\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Relations de comparaison.}}\\
\end{center}

Notations (rappels)~:
\begin{enumerate}
\item \og On a $P(n)$ APCR \fg{} signifie~: $\exists n_0\in\N,\ \forall n\geq n_0,\ P(n)$~;
\item Pour $a$ fini, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists \epsilon>0,\ \forall x \in ]a-\eps,a+\eps[,\ P\big(x)$~;
\item Pour $a=+\infty$, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists A>0,\ \forall x \in ]A,+\infty[,\ P\big(x)$~;
\item Pour $a=-\infty$, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists B<0,\ \forall x \in ]-\infty,B[,\ P\big(x)$.\\
\end{enumerate}

\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\section{Domination}
\subsection{D\'efinitions}
\dfn[Domination pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\left(\dfrac{|u_n|}{|v_n|}\right)_{n\in\N}$ est major\'ee.
\item Plus g\'en\'eralement, on dit que $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\exists K\geq 0,\ |u_n|\leq K|v_n| \text{ APCR}$.\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n = \oc(v_n)$.
\nfd
\nota\ \\[-0.66cm]
\begin{enumerate}
\item On a vu qu'on note $u_n=\oc(v_n)$ pour \og $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_n$ \fg.
\item On notera aussi $\oc(v_n)$ l'ensemble de toutes les suites domin\'ees par $(v_n)_n$.
\item On notera aussi $u_n=v_n+\oc(w_n)$ pour $u_n-v_n=\oc(w_n)$.
\end{enumerate}
\aton
\dfn[Domination pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, on dit que $f$ est domin\'ee par $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\left(\dfrac{|f|}{|g|}\right)$\\[-0.25cm] est major\'ee au voisinage de $a$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est domin\'ee par $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\exists K\geq 0,\ |f|\leq K|g|$ au voisinage de $a$.\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f = \oc_a(g)$  $\Big($ou, si le contexte ne laisse pas d'ambigu\"{\i}t\'e sur $a$~: $f = \oc(g)\Big)$.\\[0.25cm]
On peut \'egalement noter $f(x) = \oc_a(g(x))$. On reprend aussi les deux autres notations vues pour les suites.
\nfd
\subsection{Propri\'et\'es}
\pro
La relation de domination (\og est domin\'e par\fg) est un pr\'eordre.
\orp
\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de la domination]
La relation de domination
\begin{enumerate}
\item absorbe les constantes~: si $\lambda\neq 0$ alors $\oc_a(\lambda f) = \oc_a(f)$~;
\item est stable par somme au sens suivant~: si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(v)$ alors $f+g=\oc_a(|u|+|v|)$~;
\item est stable par produit~: si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(v)$ alors $fg=\oc_a(uv)$.
\end{enumerate}
\mht
\rmq
Le point 2. est surtout int\'eressant pour son cas particulier suivant~: \fbox{si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(u)$ alors $f+g=\oc_a(u)$}.
\qmr
\pro[Grands O de $0$ et de $1$]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item $f=\oc_a(1) \Leftrightarrow$ $f$ est bornée au voisinage de $a$\\
\item $f=\oc_a(0) \Leftrightarrow$ $f = x\mapsto 0$ au voisinage de $a$\\
\end{enumerate}
\orp
\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n=\oc(0)$ ou $f=\oc(0)$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
\section{N\'egligeabilit\'e}
\subsection{D\'efinitions}
\dfn[N\'egligeabilit\'e pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\dfrac{u_n}{v_n}\too 0$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\exists (\eps_n)_{n\in\N}\in\R^\N,\ \lect{u_n=\eps_n v_n \text{ APCR}\\\eps_n\too 0.}$\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n = o(v_n)$.
\nfd
\nota\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item On a vu qu'on note $u_n=o(v_n)$ pour \og $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_n$ \fg.
\item On notera aussi $o(v_n)$ l'ensemble de toutes les suites domin\'ees par $(v_n)_n$.
\item On notera aussi $u_n=v_n+o(w_n)$ pour $u_n-v_n=o(w_n)$.
\end{enumerate}
\aton
\dfn[N\'egligeabilit\'e pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
	\item Si $g\neq 0$ au voisinage de $a$, on dit que $f$ est n\'egligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\tendvers{\dfrac{f(x)}{g(x)}}{x\too a}{0}$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est n\'egligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'il existe $\eps : \defapp{I}{\R}{x}{\eps(x)}$ telle que $\lect{f(x)=\eps(x) g(x) \text{ au voisinage de }a\\\tendvers{\eps(x)}{x\too a}{0}.}$
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f = o_a(g)$  (ou, si le contexte ne laisse pas d'ambigu\"{\i}t\'e sur $a$~: $f = o(g)$).\\[0.25cm]
On peut \'egalement noter $f(x) = o_a(g(x))$. On reprend aussi les deux autres notations vues pour les suites.
\nfd
\subsection{N\'egligeabilit\'es classiques}
\pro
Soient $\alpha, \beta\in\R$ et $a,b>0$.\\
\begin{enumerate}
	\item $x^\alpha = o_{+x\too\infty}(x^\beta) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\frac{\id^{\alpha}}{\id^{\beta}}}{\infty}{0} \iff \tendvers{\frac{1}{\id^{\beta-\alpha}}}{x\too\infty}{0} \iff \beta>\alpha$\\
	\item $x^\alpha = o_0(x^\beta) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\id^{\alpha-\beta}}{\infty}{0}\iff\alpha>\beta$\\
	\item $a^x = o_{+\infty}(b^x) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\frac{a^{x}}{b^{x}}}{x\too\infty}{0}\iff\tendvers{\left( \frac{b}{a} \right)^{x}}{x\to \infty}{0}\iff b>a$\\
\end{enumerate}
\orp
\thm[Croissances compar\'ees]
Pour $\alpha, \beta>0$~:~~ 1. $x^\alpha = o_{{}_{+\infty}}\!\left(\e^{\beta x}\right)$\qquad 2. $\ln(x)^\alpha = o_{{}_{+\infty}}\!\left(x^\beta\right)$\qquad
3. $\e^{\beta x} = o_{{}_{-\infty}}\!\!\left(\dfrac{1}{x^\alpha}\right)$\qquad 4. $\ln(x)^\beta = o_{{}_{0^+}}\!\!\left(\dfrac{1}{x^\alpha}\right)~$
\mht
\thm[Cas des suites]
Soient $\alpha, \beta>0$ et $q>1$. On a~:
\qquad 1. $n^\alpha = o\left(q^n\right)$
\qquad 2. $\ln(n)^\alpha = o\left(n^\beta\right)$
\qquad 3. $q^n = o\left(n!\right)$
\qquad 4. $n! = o\left(n^n\right)~$
\mht
\subsection{Propri\'et\'es}
\pro
La relation de n\'egligeabilit\'e (\og est n\'egligeable devant\fg) est transitive.
\orp
\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de la n\'egligeabilit\'e]
La relation de n\'egligeabilit\'e
\begin{enumerate}
\item absorbe les constantes~: si $\lambda\neq 0$ alors $o_a(\lambda f) = o_a(f)$~;
\item est stable par somme~:
\begin{enumerate}[i/]
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(v)$ alors $f+g=o_a(|u|+|v|)$~;
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(u)$ alors $f+g=o_a(u)$~;
\end{enumerate}
\item est stable par produit~:
\begin{enumerate}[i/]
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(v)$ alors $fg=o_a(uv)$~;
\item si $f=o_a(u)$ alors $fg=o_a(ug)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\mht
\pro[Petits o de $0$ et de $1$]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item $f=o_a(1) \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\item $f=o_a(0) \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\end{enumerate}
\orp
\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n=o(0)$ ou $f=o(0)$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
\section{\'Equivalence}
\subsection{D\'efinitions}
\dfn[\'Equivalence pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est \'equivalente \`a $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\dfrac{u_n}{v_n}\too 1$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $(u_n)_n$ est \'equivalente \`a  $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\exists (\gamma_n)_{n\in\N}\in\R^\N,\ \lect{u_n=\gamma_n v_n \text{ APCR}\\\gamma_n\too 1.}$\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n\sim v_n$.
\nfd
\dfn[\'Equivalence pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $g$ NSP au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \'equivalente \`a $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\tendvers{\dfrac{f(x)}{g(x)}}{x\too a}{1}$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est \'equivalente \`a $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'il existe $\eps : \defapp{I}{\R}{x}{\gamma(x)}$ telle que $\lect{f(x)=\gamma(x) g(x) \text{ au voisinage de }a\\\tendvers{\gamma(x)}{x\too a}{1}.}$
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f \sim_a g$  (ou $f \sim g$, ou $f(x) \sim_{x\too a} g(x)$).
\nfd
\rmq L'int\'er\^et de la relation d'\'equivalence est de calculer des \'equivalents \uuline{simples} pour simplifier l'\'etude en cours. Un \'equivalent qui se pr\'esente comme une somme n'est certainement pas un \'equivalent simple, donc est sans int\'er\^et en tant qu'\'equivalent.
\qmr
\subsection{\'Equivalents classiques}
\pro[\'Equivalent d'une fraction rationnelle en $0$ et $\pm \infty$]
Soient $P(x) = a_nx^n+\cdots+a_{n_0}x^{n_0}$ ($a_n, a_{n_0}\neq 0$) et $Q(x) = b_mx^m+\cdots+b_{m_0}x^{m_0}$ ($b_m,b_{m_0}\neq 0$) deux polyn\^omes.
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \sim_{\pm \infty} $ ...................................~;
\item $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \sim_{0} $ ...................................~;
\end{enumerate}
\orp
\rmq En particulier, pour un polyn\^ome $P(x) = a_nx^n+\cdots+a_{n_0}x^{n_0}$ ($a_n, a_{n_0}\neq 0$), on obtient~:\\\\%\\\\\\\\\\\\\\
\qmr
\dfn[S\'erie harmonique]
On note $H_n = \dsp{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}}$. La suite $(H_n)_n$ s'appelle la s\'erie harmonique.\\
\nfd
\pro[S\'erie harmonique]
On a $H_n \sim \ln(n)$.\\
\orp
\thm[Formule de Stirling]
$n! \sim \sqrt{2\pi n} \bigg(\dfrac{n}{\e}\bigg)^n$\\
\mht
\subsection{Propri\'et\'es}
\pro
La relation d'\'equivalence (\og est \'equivalente \`a\fg) est... une relation d'\'equivalence. Eh oui.
\orp
\thm
Deux fonction \'equivalentes ont, sous r\'eserve d'existence, m\^eme limite et m\^eme signe au voisinage de $a$.
\mht
\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de l'\'equivalence]
La relation d'\'equivalence
\begin{enumerate}
\item est stable par produit~: si $f\sim u$ et $g\sim v$ alors $fg\sim uv$~;
\item est stable par quotient~: si $f\sim u$, $g\sim v$ et $v$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\dfrac{f}{g}\sim \dfrac{u}{v}$~;
\item est stable par puissance \uuline{constante}~: si $f\sim g$ et $\alpha\in\R$ alors $f^\alpha \sim g^\alpha$.
\end{enumerate}
\mht
\pro[\'Equivalents constants]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item Si $\ell \in\R^*$, $f\sim_a \ell \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\item $f\sim_a 0 \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\end{enumerate}
\orp
\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n\sim 0$ ou $f\sim 0$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
\subsection{Lien avec la n\'egligeabilit\'e.}
\thm[lien avec la n\'egligeabilit\'e]
$\begin{array}{lcl} f\sim_a g 
& \Leftrightarrow & f = g + o_a(g)\\
& \Leftrightarrow & f = g + o_a(f)
\end{array}$
\mht
\col
Tout DL est \'equivalent \`a son premier terme non nul s'il en existe un.\\
Autrement dit si $a_{n_0}$ est le premier $a_i$ non nul dans l'expression pr\'ec\'edente, alors $f(x) \sim_0 a_{n_0} x^{n_0}$.
\loc
\section{D\'eveloppements asymptotiques}
\dfn[D\'eveloppement asymptotique]
On notera DA pour \og d\'eveloppement asymptotique\fg.
\begin{enumerate}
\item On appelle DA \`a un terme de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + o_a(g)$ o\`u $g$ est un \'equivalent {\bf simple}\footnote{Vu le lien \'equivalence/n\'egligeabilit\'e, c'est n\'ecessairement un \'equivalent de $f$.} de $f$.
\item On appelle DA \`a deux termes de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + h + o_a(h)$ o\`u~:\\
$\lect{g \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f~;\\h \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g.}$
\item On appelle DA \`a trois termes de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + h + u + o_a(u)$ o\`u~:\\
$\lect{g \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f~;\\h \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g~;\\u \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g-h.}$
\end{enumerate}
{\it Et c\ae tera.}
\nfd
\end{document}
