\input{../.headers/cours.tex}

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textbf{Sous espaces affines}}
\end{center}

Dans tout le chapitre, $\K$ d\'esigne un sous-corps de $\C$ et $E$ un $\K$-espace vectoriel.


\section{G\'en\'eralit\'es}

%\subsection{Translations}

%\medskip
%
%\Definition[Translation]\ \\[-0.45cm]
%Soit $a \in E$. On appelle \newdef{translation de vecteur $a$} l'application
%$ \tau_{a} :  \defapp{E}{E}{x}{x+a.}$
%\FinDefinition

%\begin{exemple}
%Pour $E = \K[X]$, on peut consid\'erer $\defapp{\K[X]}{\K[X]}{P}{P+X^3+ \frac 3 2 X^2,}$ la translation de vecteur $X^3 + \dfrac 3 2 X^2$.
%\end{exemple}

%\ \\[-1cm]

%\begin{rem}
%$ \tau_{a}$ est lin\'eaire $\Leftrightarrow$ ............. $\Leftrightarrow$ .............
%\end{rem}

%On a les propri\'et\'es imm\'ediates suivantes~:
%\Proposition
%Soient $a\in E$ et $b\in E$.
%\enumeration{
%\item $\tau_a \circ \tau_b = \tau_{a+b} = \tau_b \circ \tau_a$.
%\item $\tau_a$ est bijective de r\'eciproque $(\tau_a)^{-1} = \tau_{-a}$.}
%\FinProposition
%
%\demo
%La v\'erification est imm\'ediate.
%\cqfd
%
%\Corollaire
%L'ensemble $\mathbb T$ des translations forme un groupe commutatif pour $\circ$. Plus pr\'ecis\'ement, on a $(\mathbb T , \circ) \simeq (E, +)$. 
%\FinCorollaire
%
%\demo
%Notons $\Phi : \defapp{E}{\mathbb T}{a}{\tau_a.}$ On vient de voir qu'on avait, pour tout couple $(a,b)\in E^2$, $\Phi(a+b)=\Phi(a)\circ\Phi(b)$, ce qui caract\'erise un morphisme de groupes (th\'eor\`eme \ref{CaracterisationMDG} du chapitre \ref{StructuresAlgebriques}, p. \pageref{CaracterisationMDG}). Par ailleurs, $\Phi$ est surjective par d\'efinition d'une translation, et injective car, si on a $\tau_a=\tau_b$, alors en \'evaluant en $0_E$, on trouve $a=b$. Ainsi $\Phi$ est une bijection. Finalement $\Phi$ est un morphisme de groupes bijectif, \cad un isomorphisme, de $(E, +)$ vers  $(\mathbb T , \circ)$.
%\cqfd

%\smallskip

\subsection{Sous-espaces affines}

\Definition[Translation]\ \\[-0.45cm]
Soit $a \in E$. On appelle \newdef{translation de vecteur $a$} l'application
$ \tau_{a} :  \defapp{E}{E}{x}{x+a.}$
\FinDefinition

\Definition\ \\[-0.25cm]
Soit $\overrightarrow{W}$ un sev de $E$ et $a \in E$.
On appelle \newdef{sous-espace affine de direction $\overrightarrow{W}$ et passant par $a$} l'ensemble \break
$W = \tau_a (\overrightarrow{W}) = a + \overrightarrow{W} = \left\{ a+w,\ w\in \overrightarrow{W} \right\}$. 
\FinDefinition

%\exx
%Un premier exemple tr\`es d\'eg\'en\'er\'e de sous-espace affine est obtenu pour $a=0_E$. On obtient alors que tout sous-espace vectoriel de $E$ est, en particulier, un sous-espace affine de $E$.
%\xxe
%
%\medskip
%
%\exx On peut d\'ej\`a donner un exemple un peu plus \'elabor\'e~:
% une droite affine de $\R^n$, telle que d\'efinie dans le chapitre \ref{EspaceRn}, est un sous-espace affine de $\R^n$, dont la direction est une droite vectorielle. Illustrons-le ci-dessous pour $n=2$.\\
%On verra plus loin que la notion de droite affine vue dans $\R^n$ se g\'en\'eralise naturellement \`a tout espace vectoriel, de m\^eme bien s\^ur qu'il existe une notion de plan affine, d'hyperplan affine, etc.
%\xxe

\exx ~~L'exemple-type est le cas de $\R^3$.
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item Une droite (au sens TS) est la translation d'une droite vectorielle, c'est donc un sous-espace affine de $\R^3$.
\item Un plan (au sens TS) est la translation d'un plan vectoriel, c'est donc un sous-espace affine de $\R^3$.
\end{itemize}
\xxe

\begin{center}
% \includegraphics[scale=0.8]{./Plans.jpg}\ \\
Exemple de deux plans affines de m\^eme direction.
\end{center}

\begin{rem}\ \\[-1cm]
\begin{enumerate}[1.]
\item Le \sev $\overrightarrow{W}$ est unique. On dit que $\overrightarrow{W}$ est \newdef{la direction} de $W$.\\[-0.5cm]
\item Par contre, l'\'el\'ement $a$ ne l'est pas. Plus pr\'ecis\'ement, on a~: $\forall b \in  W,\ W = b + \overrightarrow{W}$. \qed
\end{enumerate}
\end{rem}

%\bigskip

\demo
Commen\c{c}ons par remarquer que, si $\overrightarrow{W}$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et si on a $w\in \overrightarrow{W}$, alors on a $w+\overrightarrow{W}=\overrightarrow{W}$. En effet toute somme de vecteurs de $\overrightarrow{W}$ est un vecteur de $\overrightarrow{W}$, ce qui montre l'inclusion directe, et toute diff\'erence de vecteurs de $\overrightarrow{W}$ est un vecteur de $\overrightarrow{W}$, ce qui montre l'inclusion r\'eciproque.\\[0.2cm]
D\'emontrons maintenant les deux points \'evoqu\'es.
\begin{enumerate}[1.]
\item Soient $\overrightarrow{W_1}$ et $\overrightarrow{W_2}$ deux directions de $W$. Il existe donc $a_1\in E$ et $a_2\in E$ tels que $W=a_1+\overrightarrow{W_1}=a_2+\overrightarrow{W_2}$.\\
Tout \sev comprenant $0_E$, on a $a_1=a_1+0_E\in a_1+\overrightarrow{W_1}=a_2+\overrightarrow{W_2}$, il existe donc $w_2\in\overrightarrow{W_2}$ tel que $a_1=a_2+w_2$. Par suite on a $a_2+w_2+\overrightarrow{W_1}=a_2+\overrightarrow{W_2}$, puis $\overrightarrow{W_2}=w_2+\overrightarrow{W_1}=\overrightarrow{W_1}$.
\item Soit $b\in W=a+\overrightarrow{W}$. Il existe donc $w\in\overrightarrow{W}$ tel qu'on ait $b=a+w$. Par suite, on a $b + \overrightarrow{W} = a+w+\overrightarrow{W} =a+\overrightarrow{W}=W$ d'apr\`es la remarque pr\'eliminaire.\\[-1cm]
\end{enumerate}
\cqfd

\medskip
\exo ~%Dans $\R^3$.\\
Consid\'erons $\pc = \bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ 2x+y+z=3\bigg\}$. Montrons que c'est un plan affine de $\R^3$, d\'eterminons sa direction et un \'el\'ement remarquable.\\

\begin{align*}
	P &= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , 2x+y+z=3 \right\}  \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3, z = 3 - 2x - y \right\}  \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\3-2x-y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \R^2\right\}  \\
	&= \tau_{\begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} } \left( \{\begin{pmatrix} x\\y\\-2x-y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \R^2 \}  \right)  \\
	&= \tau_{\begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} } \left( \Vect { \underbrace{\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\-2 \end{pmatrix} }_{\text{Direction}} }  \right)  \\
\end{align*}

%En reprenant l'argument vu au d\'ebut de la d\'emonstration de la remarque \ref{DirectionDUnSea} pr\'ec\'edente, on a en particulier~:
%
%\begin{rem}\label{SeaDeDirectionE}$\overrightarrow{W} = E \Leftrightarrow W = E$.
%\end{rem}


\exx~~
Prenons un exemple \og pas dans $\R^n$\fg.\\[0.15cm]
L'ensemble $\sc=\{y\in\dc(\R,\R),\ y'=y+1\}$ est un \sea de $\dc(\R,\R)$. En effet $\sc$ est l'ensemble\,des\,solutions\,de $$y'(t)-y(t)=1$$
donc de la forme $\{t \mapsto y_H(t)+y_p(t), y_H\in\sc_H\}$ o\`u $y_p(t)=-1$ est une solution particuli\`ere et o\`u $\sc_H=\{t\mapsto K\e^{t},\ K\in\R\}$ est l'ensemble des solutions homog\`enes.\\[0.2cm]
Ainsi $\sc=\{t \mapsto K\e^t-1,\ K\in\R\}$.\\[0.2cm]
Autrement dit $\sc = \tau_{t\mapsto -1}(\sc_H)=\tau_{t\mapsto -1}(\Vect{\exp})$.\\\\
\xxe



%\medskip
%On peut donc, \`a tout \sea $W$, associer un unique \sev $\overrightarrow{W}$.  Les vecteurs de $\overrightarrow{W}$ ne sont pas, en g\'en\'eral, des \'el\'ements de $W$, mais ils jouent un r\^ole important vis-\`a-vis de $W$~: la somme d'un \'el\'ement de $W$ et d'un \'el\'ement de $\overrightarrow{W}$ donne un \'el\'ement de $W$.\\
%$$\text{On a } a\in W \text{ et } w\in\overrightarrow{W} \text{ donc on a } b=a+w\in W.$$
%Introduisons un peu de t
Terminologie~: on appelle~:\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \newdef{point de $W$} un \'el\'ement de $W$~;
\item \newdef{vecteur de $W$} un \'el\'ement de $\overrightarrow{W}$.\subline
\end{enumerate}

L'id\'ee~: en tant qu'\'el\'ements de $E$, les \'el\'ements de $W$ sont assur\'ement des vecteurs.\\
Mais en oubliant que $E$ existe et en retenant seulement l'espace $W$ dans lequel on travaille~: $W$ n'est pas stable par CL, c'est $\overrightarrow{W}$ qui l'est, et ce sont donc les \'el\'ements de $\overrightarrow{W}$ qui m\'eritent de s'appeller vecteurs.\\%\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{./fig_1.png}
\end{figure}

%Renversons maintenant le point de vue : la diff\'erence de deux points d'un espace affine $W$ donne un vecteur de $W$.
\Propdef\ \\[-0.35cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. Soit $(A,B)\in W^2$. \semisubline\\On appelle vecteur d'origine $A$ et d'extr\'emit\'e $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB} = B-A$, et on a $B-A\in \overrightarrow{W}$.\\
Ceci permet de d\'efinir une application $\overrightarrow{ \cdot  \ \cdot\!  \cdot }\ : \defapp{W^2}{\overrightarrow{W}}{(A,B)}{\overrightarrow{AB}}$.
\FinPropdef

\demo
Soient $A\in W$ et $B\in W$. Il s'agit de montrer qu'on a bien $B-A\in\overrightarrow{W}$. Par d\'efinition, il\semisubline existe $a\in E$ tel que $W=a+\overrightarrow{W}$~; il existe donc $w_1\in \overrightarrow{W}$ et $w_2\in \overrightarrow{W}$ tels que $A=a+w_1$ et $B=a+w_2$, et par suite on a $B-A=w_2-w_1\in \overrightarrow{W}$ puisqu'un \sev de $E$ est stable par diff\'erence.
\cqfd

\medskip

\Proposition[Structure d'espace affine]\ \\[-0.35cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. L'op\'eration $\too$ d\'efinie de $W^2$ dans $\overrightarrow{W}$ v\'erifie les propri\'et\'es suivantes~:
\enumeration{
\item Relation dite "de Chasles"~: $\forall (A,B,C)\in W^3,\ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
\item Bijection points/vecteurs \`a origine fix\'ee~:
 $\forall \Omega \in W,\ \forall w \in \overrightarrow{W},\ \exists! A \in W,\ \overrightarrow{\Omega A} = w$.}
\FinProposition

%Le nom du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent tient au fait qu'il existe une notion d'espace affine abstrait (ind\'ependant d'un espace vectoriel le contenant), hors-programme en \textsc{CPGE} , dont une axiomatique possible est donn\'ee par ce th\'eor\`eme.

\demo
Le formalisme adopt\'e ici rend ce th\'eor\`eme \'evident.
\begin{enumerate}[1.]
\item Pour tout $(A,B,C)\in W^3$, on a $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=B-A+C-B=C-A=\overrightarrow{AC}$.
\item Soient $\Omega\in W$ et $w\in \overrightarrow{W}$.\\
Pour tout point $A\in W$, on a $\overrightarrow{\Omega A} = w \Leftrightarrow A - \Omega = w \Leftrightarrow A = \Omega + w$.\\
D'o\`u, en particulier, l'existence et l'unicit\'e de $A$.\\[-0.75cm]
\end{enumerate}
%M\^eme preuve que dans $\R^n$.
\cqfd

%\medskip

%\Definition
%\ \\\vspace{-1.1cm}\\
%On dit que $W_1$ et $W_2$ sont \newdef{parall\`eles}\index{paralleles@parall\`eles} lorsqu'on a
%$\left\{ \begin{array}{c} \overrightarrow{W_1} \text{ sev de } \overrightarrow{W_2} \\ ou \\ \overrightarrow{W_2} \text{ sev de } \overrightarrow{W_1}. \end{array} \right.$
%\FinDefinition
%
%Cette relation est clairement sym\'etrique\footnote{Elle a \'et\'e artificiellement rendue sym\'etrique par d\'efinition.}${}^{,}$\footnote{Notons tout de m\^eme qu'il existe d'autres notions de parall\'elisme, parfois appel\'ees \newdef{parall\'elisme faible} et \newdef{parall\'elisme fort}, qui pour l'une n'est pas sym\'etrique et pour l'autre ne g\'en\'eralise pas la d\'efinition vue dans l'enseignement secondaire.}. Lorsque $W_1$ et $W_2$ sont parall\`eles, on pourra tout aussi bien dire que \newdef{$W_1$ est parall\`ele \`a $W_2$} ou que \newdef{$W_2$ est parall\`ele \`a $W_1$}.
%
%\exs\begin{enumerate}[1.]
%\item Pour prendre un exemple d\'eg\'en\'er\'e, un sous-espace affine de $E$ est toujours parall\`ele \`a sa direction. Plus g\'en\'eralement, deux sous-espaces affines de $E$ de m\^eme direction sont toujours parall\`eles.
%\item Prenons le cas $E=\R^3$. Posons $P=\left\{\vect{x\\y\\0},\ \vect{x\\y}\in\R^2\right\}$ et $D=\left\{\vect{1\\t\\1},\ t\in\R\right\}$. On a $P=\Vect{e_1,e_2}$, c'est donc un \sev de $\R^3$ et en particulier %\c{c}'en
% c'en est un sous-espace affine. On a $D=\tau_{u}\big(\Vect{e_2}\big)$ en posant $u=\vect{1\\0\\1}$. C'est donc un \sea de $\R^3$, de direction $\Vect{e_2}$.\\
%Comme on a bien $\Vect{e_2}\subset \Vect{e_1,e_2}$, $D$ est parall\`ele \`a $P$.\\

%\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3,-2)(8.5,4.5)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.52,0.91)(8.11,0.92)(4.98,-1.1)(-1.62,-1.1)
%\psplot{1.52}{9.09}{(--2.58-0*x)/2.83}
%\psline(1.52,0.91)(1.52,4.98)
%\psplot{-4.68}{1.52}{(--0.12-1.19*x)/-1.85}
%\psplot[linecolor=blue]{-4.68}{9.09}{(--35.61--0.01*x)/14.39}
%\psline[linecolor=zzttqq](1.52,0.91)(8.11,0.92)
%\psline[linecolor=zzttqq](8.11,0.92)(4.98,-1.1)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.98,-1.1)(-1.62,-1.1)
%\psline[linecolor=zzttqq](-1.62,-1.1)(1.52,0.91)
%\psline{->}(1.52,0.91)(4.35,0.91)
%\psline{->}(1.52,0.91)(-0.33,-0.28)
%\psline{->}(1.52,0.91)(1.52,3.66)
%\rput[tl](0.33,0.60){$e_1$}
%\rput[tl](2.77,1.20){$e_2$}
%\rput[tl](1.10,3.10){$e_3$}
%\parametricplot{5.064442271946728E-4}{0.5713374798336268}{1*0.69*cos(t)+0*0.69*sin(t)+-1.62|0*0.69*cos(t)+1*0.69*sin(t)+-1.1}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.52,0.91)
%\rput[bl](1.59,1.01){\blue{$O$}}
%\rput[tl](-1.15,2.79){\blue{$D$}}
%\rput[tl](-1.25,-0.86){$P$}
%\end{scriptsize}
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 3pt](-0.33,2.47)(1.52,3.66)
%\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 3pt](-0.33,2.47)(-0.33,-0.28)
%\end{pspicture*}
%Ici $D$ est plus pr\'ecis\'ement une droite affine de $\R^3$ et $P$ un plan (vectoriel, donc affine) de $\R^3$. Plus g\'en\'eralement, pour les droites et plans de $\R^3$, on retrouve la notion de parall\'elisme \'etudi\'ee en classe de terminale scientifique. De m\^eme, pour les droites de $\R^2$, on retrouve la notion de parall\'elisme \'etudi\'ee en classe de premi\`ere scientifique.
%\end{enumerate}
%\sxe

\subsection{Propri\'et\'es}

\smallskip

\Definition\ \\[-0.3cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. On appelle dimension de $W$ la dimension de $\overrightarrow{W}$, on note $\dim(\overrightarrow{W})=:\dim(W)$.
\FinDefinition


\Definition\ \\[-0.3cm]
Soit $W$ un \sea de $E$. Soit truc $\in$ $\big\{$droite, plan, hyperplan, $\ldots\big\}$.\\
On dit que $W$ est un truc affine lorsque $\overrightarrow{W}$ est un truc (vectoriel).
%On dit que $W$ est :
%\begin{enumerate}
%\item \newdef{un point}\index{point} lorsqu'on a $ \overrightarrow{W} = \{0_E\}$~;
%\item \newdef{une droite affine\index{droite!affine}} lorsque $ \overrightarrow{W}$ est une droite~;
%\item \newdef{un plan affine}\index{plan!affine} lorsque $\overrightarrow{W}$ est un plan~;
%\item \newdef{un hyperplan affine}\index{hyperplan!affine} lorsque $\overrightarrow{W}$ est un hyperplan.
%\end{enumerate}
\FinDefinition

%Il y a donc ici un petit abus de langage. En se tenant \`a la terminologie pr\'ec\'edente on aurait d\^u dire, pour $\overrightarrow{W} = \{0_E\}$, que $W$ est un singleton form\'e d'un point.

%\medskip
%
%\begin{rem}
%\begin{enumerate}[1.]
%\item Les \seas de $\K$ sont les points et $\K$.
%\item Les \seas de $\K^2$ sont : les points, les droites affines, $\K^2$.
%\item Les \seas de $\K^3$ sont : les points, droites affines, plans affines et $\K^3$.
%\item Les \seas de $\K^4$ sont : les points, les droites affines, les plans affines, les hyperplans affines, $\K^4$.\qed
%\end{enumerate}
%\end{rem}

\exx~~
$\{y\in\dc(\R,\R),\ y'=y+1\}$ est une droite affine.\\
\xxe

\begin{appl}
Quels sont les \seas de $\K^3$~? \\[0.2cm]
Les \seas de $\K^3$ sont n\'ecessairement de dimension $0$, $1$, $2$ ou $3$ donc~: les points, droites affines, plans affines et $\K^3$.\\\\
\end{appl}

%
%\demo
%\begin{enumerate}[1.]
%\item Soit $W$ un \sea de $\K$. Sa direction $\overrightarrow{W}$ est donc un \sev de $\K$ qui, d'apr\`es l'application \ref{SevsDeKn} du chapitre \ref{DimensionFinie}, p. \pageref{SevsDeKn}, est n\'ecessairement $\{0_E\}$ ou $\K$. Dans le premier cas $W$ est un point par d\'efinition. Dans le second cas on a $W=\K$ d'apr\`es la remarque \ref{SeaDeDirectionE}.
%\item Soit $W$ un \sea de $\K^2$. Sa direction $\overrightarrow{W}$ est donc un \sev de $\K^2$ qui, d'apr\`es l'application \ref{SevsDeKn} du chapitre \ref{DimensionFinie}, est n\'ecessairement $\{0_E\}$, une droite vectorielle ou $\K^2$. Dans le premier cas $W$ est un point par d\'efinition.  Dans le deuxi\`eme cas $W$ est une droite affine par d\'efinition. Dans le dernier cas on a $W=\K^2$ d'apr\`es la remarque \ref{SeaDeDirectionE}.
%\end{enumerate}
%On proc\`ede de la m\^eme fa\c{c}on pour les \seas de $\K^3$ et de $\K^4$, toujours en se ramenant aux \sevs et en utilisant l'application \ref{SevsDeKn} du chapitre \ref{DimensionFinie}.\cqfd

%\begin{exemples}
%\begin{enumerate}[1.]
% \item $\big\{X^3 + \frac 3 2 X^2 + aX + b,\ (a, b) \in \K^2\big\}$ est un \sea de direction $\K_1[X]$ passant par $X^3 + \frac 3 2 X$ : c'est donc un plan affine.
% \item $\left\{a_n X^n + \cdots +a_1 X + 1,\ n\in\N,\ (a_1, \ldots , a_n) \in \K^n\right\} = X\K[X] + 1$ est un \sea passant par $1$ et de direction $X\K[X]$.
% C'est un hyperplan affine.\qed
%\end{enumerate}
%\end{exemples}

%\rmq
%On peut d\'efinir les barycentres dans n'importe quel sous-espace affine, comme fait en cours dans $\R^n$.
%\qmr


\Theoreme
Une intersection de \seas est soit vide, soit un sous-espace affine.
\FinTheoreme

\demo Soit $(W_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces affines. Notons $W=\bigcap\limits_{i\in I} W_i$~; il s'agit de montrer que, si $W$ est non vide, alors c'est un sous-espace affine. On suppose $W$ non vide~: il existe $x_0 \in W$.\\
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item Notons $F=\bigcap\limits_{i\in I} \overrightarrow{W_i}$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$ comme intersection de \sevs{} de $E$.
\item On a $x_0 \in W$, autrement dit on a~: $\forall i\in I,\ x_0\in W_i$. On a donc~: $\forall i\in I,\ W_i=x_0+\overrightarrow{W_i}$. Soit $x\in E$. On a~:\\
$\begin{array}{lcl}
x \in W & \Leftrightarrow & \forall i\in I,\ x\in W_i\\
        & \Leftrightarrow & \forall i\in I,\ x-x_0\in \overrightarrow{W_i}\\
        & \Leftrightarrow & x-x_0\in F\\
        & \Leftrightarrow & x\in x_0+F
\end{array}$\ \\
On a finalement $\forall x\in E,\ x\in W \Leftrightarrow x\in x_0+F$, \cad $W=x_0+F=\tau_{x_0}(F)$, et comme $F$ est un sous-espace vectoriel, $W$ est bien un sous-espace affine.
\end{itemize}
\cqfd


\subsection{Rep\`eres}

%La d\'efinition est la m\^eme que dans $\R^n$.

\Definition\ \\[-0.35cm]
Soit $W=a+\overrightarrow{W}$ un sous-espace affine de $E$. On appelle \newdef{rep\`ere} de $W$ tout couple $(\Omega,\bc)$ avec $\Omega\in W$ et $\bc$ une base de $\overrightarrow{W}$ (en particulier, on {\it peut} prendre $\Omega=a$).\\[-0.25cm]
Si $\dim(W)<+\infty$, pour tout point $A\in W$, on appelle \newdef{coordonn\'ees de $A$ dans $\rc$} le $n$-uplet $\decomp{\overrightarrow{\Omega A}}{\bc}$.
\FinDefinition

Une fa\c{c}on canonique pour d\'ecrire un sous-espace affine est de s'en donner un rep\`ere, de m\^eme que pour d\'ecrire un sous-espace vectoriel de $E$, on peut se donner une base de $E$.\\[0.1cm]
Les coordonn\'ees d'un point dans un rep\`ere g\'en\'eralisent le concept de coordonn\'ees vu dans le plan au coll\`ege.

%\smallskip

%\begin{exemples}\label{ReperesDivers}
%\begin{enumerate}[1.]
%\item\label{ReperePlan}L'ensemble des solutions r\'eelles du syst\`eme lin\'eaire $Ax=b$ avec 
%$$A={\scriptsize \left(\begin{array}{ccccccccccc} 2&-2&1&-5&3\\ 0&2&-4&-9&7\\ -6&7&-6&11&-7\\ 2&-5&14&5&3 \\ 0&1&-7&-2&-4 \end{array}\right)}\text{ et } b={\scriptsize\left(\begin{array}{cccc}8\\6\\-23\\13\\-7\end{array}\right)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$ est, comme on l'a vu dans le chapitre \ref{SystemesLineaires} (exemple \ref{ExemplesGaussnp}.\ref{Plan55}, p. \pageref{ExemplesGaussnp}), l'ensemble\\[0.15cm]
% $\left\{\vect{-21+\dfrac{31}{2}r+16t\\-15+11r+10t\\r\\-4+2r+3t\\t},\ \vect{r\\t}\in \R^2\right\}
%=\vect{-21\\-15\\0\\-4\\0}+\Vect{\vect{\frac{31}{2}\\11\\1\\2\\0},\vect{16\\10\\0\\3\\1}}$.
%\ \\[0.15cm]C'est bien un sous-espace affine de $\R^5$, un rep\`ere en est
%$\left(\vect{-21\\-15\\0\\-4\\0},\left(\vect{\frac{31}{2}\\11\\1\\2\\0},\vect{16\\10\\0\\3\\1}\right)\right)\text{.}$
%\item\label{RepereEDO}En appliquant les techniques de r\'esolution connues sur les \'equations diff\'erentielles\footnote{On pourra par exemple se r\'ef\'erer \`a , chapitre $8$, section $2.2$, p. $697$ \`a $699$.}, on trouve que l'ensemble des solutions sur $]0,1[$ de l'\'equation diff\'erentielle\footnote{Cette \'equation diff\'erentielle a fait l'objet d'un exercice lors des \'epreuves \'ecrites du concours CCP en $2009$.} $$xy'+y=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$$ est $\left\{x\mapsto \dfrac{\arcsin(x^2)+K}{x}\right\}=\left(x\mapsto \dfrac{\arcsin(x^2)}{x}\right)+\Vect{x\mapsto \dfrac{1}{x}}$, qui est bien un sous-espace affine de $\dc^1(]0,1[,\R)$. Un rep\`ere en est $\left(x\mapsto \dfrac{\arcsin(x^2)}{x}, \left(x\mapsto \dfrac{1}{x}\right)\right)$.\\
%On peut \'egalement d\'eterminer l'ensemble des solutions de cette \'equation sur l'intervalle $]-1,1[$~: en notant $f$ le prolongement par continuit\'e de $x \mapsto \dfrac{\arcsin(x^2)}{x}$ \`a $]-1,1[$, cet ensemble de solutions est le point $\{f\}$, qui est bien un sous-espace affine de $\dc^1(]-1,1[,\R)$. Un rep\`ere en est $(f,\emptyset)$.
%\end{enumerate}
%\end{exemples}

%\medskip
%
%Un cas particuli\`erement int\'eressant est celui o\`u $\dim(W)$ est finie. Rappelons que, lorsque $F$ est un espace vectoriel de dimension finie $n$, le choix d'une base de $F$ ram\`ene l'\'etude de $F$ \`a celle de l'espace vectoriel $\K^n$. De m\^eme, lorsque $W$ est un sous-espace affine\,\,de dimension finie $n$ (ce qui est automatiquement le cas, par exemple, lorsque $E$ est de\,\,dimension finie), le choix d'un rep\`ere de $\overrightarrow{W}$ ram\`ene l'\'etude de $W$ \`a celle de l'espace affine $\K^n$.\\
%
%
%\exx
%Reprenons l'exemple \ref{ReperesDivers}.\ref{ReperePlan} et notons $W$ l'ensemble des solutions du syst\`eme.\\
%Notons $\rc=\left(\vect{-21\\-15\\0\\-4\\0},\left(\vect{\frac{31}{2}\\11\\1\\2\\0},\vect{16\\10\\0\\3\\1}\right)\right)$ le rep\`ere obtenu. On observe par calcul direct que $P=\vect{-6\\-3\\2\\-3\\-1}$ appartient \`a $W$. Ses coordonn\'ees dans le rep\`ere $\rc$ sont $(2,-1)$.
%\xxe
%
%\medskip
%
%Bien s\^ur, il y a d'autres fa\c{c}ons de se donner des sous-espaces affines que d'en exhiber un rep\`ere, et notamment on pouvait d\'eterminer que les parties des exemples \ref{ReperesDivers} \'etaient bien des sous-espaces affines sans avoir \`a en trouver des rep\`eres. On d\'eveloppe cet autre point de vue et la m\'ethode de d\'etermination d'un rep\`ere dans la sous-section suivante.

\exx~ Un rep\`ere de $\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ 2x+y+z=3\bigg\}$ est 
$\Bigg(\mvect{0\\0\\3},\bigg(\mvect{1\\0\\-2},\mvect{0\\1\\-1}\bigg)\Bigg)$.
%.......................................................... .
\xxe

\exx~ Un rep\`ere de $\{y\in\dc(\R,\R),\ y'=y+1\}$ est $\bigg(x\mapsto-1,\Big(\exp\Big)\bigg)$.
%.......................................................... .
\xxe

\bigskip


\section{L'exemple fondamental}

\subsection{L'exemple fondamental de sous-espace affine}

\Theoreme[Exemple fondamental de sous-espace affine]\ \\[-0.35cm]
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels,  $f \in \L(E , F)$ et $b \in F$.\\[0.15cm]
Alors $W = \Big\{ x \in E,\ f(x) = b \Big\}$ est vide ou est un \sea de direction $\mathrm{Ker}(f)$.
\FinTheoreme

\demo %Cf beamer.
\begin{enumerate}[1.]
\item Si $W$ est vide, n'en parlons plus.
\item Sinon, il existe un vecteur $x_0 \in W$. On a alors~: %\\
 $x \in W \Leftrightarrow f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = f(x_0)$ $\Leftrightarrow x-x_0 \in \mathrm{Ker}(f) \Leftrightarrow 
x \in x_0 +\mathrm{Ker}(f)$. %\\
 D'o\`u $W = x_0 + \mathrm{Ker}(f) = \tau_{x_0}\big(\mathrm{Ker}(f)\big)$ et $W$ est bien un \sea de direction $\mathrm{Ker}(f)$.\\[-0.5cm]
\end{enumerate}
\cqfd


\subsection{Illustrations}

\begin{exemples}
\begin{enumerate}[1.]
%\item $W=\big\{X^3 + \frac 3 2 X^2 + aX + b, (a, b) \in \K^2\big\}$ est bien de cette forme, avec $E = F = \K[X]$, $b= 6X+3$ et $f = P \mapsto P''$ car on a $W =  \{ P \in \K[X], P'' = 6X+3\} $.\\
%\item $\left\{a_n X^n + \cdots +a_1 X + 1,\ n\in\N,\  (a_1, \ldots , a_n) \in \K^n\right\} = X\K[X] + 1$ est bien de cette forme. En effet, avec $E = \K[X]$, $F = \K$, $b = 1_{\K}$ et $f = P \mapsto P(0)$, on a bien $X\K[X] + 1 = \{ P \in E, P(0) = 1\}$. Comme $P \mapsto P(0)$ est une forme lin\'eaire, on retrouve que $X\K[X] + 1$ est un hyperplan affine.
\item $\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ 2x+y+z=3\bigg\}$ est bien de cette forme, avec~: $E=\K^3$, $F=\K$, $f = \mvect{x\\y\\z} \mapsto 2x+y+z$, $b=3$.\\
\item $\{y\in\dc(\R,\R),\ y'=y+1\}$ est bien de cette forme, avec~: $E=\dc(\R,\R)$, $F=\dc^0(\R,\R)$, $f = y \mapsto y'-y$, $b=x\mapsto 1$.\\
\item Pour $n\geq 2$, $W=\Big\{M\in\mc_n(\K),\ {}^tM+M=I_n\Big\}$ est un cas particulier de l'exemple fondamental, avec~: $E=\mc_n(\K)$, $F=\mc_n(\K)$, $f = M \mapsto {}^tM+M$, $b= I_n$.\\
C'est un sea car on a $\frac{1}{2}I_n\in W$.\\
\item Pour $n\geq 2$, $W=\Big\{M\in\mc_n(\K),\ {}^tM+M=E_{1,n}\Big\}$ est un cas particulier de l'exemple fondamental, avec~: $E=\mc_n(\K)$, $F=\mc_n(\K)$, $f = M \mapsto {}^tM+M$, $b= E_{1,n}$.\\
Mais c'est l'ensemble vide car pour tout $M\in\mnk$ on a ${}^tM+M\in\sc_n(\K)$ et $E_{1,n}\notin\sc_n(\K)$.\\
\end{enumerate}
\end{exemples}

%\medskip
%
%On peut se donner d'autres exemples d'applications lin\'eaires $f$ pour observer le r\'esultat obtenu.
%
%\medskip
%
%\begin{exemples}
%\begin{enumerate}[1.]
%\item Consid\'erons $E = F = \mnk$, $b = I_n$, $f = M \mapsto M + {}^t M $.\\
%Il est donc question ici de la partie $A = \{ M \in  M_n(\K),\ M + {}^t M = I_n\}$\\
%Remarquons qu'on a $A$ non vide car $\frac 1 2 I_n \in A$. D'apr\`es l'exemple fondamental, $A$ est donc un sous-espace affine. %\\
% Remarquons \'egalement qu'on a $\mathrm{Ker}(f) =  A_n(\K)$. La direction de $A$ est l'ensemble des matrices antisym\'etriques.\\
%Finalement : $A = A_n (\K) + \frac 1 2 I_n$.
%\item %Petite variante : consid\'erons toujours 
%Reprenons $E = F = M_n(\K)$ et $f = M \mapsto M + {}^t M $, mais $b = E_{1,n} = {\scriptsize \begin{pmatrix}
%0 & \ldots & 0 & 1 \\
%0 & \ldots & 0 & 0 \\
%\vdots & & \vdots &\vdots \\
%0 & \ldots & 0 & 0
%\end{pmatrix} }$.\\
%Il est donc question ici de la partie $B = \{ M \in  M_n(\K),\ M + {}^t M = E_{1,n}\}$.\\
%On observe qu'on a $\Im(f) = S_n(\K)$, donc $E_{1,n} \notin \Im(f)$ pour $n\geq 2$.\\
%Par cons\'equent l'\'equation $M + {}^t M = E_{1,n}$ n'a pas de solution. \\
%Autrement dit, on a $B = \emptyset$~!
%\end{enumerate}
%\end{exemples}


\section{Applications}


\subsection{Suites r\'ecurrentes affines doubles}

On s'int\'eresse aux suites $(u_n)_n$ v\'erifiant une relation de r\'ecurrence de la forme $\forall n\in\N,\ u_{n+2}=a_nu_{n+1}+b_nu_n+c_n$.\subline\\
Comme dans le chapitre \og dimension finie\fg, on se limitera ici au cas o\`u $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ sont constantes, mais pas n\'ecessairement $(c_n)_n$.

\begin{notation}\!\!\!(maison)~:~~
$E_{a,b,(c_n)_n} = \Big\{ (u_n)_n\in\K^\N,\ \forall n\in\N,\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n + c_n\Big\}$.
\end{notation}


\Proposition\ \\[-0.4cm]
$E_{a,b,(c_n)_n}$ est un sous-espace affine de $\R^\N$, de direction $\sc_{a,b}$.
\FinProposition

\demo\ \\C'est une application de l'exemple fondamental avec~: $E=\K^\N$, $F=\K^\N$, $f = (u_n)_n \mapsto (u_{n+2}-au_{n+1}-bu_n)_n$, $b=(c_n)_n$.
\\[0.2cm]
$E_{a,b,(c_n)_n}$ est non vide d'apr\`es le th\'eor\`eme de construction par r\'ecurrence double $\Big($ pour tout $(\alpha,\beta)\in\K^2$, il existe une unique suite dans $E_{a,b,(c_n)_n}$ telle que $u_0=\alpha$ et $u_1=\beta$... donc $E_{a,b,(c_n)_n}$ est "tr\`es" non vide $\Big)$.
\cqfd

\medskip

\exx D\'eterminons $(u_n)_n$ telle que $u_0=1$, $u_1=0$ et $\forall n\in\N, u_{n+2}=u_{n+1}+u_n+1$.
%\exx\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\phantom{Alignons le symbole de fin de d\'emonstration \`a droite. Alignons le symbole de fin de d\'emonstration \`a droite. Oui.}\qedsymbol

\paragraph{Solution homogène}

$u_{n+2}-u_{n+1}-u_n=0$

$X^2-X-1=0$

$\Delta = 1+4 = 5 \implies X_{1, 2} =\frac{1 \pm \sqrt{5} }{2}$ 

\begin{align*}
	u &= \lambda X_1 ^{\id} + \mu X_2^{\id} \\
\end{align*}

\paragraph{Solution particulière}

$(-1)_{n\in \N}$

 \begin{align*}
	u_n &= \lambda X_1^n + \mu X_2^n \\
	\begin{cases}
		u_0 &= 1 \\
		u_1 &= 0 \\
	\end{cases} &\iff \begin{cases}
		\lambda+\mu &= 2 \\
		\lambda X_1 + \mu X_2 &= 1 \\
	\end{cases} \\
	    &\iff \begin{cases}
	    	\mu &= 2-\lambda \\
		\lambda X_1 + (2-\lambda) X_2 &= 1 \\
	    \end{cases} \\
	    &\iff \begin{cases}
	    	\mu &= 2-\lambda \\
		\lambda(X_1-X_2) &= 1-2 X_2 \\
	    \end{cases} \\
	    &\iff \begin{cases}
		    \mu &= 2-\lambda \\
		    \sqrt{5}  \lambda&= \sqrt{5}  \\
	    \end{cases} \\
	    &\iff \begin{cases}
		    \lambda&= 1 \\
		    \mu&= 1 \\
	    \end{cases}
\end{align*}

\xxe
%\ \\[0.2cm]

\medskip

Toute la difficult\'e ici est donc de trouver une solution particuli\`ere. Essayons de g\'en\'eraliser la m\'ethode employ\'ee dans l'exemple pr\'ec\'edent.

\Proposition[Recette de grand-m\`ere.]\ \\[-0.35cm]
Notons $\Chi(X)=X^2-aX-b$ le polyn\^ome caract\'eristique.\\[0.15cm]
Si $(c_n)_n$ est de la forme $\big(P(n)q^n\big)_n$ avec $P$ un polyn\^ome de degr\'e $p$ alors~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q$ n'est pas racine de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(q^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\item Si $q$ est racine simple de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(nq^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\item Si $q$ est racine double de $\Chi$ alors il existe une solution particuli\`ere de la forme $\big(n^2q^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\deg(Q)=p$.
\end{enumerate}
\FinProposition

Autrement dit, on a toujours une solution particuli\`ere de la forme  $\big(n^\mu q^nQ(n)\big)_n$ o\`u $\mu$ est la multiplicit\'e de $q$ comme racine du polyn\^ome caract\'eristique.

\demo Par calcul direct (p\'enible mais sans astuce). \cqfd

\medskip

\exo
D\'eterminons $(u_n)_n$ telle que $u_0=1$, $u_1=\frac{3}{2}$ et $\forall n\in\N, u_{n+2}=2u_{n+1}-u_n+1$.\\

Le second membre est de la forme $P(n)q^n$ avec $P(n)=1$ et $q=1$

Manque de bol: 1 est racine double du polynôme 
$\vdots$

Solutions homogènes on a déjà calculé les racines du polnyôme caractéristique $P(X)=X^2-2X+1=(X-1)^2$

Solution générales?

$\lambda n+\mu+\frac{n^2}{2}$ 

\begin{align*}
	\begin{cases}
	1 &= u_0 = \mu \\
	\frac{3}{2} &= u_1 = \lambda + \mu + \frac{1}{2} \\
\end{cases} &\text{ ie } \begin{cases}
	\lambda &= 0 \\
	\mu&= 1 \\
\end{cases} \\
&\text{ ie } \forall n\in \N, u_n = \frac{n^2}{2}+1
\end{align*}

\exo
D\'eterminons l'unique suite $(u_n)_{n\in\N}$ telle que $u_0=0$, $u_1=2$ et $\forall n\in\N, u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_{n}+2^nn$.\\


Le second membre est de la forme $P(n)q^n$ avec $P(n)=n$ et $q=2$

Manque de bol: 2 est racine simple du polynôme caractéristique  $X^2-3X+2$

On cherche une solution particulière sous la forme

\begin{align*}
	(u_n)_{n} = (n(an+b)2^n)_{n\in \N}
\end{align*}

\begin{align*}
	(a(n+2)^2+b(n+2))2^{n+2}-3(a(n+2)^2+b(n+1))2^{n+1}+2(an^2+bn)2^n=n_2^n
\end{align*}

On développe et on divise par $2^n$ 

\begin{align*}
	\forall n\in \N, 4an + (10a + 2b) &= n \\
	\text{ie } \begin{cases}
		a&= \frac{1}{4} \\
		b&= -\frac{5}{4} \\
	\end{cases}
\end{align*}

Remarque~: Wolfram Alpha sait faire.

\medskip


\subsection{Polyn\^omes de Lagrange~: le retour}

On fixe un entier $n$, ainsi que $n+1$ scalaires distincts $\alpha_0,\ \alpha_1,\ \ldots,\alpha_n\in\K$, et $n+1$ scalaires non n\'ecessairement distincts $\beta_0,\beta_1,\ldots,\beta_n\in\K$.


\Theoreme
L'ensemble $\big\{P\in\K[X],\ \forall i\in\{0,\ldots,n\},\ P(\alpha_i)=\beta_i\big\}$ est un sous-espace affine de $\K[X]$.\\[0.15cm]
$\bullet$ Sa direction est~: $\bigg(\prod\limits_{i=0}^n(X-\alpha_i)\bigg)\K[X]$.
\\[0.15cm]
$\bullet$ Il passe par~: $L(X)=\sum\limits_{k=0}^n \beta_iL_i(X)$.
\\[-0.25cm]
\FinTheoreme

\demo C'est encore l'exemple fondamental~! $E=\K[X]$, $F=\K^{n+1}$, $f=P\mapsto \mvect{P(\alpha_0)\\P(\alpha_1)\\\vdots\\P(\alpha_n)}$, $b=\mvect{\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_n}$.

\begin{align*}
	\begin{cases}
		E &= \K[X] \\
		F&= \K^{n+1} \\
		f&= P \mapsto \begin{pmatrix} P(\alpha_0) \\ \vdots \\ P(\alpha_n) \end{pmatrix}  \\
		b&= \begin{pmatrix} \beta_0\\ \vdots \\ \beta_n \end{pmatrix}  \\
	\end{cases}
\end{align*}

\begin{description}
	\item[Direction] $\Ker f = \left( \prod_{i=0}^{n} (X-\alpha_i)  \right) \K[X]$
	\item[Passe par] $L(X) = \sum_{k=0}^{n} \beta_k L_k(X)$
\end{description}

\cqfd

\medskip


\subsection{Syst\`emes lin\'eaires}

\Theoreme[Th\'eor\`eme de structure affine]\ \\[-0.35cm]
L'ensemble des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire est vide ou bien un \sea de $\K^n$ de direction l'ensemble des solutions du syst\`eme lin\'eaire homog\`ene associ\'e.
\FinTheoreme

\demo
C'est encore un cas particulier de l'exemple fondamental avec~:
$E=\K^n$, $F = \K^m$, $b = \vect{b_1\\\vdots\\b_m}$ et $f = \vect{x_1\\\vdots\\x_n} \mapsto \vect{a_{1,1}x_1+\cdots+a_{1,n}x_n\\\vdots\\a_{m,1}x_1+\cdots+a_{m,n}x_n}$.
\cqfd

\begin{align*}
	\{P, \begin{cases}
		\exists Q_1\in \K[X], P = (X-1)^2Q_1 - 1 \\
		\exists Q_2\in \K[X], P = (X+1)^2Q_2 + 1
	\end{cases}\}  &= \{P, \begin{cases}
		P \text{ mod } (X-1)^2 &= -1 \\
		P \text{ mod } (X+1)^2 &= +1 \\
	\end{cases}\}  \\
\end{align*}


On a $\begin{cases}
	E&= \K_4[X] \\
	F&= \K_2[X] \\
	b&= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}  \\
	f&= P \mapsto \begin{pmatrix} P \text{ mod } (X-1)^2 \\ P \text{ mod } (X+1)^2 \end{pmatrix}  \\
\end{cases}$

\bigskip

Interpr\'etation g\'eom\'etrique : l'ensemble des solutions est l'intersection (\'eventuellement vide) des hyperplans affines dont les \'equations sont celles du syst\`eme. Finalement, r\'esoudre un syst\`eme lin\'eaire, c'est montrer que l'espace de ses solutions est vide ou en trouver un rep\`ere lorsque le syst\`eme est compatible.

\medskip

\subsection{Distance \`a un hyperplan affine}

Dans cette sous-section on suppose qu'on a $\K=\R$ et que $E$ est muni d'un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle$.

\Lemme
Soient $M, N, a\in E$ Alors \begin{align*}
	d(\tau_a(M), \tau_a(N)) &= d(M, N) \\
\end{align*}
\FinLemme


\demo
\begin{align*}
	d(\tau_a(M), \tau_a(N)) &= \| (M+a) - (M-a) \| \\
	&= \| M - N \| \\
	&= d(M, N) \\
\end{align*}
\cqfd

\Theoreme
La distance d'un point $M$ \`a l'hyperplan affine passant par un point $A$ et ayant pour vecteur normal unitaire $\eta$ est $\big|\langle\overrightarrow{AM},\eta\rangle\big|$.
\FinTheoreme

\demo
\begin{align*}
	d(\lvec{AM}, \vec H) &= | \left<\lvec{AM}, \eta \right> | \\
			     &= d(M-1, \vec H) \\
			     &= d(M, \underbrace{A+\vec H}_{H} \quad&\text{Lemme 1} \\
\end{align*}

\begin{figure}[h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig_2.png}
\end{figure}

\cqfd

%\begin{application}
%TODO	
%\end{application}


% \subsection{Barycentres et convexes}
% 
% Dans cette sous-section on suppose qu'on a $\K=\R$.
% 
% \Definition
% \ \\[-0.85cm]
% \begin{enumerate}
%  \item On dit que $( (x_1, \lambda_1), \hdots, (x_n, \lambda_n))$ est un \newdef{syst\`eme pond\'er\'e} lorsque les $x_i$ sont des vecteurs de $E$, les $\lambda_i$ sont des scalaires et $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \neq 0$.\\[-0.5cm]
%  \item \newdef{Le barycentre} du syst\`eme pond\'er\'e $( (x_1, \lambda_1), \hdots, (x_n, \lambda_n))$  est le vecteur 
% $ \frac {\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i} {\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i}$.
% \end{enumerate}
% \FinDefinition
% 
% %%\Proposition[Propri\'et\'es]
% %%\ \\\vspace{-1.2cm}\\
% %%\begin{enumerate}
% %% \item Le barycentre est associatif.
% %% \item On ne change pas le barycentre en multipliant tous les poids par un m\^eme scalaire non nul.\\
% %% En particulier, on pourra toujours, lorsque ce sera n\'ecessaire, supposer $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i = 1$.
% %%\end{enumerate}
% %%\FinProposition
% 
% \Proposition
% Soit $W$ une partie non vide de $E$.
% Alors $W$ est un sea \ssi $W$ est stable par barycentre.
% \FinProposition
% 
% \demo Exercice facile.
% \cqfd\ \\[-0.6cm]
% Les barycentres jouent donc le r\^ole, dans les seas, du r\^ole jou\'e par les CL dans les sevs.
% 
% \Definition
% \ \\[-0.85cm]
% \begin{enumerate}
%  \item Soit $u, v \in E$. On appelle \newdef{segment $[u, v]$} l'ensemble 
% $[u, v] = \{ (1-t) u + tv, t \in [0, 1] \}$.
% \item Soit $C \subset E$. On dit que $C$ est \newdef{convexe} lorsque $\forall (u, v) \in C^2, [u, v] \subset C$.
% \end{enumerate}
% \FinDefinition
% 
% \begin{exemple}
% Pour $E= \cc([a, b], \R)$, avec $a <b$, l'ensemble $C= \{ f \in E, \int_a^b | f | \leq 1 \}$ est un convexe de $E$.
% \end{exemple}
% 
% \demo\ \\\\\\\\\\\\\\
% %Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $C$. Soit $\lambda \in [0, 1]$.\\
% %On a $ \int_a^b | \lambda f(x) + (1-\lambda) g(x)| \dx$ par l'IT, $|\lambda f(x) + (1-\lambda) g(x)| \leq \lambda |f(x)| + (1-\lambda) |g(x)|$.\\
% %Par croissance de l'int\'egrale on a $\int_a^b |\lambda f(x) + (1-\lambda) g(x)| \dx \leq \int_a^b \lambda |f(x)| + (1-\lambda) |g(x)| \dx$\\
% %$\leq \lambda \int_a^b |f(x)|\dx + (1-\lambda) \int_a^b |g(x)|\dx \leq \lambda \times 1 + (1- \lambda) \times 1 \leq 1$.
% \cqfd
% 
% \Proposition
% Soit $C$ une partie de $E$.
% $C$ convexe \ssi $C$ stable par barycentre \`a poids positif.
% \FinProposition
% 
% \demo Exercice, qui revient essentiellement \`a montrer que le barycentre est associatif.
% \cqfd
% 
% 
% \subsection{\'Equations diff\'erentielles}
% 
% \Proposition\label{StructureAffineEquadiffOrdre1}\index{equationdifferentielle@\'equation diff\'erentielle!lin\'eaire du premier ordre}
% L'ensemble des solutions de l'\'equation 
% $ y'(t) + a(t) y(t) = b(t)$ 
% $ y' + a(t) y = b(t)$, o\`u $a, b \in \cc^1(I, \R)$ est une droite affine de $\cc^1(I, \R)$.\\
% Sa direction est l'ensemble des solutions de %$y'(t) + a(t) y(t) = 0$
% $y' + a(t) y = 0$, qui est une droite vectorielle.
% \FinProposition
% 
% \demo
% C'est un cas particulier de l'exemple fondamental avec 
% $E=\cc^1(I, \R)$, $F = \cc^0(I, \R)$, $b = t \mapsto b(t)$, $f = y \mapsto y' + ay$. Pour des d\'etails sur le caract\`ere non vide et la dimension, on invite le lecteur \`a se reporter \`a un cours d'analyse\footnote{Voir par exemple , th\'eor\`eme $154$ p. $692$.}. On peut aussi voir ce r\'esultat comme un corollaire de la remarque \ref{CauchyLipschitz}.
% \cqfd
% 
% \medskip
% 
% Plus g\'en\'eralement~:
% 
% \Proposition\index{equationdifferentielle@\'equation diff\'erentielle!lin\'eaire}
% L'ensemble des solutions de l'\'equation\\
% $y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0(t)y(t) = b(t) \text{ o\`u }a_i, b \in \cc^n(I, \R)$\\
% $y^{(n)} + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \cdots + a_0(t)y = b(t) \text{ o\`u }a_i, b \in \cc^0(I, \R)$\\
% est vide ou est un \sea de $\cc^n(I, \R)$ de direction l'ensemble des solutions de %$y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0(t)y(t) = 0$.
% $y^{(n)} + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \cdots + a_0(t)y = 0$.
% \FinProposition
% 
% \demo
% C'est un cas particulier de l'exemple fondamental avec 
% $E= \cc^n(I, \R)$,  $F = \cc^0(I, \R)$, $b = t \mapsto b(t)$, et $f = y \mapsto y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_0y$.\cqfd
% 
% \ \\
% 
% \rmq\label{CauchyLipschitz}On peut am\'eliorer le r\'esultat pr\'ec\'edent et g\'en\'eraliser agr\'eablement la proposition \ref{StructureAffineEquadiffOrdre1}. Il faut pour cela admettre le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz lin\'eaire au programme en seconde ann\'ee\index{Cauchy-Lipschitz lin\'eaire (th\'eor\`eme de)}\index{th\'eor\`eme!de Cauchy-Lipschitz lin\'eaire}\footnote{Voir , th\'eor\`eme 20 p. 280.}
%  qui exprime que, pour tout $t_0\in I$ et tout $n$-uplet $(y_0,y_1,\hdots,y_{n-1})$, il existe une unique solution $y$ %telle que :
% $\lect{y(t_0) = y_0\\y'(t_0) = y_1\\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t_0) = y_{n-1} }$, pour $t_0$ est un \'el\'ement quelconque de $I$.\\
%  v\'erifiant $y(t_0) = y_0,\ y'(t_0) = y_1,\ \hdots, y^{(n-1)}(t_0) = y_{n-1}$.
% Cela montre en particulier que l'ensemble de toutes les solutions n'est jamais vide, c'est donc un sous-espace affine. On peut m\^eme \^etre plus pr\'ecis~: c'est un \sea de dimension $n$. Notons en effet $\sc=\mathrm{Ker}(f)$ o\`u $f$ est introduite dans la d\'emonstration pr\'ec\'edente. Par d\'efinition, $\sc$ est l'ensemble des solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \cdots + a_0(t)y(t) = 0$.\\
% Fixons un \'el\'ement %quelconque
%  $t_0$ de $I$ et posons $\Phi :  $ {\footnotesize $\defapp{\sc}{\R^n}{y}{\big(y(t_0),y'(t_0),\hdots,y^{(n-1)}(t_0)\big){\normalsize.}}$}\\
%  o\`u $t_0$ est un \'el\'ement quelconque de $I$.\\
% L'application $\Phi$ est clairement lin\'eaire par lin\'earit\'e de la d\'erivation et de l'\'evaluation. Elle est \'egalement bijective d'apr\`es le th\'eor\`eme de Cauchy-Lipschitz lin\'eaire (tout $n$-uplet a un unique ant\'ec\'edent). Finalement $\Phi$ est un isomorphisme, et la dimension \'etant stable par isomorphisme, $\sc$ a la m\^eme dimension que $\R^n$, c'est \`a dire $n$.
% \qmr
% 
% 


\end{document}
