\documentclass{article}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\section{Critère de la loupe}
\label{preuve}

Traitons deux cas.

\underline{1er cas} \emph{($\sum u_n$ converge)}: 

Soit $n\in \N$. Par décroissance de $u$, on a:

\begin{align*}
	u_2 &\ge u_2 \\
	u_3 &\ge u_4 \\
	u_4 &\ge u_4 \\
	u_5 &\ge u_8 \\
	u_6 &\ge u_8 \\
	u_7 &\ge u_8 \\
	u_8 &\ge u_8 \\
	& \vdots \quad \text{par récurrence} \\
	u_{2^{n}} &\ge u_{2^n}
\end{align*}

En sommant:

\begin{align*}
	u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 + u_7 + \cdots + u_n &\ge \underbrace{u_2}_{2^0} + \underbrace{u_4 + u_4}_{2^1} + \underbrace{u_8 + u_8 + u_8 + u_8}_{2^2} + \cdots + \underbrace{u_{2^n} + \cdots + u_{2^n}}_{2^{n-1}} \\
	\text{i.e.}\quad \sum_{k=2}^{2^n} u_k &\ge \sum_{k=1}^{2^n} 2^{k-1} u_{2^k} \\
	\text{i.e.}\quad \sum_{k=2}^{+\infty} u_k &\ge \sum_{k=1}^{+\infty} 2^{k-1} u_{2^k} \qquad\text{par stabilité par lim de $\ge$} \\
\end{align*}

Or on a $\sum_{k=2}^\infty u_k < +\infty$ par hypothèse, donc, par transitivité:

\begin{align*}
	\sum_{k=1}^{+\infty} 2^{k-1}u_{2^k} &< +\infty \\
	\text{i.e.}\quad \sum_{k=1}^{+\infty} 2^{k}u_{2^k} &< +\infty \qquad \text{par multiplication par $2$} \\
	\text{d'où}\quad \sum_n 2^n u_{2^n} &\ \text{converge}
\end{align*}

\underline{2ème cas} \emph{($\sum u_n$ diverge)}:

Soit $n\in \N$. Par décroissance de $u$, on a:

\begin{align*}
	2u_2 &\ge u_2 + u_3 \\
	4u_4 &\ge u_4 + u_5 + u_6 + u_7 \\
	8u_8 &\ge u_8 + u_9 + \cdots + u_{15} \\
	     &\vdots \quad \text{par récurrence} \\
	2^n u_{2^n} &\ge u_{2^n} + \cdots + u(2^{n+1}-1)
\end{align*}

En sommant:

\begin{align*}
	\sum_{k=2}^{n} 2^k u_{2^k} &\ge \sum_{k=2}^{2^{n+1}-1} u_k \\
	\text{i.e.}\quad \sum_{k=2}^{+\infty} 2^k u_{2^k} &\ge \sum_{k=2}^{+\infty} u_k
\end{align*}

Or on a $\sum_n u_n$ diverge. Par définition de la divergeance

\begin{itemize}
	\item $\sum_n^\infty u_n \neq  -\infty$ car $u\ge 0$
	\item $\sum_n^\infty $ est définie (i.e. $\left( \sum_n u_n \right)_n$ a une limite)
\end{itemize}

Donc on a $\sum_n^\infty u_n = +\infty$.

Par transitivité, on a bien

\[
	\sum_n^\infty 2^n u_{2^n} = +\infty
\] 

\section{Applications}
\subsection{Riemann}

Posons $\alpha\in \R$

\begin{align*}
	\sum_{n} 2^n \frac{1}{(2^n)^\alpha} &= \sum_{n} 2^n \cdot 2^{-n\alpha}\\
						  &= \sum_{n} (2^{1-\alpha})^n \\
\end{align*}

On a donc

\begin{align*}
	\sum_{n}^\infty 2^n \frac{1}{(2^n)^\alpha} = +\infty &\iff |2^{1-\alpha}| < 1  &&\text{car géométrique} \\
							     &\iff -1 < 2^{1-\alpha} < 1 \\
							     &\iff  2^{1-\alpha} < 1 &&\text{car $2^\text{id} > 0$} \\
							     &\iff 1-\alpha < 0 \\
							     &\iff \alpha > 1
\end{align*}

Ainsi

\begin{align*}
	\sum_n^\infty \frac{1}{n^\alpha} = +\infty &\iff \alpha > 1 &\text{d'après \ref{preuve}}
\end{align*}

\subsection{Bertrand}

Posons $\alpha, \beta\in \R$.

Montrons que 

\[
	\sum_n^\infty \frac{1}{n^\alpha \ln(n)^\beta} = +\infty \iff (\alpha, \beta) >_\text{lex} (0, 0)
\] 

Soit $n\in \N$

\begin{align*}
	2^n \frac{1}{(2^n)^\alpha \ln(2^n)^\beta} &= \frac{1}{(2^n)^{\alpha-1} (n \ln 2)^\beta} \\
						  &= \frac{1}{(2^n)^{\alpha-1} n^\beta \ln(2)^\beta} \\
						  &=: \mathfrak{B}_n
\end{align*}

Traitons deux cas.

\underline{1er cas}\emph{( $\alpha=1$ )}:

On a alors 

\begin{align*}
	\sum_n^\infty \mathfrak{B}_n &= \sum_n^\infty \frac{1}{\cancel{(2^n)^0} n^\beta \ln(2)^\beta } \\
				     &= \frac{1}{\ln(2)^\beta} \sum_n^\infty \frac{1}{n^\beta} \\
				     &= +\infty \iff \beta > 1 &&\text{d'après Riemann et par linéarité}
\end{align*}

\underline{2ème cas}\emph{( $\alpha \neq 1$ )}:

On a alors

\begin{align*}
	\sum_n^\infty \mathfrak{B}_n &= \frac{1}{\ln(2)^\beta} \sum_n^\infty \frac{1}{(2^n)^{1-\alpha} n^\beta} \\
				     &= +\infty \iff 1-\alpha > 1 \text{ i.e. } \alpha > 1 &&\text{car $n^\beta = o((2^n)^{1-\alpha})$} \\
\end{align*}

On retrouve donc bien:

\begin{align*}
	\sum_n^\infty 2^n \frac{1}{(2^n)\alpha \ln(2^n)^\beta} = +\infty &\iff (\alpha = 1 \land \beta > 1) \lor \alpha > 1 \\
		\text{i.e.} \quad \sum_n^\infty \frac{1}{n^\alpha \ln(n)^\beta} = +\infty &\iff (\alpha, \beta) >_\text{lex} (1, 1) &&\text{d'après \ref{preuve} et par définition de $>_\text{lex}$}
\end{align*}

\end{document}
