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $\varphi : \defapp{\R}{\U}{t}{\e^{i t}}$ est un morphisme de groupe.
\item[$\longrightarrow$] $\varphi : \defapp{\R^\times}{\R_+^\times}{x}{|x|}$ est un morphisme de groupe. 
\item[$\longrightarrow$] $\varphi : \defapp{\R^\times}{\left\{\pm1\right\}}{x}{\sg(x)}$ est un morphisme de groupe. 
\item[$\longrightarrow$] Si $H$ est un sous-groupe strict de $(G,\cdot)$, l'injection canonique $\iota : \defapp{H}{G}{x}{x}$ est un morphisme de groupe.
\end{enumerate}
\xe

%\newpage

\dfn[Isomorphisme de groupe]
On appelle {\bf isomorphisme de groupe} un morphisme de groupe bijectif.
\nfd

\lilbound

\ex \label{exemplesdisomorphismesdegroupe} Aucun des exemples de \ref{exemplesdemorphismesdegroupe} n'est un morphisme de groupe.\\
Par contre~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] $\varphi : \left\{\begin{array}{lcl}\Z/4\Z & \too & \U_4\\0 & \mapsto & 1\\1 & \mapsto & i\\2 & \mapsto & -1\\3 & \mapsto & -i \end{array}\right.$ est un isomorphisme de groupe. 
\item[$\longrightarrow$] $\varphi : \defapp{\R^\times}{\R_+^\times\times\left\{\pm1\right\}}{x}{(|x|,\sg(x))}$ est un isomorphisme de groupe. 
\end{enumerate}
\xe

Lorsqu'il existe un isomorphisme entre deux groupes $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$, on dit que ces deux groupes sont {\bf isomorphes} et on note $(G_1,\star)\simeq (G_2,\square)$.\\

\lilbound

D'apr\`es un th\'eor\`eme du cours, un isomorphisme de groupe a une application r\'eciproque. Le th\'eor\`eme suivant est un raffinement de ce th\'eor\`eme~:

\thm[Isomorphisme de groupe]
L'application r\'eciproque d'un isomorphisme de groupe est un isomorphisme de groupe.
\mht
{\footnotesize C'est d'ailleurs la "bonne" d\'efinition d'un isomorphisme.}

\demo Soit $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$ deux groupes et $f: G_1\too G_2$ un isomorphisme de groupe. \\[0.2cm]
Ainsi $f^{-1}$ existe et est bijectif. Reste \`a montrer que $f^{-1}$ est un morphisme de groupe, \cad d'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{CaracterisationDesMorphismes} qu'on a $\forall X,Y \in G_2,\ f^{-1}(X\square Y)=f^{-1}(X)\star f^{-1}(Y)$.\\[0.2cm]
Soient $X, Y\in G_2$. On a~:\\[0.2cm]
$\begin{array}{lcll} f^{-1}(X\square Y)
& = & f^{-1}(f(f^{-1}(X))\square f(f^{-1}(Y)))&\\[0.2cm]
& = & f^{-1}(f(f^{-1}(X)\star f^{-1}(Y)))& \text{ car $f$ est un morphisme}\\[0.2cm]
& = & f^{-1}(X)\star f^{-1}(Y)& \text{ car $f^{-1}\circ f = \id$}
\end{array}$\ \\[0.05cm]
Et boum.
\cqfd

\pro[Pr\'eservation des propri\'et\'es par isomorphisme]
Si $(G_1,\star)$ et $(G_2,\square)$ sont isomorphes, alors $(G_1,\star)$ est commutatif \ssi $(G_2,\square)$ l'est.
\orp

\ \\[-0.5cm]

\underline{\bf (b) Structure cat\'egorielle}
\vspace{0.2cm}

\thm[Structure cat\'egorielle]
\ \\\vspace{-0.8cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un groupe est toujours un morphisme de groupe.
\item La compos\'ee de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupe.
\end{enumerate}
\mht

\newpage\ \\[-1cm]
\underline{\bf (c) Image et noyau}
\vspace{0.2cm}

\dfn[Image, Noyau]
\'Etant donn\'e un morphisme de groupe $f : (G_1,\star) \too (G_2,\square)$, on appelle~:\subline
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Noyau de $f$ la partie de $G_1$ suivante~: $\Ker(f)=\left\{x\in G_1,~f(x)=e_2\right\} = f^{\leftarrow}(\{e_2\})$.\subline
\item Image de $f$ la partie de $G_2$ suivante~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in G_1\right\} = f^{\rightarrow}(G_1)$.\subline
\end{enumerate}
\nfd

\lilbound

\thm[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Soit $f$ un mdg de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=G_2$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{e_1\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=G_2$ et $\Ker(f)=\{e_1\}$.
\end{enumerate}
\mht

\demo\ \\[-0.4cm]
\begin{enumerate}[i/]
\item D\'ej\`a vu dans le chapitre sur l'ordre sup\'erieur.
\item Implication directe~: supposons $f$ injective.\\
Alors comme $f$ est un morphisme de groupes, on a $f(e_{1})=e_{2}$, ce qui signifie qu'on a $e_{1}\in \Ker(f)$. 
 Mais par d\'efinition $\Ker(f)=f^{-1}\big(\{e_{2}\}\big)$ et, par injectivit\'e de $f$, tout \'el\'ement de $G_{2}$ poss\`ede au plus un ant\'ec\'edent par $f$. Ainsi $e_{2}$ en particulier poss\`ede au plus un ant\'ec\'edent par $f$. On en conna\^it d\'ej\`a un ; il s'agit de $e_{1}$. C'est donc le seul. %\\
Ainsi $\Ker(f)=\{e_1\}$%, et en particulier $\Ker(f)\subset\{e_1\}$
.\\[0.2cm]
R\'eciproquement, supposons qu'on ait %$\Ker(f)\subset\{e_1\}$.
%Par d\'efinition d'un morphisme de groupes, on a $e_{1}\in \Ker(f)$, \ie $\{e_1\}\subset \Ker(f)$. Et donc $\Ker(f)=\{e_1\}$ par double inclusion.\\
$\Ker(f)=\{e_1\}$. Montrons que $f$ est injective. Soient $x$, $y$ dans $G$ et supposons $f(x)\nobreak=\nobreak f(y)$. %\\
On a alors : $f\big(x* y^{-1}\big)=f(x)\square f(y=f(x)\square f(y)^{-1}= f(y)\square f(y)^{-1}=e_2$.\\
Ainsi $x* y^{-1} \in \Ker(f)$ et donc $x* y^{-1}=e_1$, d'o\`u en composant \`a droite par $y$~: $x=y$.
\item =\,\, i/+ii/.\\[-1cm]
\end{enumerate}
\cqfd

\ex Lorsqu'on a montr\'e que $P \mapsto \widetilde{P}$ est injective, on a en fait montr\'e sans le dire que son noyau \'etait r\'eduit au polyn\^ome nul~! 
\xe

\thm[Structure d'un noyau, d'une image]
Soit $f$ un mdg de $(G_1,\star)$ dans $(G_2,\square)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $\Ker(f)$ est un sous-groupe de $(G_1,\star)$
\item $\Image(f)$ est un sous-groupe de $(G_2,\square)$
\end{enumerate}
\mht

\demo On va montrer les deux r\'esultats plus g\'en\'eraux suivants~:
\begin{enumerate}[i/]
\item L'image directe d'un sous-groupe par un morphisme de groupe est un sous-groupe~;
\item L'image r\'eciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupe est un sous-groupe.
\end{enumerate}
C'est parti.
\begin{enumerate}[i/]
\item Soit $H_1$ un sous-groupe de $(G_1,*)$ et notons $H_2=\{f(h),~h\in H_1\}$ son image directe par $f$. Montrons que $H_2$ est un sous-groupe de $(G_2,\square)$.
\begin{itemize}
\item $e_1\in H_1$ car $H_1$ est un sous-groupe, donc $e_2=f(e_1)\in H_2$.
\item Soit $x \in H_2$. Il existe alors $h\in H_1$ tel que $x=f(h)$ et par suite on a\\ $x^{-1}=f(h)^{-1}=f(h^{-1})\in H_2$ car $h^{-1}\in H_1$ puisque $H_1$ est un sous-groupe.
\item Soient $x,x' \in H_2$. Il existe alors $h,h'\in H_1$ tels que $x=f(h)$ et $x'=f(h')$. Par suite on a $x\square x'=f(h)\square f(h')=f(h*h')\in H_2$ car $h*h'\in H_1$ puisque $H_1$ est un sous-groupe.
\end{itemize}
\item Soit $H_2$ un sous-groupe de $(G_2,\square)$ et notons $H_1=\{g \in G_1,\ f(g)\in H_2\}$ son image r\'eciproque par $f$. Montrons que $H_1$ est un sous-groupe de $(G_1,*)$.
\begin{itemize}
\item $f(e_1)=e_2\in H_2$ car $H_2$ est un sous-groupe, donc $e_1\in H_1$.
\item Soit $x \in H_1$. On a alors $f(x)\in H_2$ et donc $f(x^{-1})=f(x)^{-1}\in H_2$ puisque $H_2$ est un sous-groupe. On a donc bien $x^{-1}\in H_1$, par d\'efinition.
\item Soient $x,x' \in H_1$. On a alors $f(x)\in H_2$ et $f(x')\in H_2$ d'o\`u, puisque $H_2$ est un sous-groupe,\break $f(x* x')=f(x)\square f(x')\in H_2$. On a donc bien $x* x'\in H_1$.\ \\[-1cm]
\end{itemize}
\end{enumerate}
\cqfd

%\lilbound

\newpage
\ \\[-2cm]
\subsection{Morphismes d'anneau}

\vspace{0.2cm}
\underline{\bf (a) Morphisme d'anneau et de corps}
\vspace{0.2cm}

\dfn[Morphisme d'anneau]
\'Etant donn\'es deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$, on appelle {\bf morphisme d'anneau} (mda) de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$ une application $f : A \too B$ qui pr\'eserve la structure d'anneau, \cad tq~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0_A)=0_B$
\item $\forall x \in A, f(-x)=-f(x)$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\nfd

Donnons tout de suite une caract\'erisation plus simple des morphismes d'anneau~:

\pro[Morphisme d'anneau]
\'Etant donn\'es deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$, une application $f : A \too B$ est un mda ssi
\begin{enumerate}[i/]
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\orp

\demo
R\'esulte imm\'ediatement de la caract\'erisation des morphismes de groupe.
\cqfd

\ex \label{exemplesdemorphismesdanneau} Ainsi~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] L'application $\varphi : \defapp{\R[X]}{\R}{P(X)}{P(42)}$ est un morphisme d'anneau.
\item[$\longrightarrow$] Si $A$ est un sous-anneau strict de $(B,+,\times)$, l'injection canonique $\iota : \defapp{A}{B}{x}{x}$ est un morphisme d'anneau.
\end{enumerate}
\xe

\dfn[Isomorphisme d'anneau]
On appelle {\bf isomorphisme d'anneau} un morphisme d'anneau bijectif.
\nfd

\lilbound

Comme pour les groupes~:

\pro[Isomorphisme d'anneau]
L'application r\'eciproque d'un isomorphisme d'anneau est un isomorphisme d'anneau.
\orp
Lorsque deux anneaux $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$ sont isomorphes on note $(A,+_A,\times_A) \simeq (B,+_B,\times_B)$.

%\lilbound

\dfn[Morphisme de corps]
\'Etant donn\'es deux corps $(\K_A,+_A,\times_A)$ et $(\K_B,+_B,\times_B)$, on appelle {\bf morphisme de corps} de $(\K_A,+_A,\times_A)$ dans $(\K_B,+_B,\times_B)$ une application $f : \K_A \too \K_B$ qui pr\'eserve la structure de corps, \cad telle que~:\\[0.25cm]
\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0_A)=0_B$\subline
\item $\forall x \in A, f(-x)=-f(x)$\subline
\item $\forall (x,y) \in \K_A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$\subline
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item[iv/] $f(1_A)=1_B$\subline
\item[v/] $\forall (x,y) \in \K_A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$\subline
\item[vi/] $\forall x \in \K_A^\times, f(x^{-1})=f(x)^{-1}$\subline
\end{enumerate}
\end{minipage}
\nfd

Donnons tout de suite deux caract\'erisations plus simples des morphismes de corps~:

\pro[Morphisme de corps]
\'Etant donn\'es deux corps $(\K_A,+_A,\times_A)$ et $(\K_B,+_B,\times_B)$ et une application $f : \K_A \too \K_B$, sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[a.]
\item $f$ est un morphisme de corps
\item $f$ est un morphisme d'anneau de $\K_A$ dans $\K_B$
\item %$f$ pr\'eserve les additions et les multiplications, \ie~:
%les deux propri\'et\'es de pr\'eservation suivantes sont v\'erifi\'ees~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(1_A)=1_B$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x+_Ay)=f(x)+_Bf(y)$
\item $\forall (x,y) \in A^2, f(x\times_Ay)=f(x)\times_Bf(y)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\orp

\newpage
\ \\[-1cm]
{\bf Exercice~:}~ S'en convaincre.

\lilbound

\pro[Pr\'eservation des propri\'et\'es par isomorphisme]
Soient $(A,+_A,\times_A)$ et $(B,+_B,\times_B)$ deux anneaux isomorphes.
\begin{enumerate}[i/]
\item $A$ est commutatif \ssi $B$ est commutatif
\item $A$ est int\`egre \ssi $B$ est int\`egre
\item $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps
\end{enumerate}
\orp

%\ \\

\vspace{0.4cm}
\underline{\bf (b) Structure cat\'egorielle}
\vspace{-0.1cm}

\pro[Structure cat\'egorielle]
\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un anneau est toujours un morphisme d'anneau.
\item La compos\'ee de deux morphismes d'anneaux est un morphisme d'anneau.
\end{enumerate}
\orp

%\ \\

\vspace{0.4cm}
\underline{\bf (c) Image et noyau}
\vspace{0.2cm}

M\^eme d\'efinition que pour les groupes, m\^eme utilit\'e que pour les groupes~:\\[-0.5cm]

\dfn[Image, Noyau]
Pour $f$ un mda de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] Noyau de $f$~: $\Ker(f)=\left\{x\in A,~f(x)=0_B\right\}$.
\item[$\bullet$] Image de $f$~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in A\right\}$.
\end{enumerate}
\nfd

\pro[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Pour $f$ un mda de $(A,+_A,\times_A)$ dans $(B,+_B,\times_B)$
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=B$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{0_A\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=B$ et $\Ker(f)=\{0_A\}$.
\end{enumerate}
\orp

Attention, le noyau d'un morphisme d'anneau n'est jamais un sous-anneau, sauf si $B$ est l'anneau nul.

%\newpage
\subsection{Applications lin\'eaires}

\vspace{0.2cm}
\underline{\bf (a) D\'efinition}
\vspace{-0.1cm}

\dfn[Application lin\'eaire]
\'Etant donn\'es un corps $\K$ et deux $\K$-espaces vectoriels $(E_1,+,\cdot)$ et $(E_2,+,\cdot)$, on appelle {\bf application lin\'eaire} ("morphisme d'espace vectoriel") de  $(E_1,+,\cdot)$ dans $(E_2,+,\cdot)$ une application $f : E_1 \too E_2$ qui pr\'eserve la structure d'espace vectoriel, \cad telle que~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f(0)=0$
\item $\forall x \in E_1, \forall \lambda \in \K f(\lambda x)=\lambda f(x)$
\item $\forall (x,y) \in E_1^2, f(x+y)=f(x)+f(y)$
\end{enumerate}
\nfd

On a l\`a aussi une caract\'erisation \'equivalente des applications lin\'eaires~:

\thm[Application lin\'eaire]
$f: E_1 \too E_2$ est une application lin\'eaire ssi on a~: $\forall (x,y)\in E_1^2, \forall (\lambda,\mu)\in\K^2, f(\lambda x +\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y)$.
\mht

\ex On ne peut pas dire qu'on n'en a jamais vu~!\label{exemplesdAL} Entre mille~:
\begin{enumerate}
\item[$\longrightarrow$] Les applications $M\mapsto {}^t M$ ou $M\mapsto Tr(M)$ sont lin\'eaires~!
\item[$\longrightarrow$] La d\'erivation est lin\'eaire. Une application de la forme $f\mapsto \int_a^b f$ est lin\'eaire.
\item[$\longrightarrow$] \'Etant donn\'e un $\K$-ev $E$ de dimension finie $n$ et une base $\bc$ de $E$, l'application "d\'ecomposition dans la base $\bc$"~: $\u \mapsto \decomp{\u}{\bc}$ est lin\'eaire.
\end{enumerate}
\xe

%\ \\[-0.85cm]
\underline{\bf (b) Structure cat\'egorielle}
\vspace{-0.1cm}

\thm[Structure cat\'egorielle]
\ \\\vspace{-0.8cm}
\begin{enumerate}[i/]
\item L'identit\'e d'un espace vectoriel est toujours une application lin\'eaire.
\item La compos\'ee de deux application lin\'eaires est une application lin\'eaire.
\end{enumerate}
\mht


\ \\
\underline{\bf (c) Image et noyau}
\vspace{-0.1cm}

\dfn[Image, Noyau]
Pour $f : E_1 \too E_2$ une application lin\'eaire, on appelle~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Noyau de $f$ la partie de $E_1$ suivante~: $\Ker(f)=\left\{x\in E_1,~f(x)=0\right\}$.
\item Image de $f$ la partie de $E_2$ suivante~: $\Image(f)=\left\{f(x),~x\in E_1\right\}$.
\end{enumerate}
\nfd

\lilbound

\thm[Caract\'erisation de l'injectivit\'e et la surjectivit\'e]
Pour $f : E_1 \too E_2$ une application lin\'eaire~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\Image(f)=E_2$
\item $f$ est injective \ssi $\Ker(f)=\{0\}$
\item $f$ est un isomorphisme \ssi $\Image(f)=E_2$ et $\Ker(f)=\{0\}$.
\end{enumerate}
\mht

%\demo
%La m\^eme.
%\cqfd

\thm[Structure d'un noyau, d'une image]
$\Ker(f)$ et $\Image(f)$ sont des \sevs.
\mht

\ \\

\section{Conclusion}

On a donc fait un bilan des diff\'erentes structures d\'ej\`a rencontr\'ees ou \`a venir. On retiendra particuli\`erement~:\\[0.25cm]

\underline{Sur les structures}~:\\
$\bullet$ Les d\'efinitions de groupe, anneau, corps, espace vectoriel, alg\`ebre.\\
$\bullet$ Quelques exemples de groupes, notamment $S_n$.\\
$\bullet$ La version g\'en\'erale du bin\^ome de Newton et de l'identit\'e g\'eom\'etrique dans un anneau.\\[0.25cm]

\underline{Sur les sous-structures}~:\\
$\bullet$ Qu'un sous-truc est un machin inclus dans le truc {\it stable pour la structure de truc}.\\
$\bullet$ Qu'un sous-truc est un truc.\\
$\bullet$ Qu'un sous-truc d'un sous-truc est un sous-truc.\\[0.25cm]

\underline{Sur les morphismes}~:\\
$\bullet$ Qu'un morphisme de truc est une application entre trucs {\it qui pr\'eserve la structure de truc}.\\
$\bullet$ Le fait qu'un isomorphisme pr\'eserve les propri\'et\'es remarquables.\\
$\bullet$ Les d\'efinitions et propri\'et\'es du noyau et de l'image d'un morphisme de truc.
%$\cdot$ La structure cat\'egorielle.\\\\

\end{document}
