\input{../.headers/cours.tex}

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textbf{Sous espaces affines}}
\end{center}

Dans tout le chapitre, $\K$ d\'esigne un sous-corps de $\C$ et $E$ un $\K$-espace vectoriel.


\section{G\'en\'eralit\'es}
\subsection{Sous-espaces affines}
\Definition[Translation]\ \\[-0.45cm]
Soit $a \in E$. On appelle \newdef{translation de vecteur $a$} l'application
$ \tau_{a} :  \defapp{E}{E}{x}{x+a.}$
\FinDefinition
\Definition\ \\[-0.25cm]
Soit $\overrightarrow{W}$ un sev de $E$ et $a \in E$.
On appelle \newdef{sous-espace affine de direction $\overrightarrow{W}$ et passant par $a$} l'ensemble \break
$W = \tau_a (\overrightarrow{W}) = a + \overrightarrow{W} = \left\{ a+w,\ w\in \overrightarrow{W} \right\}$. 
\FinDefinition
\begin{rem}\ \\[-1cm]
\begin{enumerate}[1.]
\item Le \sev $\overrightarrow{W}$ est unique. On dit que $\overrightarrow{W}$ est \newdef{la direction} de $W$.\\[-0.5cm]
\item Par contre, l'\'el\'ement $a$ ne l'est pas. Plus pr\'ecis\'ement, on a~: $\forall b \in  W,\ W = b + \overrightarrow{W}$. \qed
\end{enumerate}
\end{rem}
\Proposition[Structure d'espace affine]\ \\[-0.35cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. L'op\'eration $\too$ d\'efinie de $W^2$ dans $\overrightarrow{W}$ v\'erifie les propri\'et\'es suivantes~:
\enumeration{
\item Relation dite "de Chasles"~: $\forall (A,B,C)\in W^3,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
\item Bijection points/vecteurs \`a origine fix\'ee~:
 $\forall \Omega \in W,\ \forall w \in \overrightarrow{W},\ \exists! A \in W,\ \overrightarrow{\Omega A} = w$.}
\FinProposition
\subsection{Propri\'et\'es}
\Definition\ \\[-0.3cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. On appelle dimension de $W$ la dimension de $\overrightarrow{W}$, on note $\dim(\overrightarrow{W})=:\dim(W)$.
\FinDefinition
\Definition\ \\[-0.3cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. Soit truc $\in$ $\big\{$droite, plan, hyperplan, $\ldots\big\}$.\\
On dit que $W$ est un truc affine lorsque $\overrightarrow{W}$ est un truc (vectoriel).
\FinDefinition
\Theoreme
Une intersection de \seas est soit vide, soit un sous-espace affine.
\FinTheoreme
\subsection{Rep\`eres}
\Definition\ \\[-0.35cm]
Soit $W=a+\overrightarrow{W}$ un sous-espace affine de $E$. On appelle \newdef{rep\`ere} de $W$ tout couple $(\Omega,\bc)$ avec $\Omega\in W$ et $\bc$ une base de $\overrightarrow{W}$ (en particulier, on {\it peut} prendre $\Omega=a$).\\[-0.25cm]
Si $\dim(W)<+\infty$, pour tout point $A\in W$, on appelle \newdef{coordonn\'ees de $A$ dans $\rc$} le $n$-uplet $\decomp{\overrightarrow{\Omega A}}{\bc}$.
\FinDefinition
\section{L'exemple fondamental}
\subsection{L'exemple fondamental de sous-espace affine}
\Theoreme[Exemple fondamental de sous-espace affine]\ \\[-0.35cm]
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels,  $f \in \L(E , F)$ et $b \in F$.\\[0.15cm]
Alors $W = \Big\{ x \in E,\ f(x) = b \Big\}$ est vide ou est un \sea de direction $\mathrm{Ker}(f)$.
\FinTheoreme
\subsection{Illustrations}
\section{Applications}
\subsection{Suites r\'ecurrentes affines doubles}
\begin{notation}\!\!\!(maison)~:~~
$E_{a,b,(c_n)_n} = \Big\{ (u_n)_n\in\K^\N,\ \forall n\in\N,\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n + c_n\Big\}$.
\end{notation}
\Proposition\ \\[-0.4cm]
$E_{a,b,(c_n)_n}$ est un sous-espace affine de $\R^\N$, de direction $\sc_{a,b}$.
\FinProposition
\Proposition[Recette de grand-m\`ere.]\ \\[-0.35cm]
Notons $\Chi(X)=X^2-aX-b$ le polyn\^ome caract\'eristique.\\[0.15cm]
Si $(c_n)_n$ est de la forme $\big(P(n)q^n\big)_n$ avec $P$ un polyn\^ome de degr\'e $p$ alors~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q$ n'est pas racine de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(q^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\item Si $q$ est racine simple de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(nq^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\item Si $q$ est racine double de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(n^2q^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\end{enumerate}
\FinProposition
\subsection{Polyn\^omes de Lagrange~: le retour}
\Theoreme
L'ensemble $\big\{P\in\K[X],\ \forall i\in\{0,\ldots,n\},\ P(\alpha_i)=\beta_i\big\}$ est un sous-espace affine de $\K[X]$.\\[0.15cm]
$\bullet$ Sa direction est~: $\bigg(\prod\limits_{i=0}^n(X-\alpha_i)\bigg)\K[X]$.
\\[0.15cm]
$\bullet$ Il passe par~: $L(X)=\sum\limits_{k=0}^n \beta_iL_i(X)$.
\\[-0.25cm]
\FinTheoreme
\subsection{Syst\`emes lin\'eaires}
\Theoreme[Th\'eor\`eme de structure affine]\ \\[-0.35cm]
L'ensemble des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire est vide ou bien un \sea de $\K^n$ de direction l'ensemble des solutions du syst\`eme lin\'eaire homog\`ene associ\'e.
\FinTheoreme
\subsection{Distance \`a un hyperplan affine}
\Lemme
Soient $M, N, a\in E$ Alors \begin{align*}
	d(\tau_a(M), \tau_a(N)) &= d(M, N) \\
\end{align*}
\FinLemme
\Theoreme
La distance d'un point $M$ \`a l'hyperplan affine passant par un point $A$ et ayant pour vecteur normal unitaire $\eta$ est $\big|\langle\overrightarrow{AM},\eta\rangle\big|$.
\FinTheoreme
\end{document}
