\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}

%\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Relations de comparaison.}}\\
\end{center}

Notations (rappels)~:
\begin{enumerate}
\item \og On a $P(n)$ APCR \fg{} signifie~: $\exists n_0\in\N,\ \forall n\geq n_0,\ P(n)$~;
\item Pour $a$ fini, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists \epsilon>0,\ \forall x \in ]a-\eps,a+\eps[,\ P\big(x)$~;
\item Pour $a=+\infty$, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists A>0,\ \forall x \in ]A,+\infty[,\ P\big(x)$~;
\item Pour $a=-\infty$, \og on a $P(x)$ au voisinage de $a$ \fg{} signifie~: $\exists B<0,\ \forall x \in ]-\infty,B[,\ P\big(x)$.\\
\end{enumerate}

\section{Domination}

La relation de domination est le \og$\oc$\fg{} (lire "grand O") utilis\'e en complexit\'e.

\subsection{D\'efinitions}

\dfn[Domination pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\left(\dfrac{|u_n|}{|v_n|}\right)_{n\in\N}$ est major\'ee.
\item Plus g\'en\'eralement, on dit que $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\exists K\geq 0,\ |u_n|\leq K|v_n| \text{ APCR}$.\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n = \oc(v_n)$.
\nfd

\exs
\begin{enumerate}
\item On a $n = \oc(n^2)$ car $\left(\dfrac{n}{n^2}\right)_{n\geq 1}=\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n\geq 1}$ est born\'ee (par exemple par $1$).
\item On a $5n+12 = \oc(n)$ car $\left(\dfrac{5n+12}{n}\right)_{n\geq 1}=\left(5+\dfrac{12}{n}\right)_{n\geq 1}$ est major\'ee (par exemple par $17$).\\
\end{enumerate}
\sxe

\exo Pourquoi la seconde d\'efinition est-elle bien une g\'en\'eralisation de la premi\`ere~?\\


\exs\ \\[-0.25cm]
\begin{enumerate}
\item A-t-on $n^2=\oc(n)$~?
\begin{align*}
\left( \frac{|n^2|}{|n|} \right)_{n\in \N^\ast} = (|n|)_{n\in \N^\ast} = \id_{\N^\ast} \to \infty\implies\text{pas majorée}\implies\text{non!}
\end{align*}
\item A-t-on $n = \oc(5n+12)$~?
\paragraph{Méthode 1}
\begin{align*}
	\left(\left| \frac{n}{5n+12} \right|\right)_{n\in \N} = \left(\left| \frac{1}{5+\frac{12}{n}} \right|\right)_{n\in \N} \leq \frac{1}{5}\implies\text{oui}
\end{align*}
\end{enumerate}
\sxe

\newpage
\ \\[-1cm]
\nota\ \\[-0.66cm]
\begin{enumerate}
\item On a vu qu'on note $u_n=\oc(v_n)$ pour \og $(u_n)_n$ est domin\'ee par $(v_n)_n$ \fg.
\item On notera aussi $\oc(v_n)$ l'ensemble de toutes les suites domin\'ees par $(v_n)_n$.
\item On notera aussi $u_n=v_n+\oc(w_n)$ pour $u_n-v_n=\oc(w_n)$.
\end{enumerate}
\aton

\exx:~
On a $\dfrac{1}{n-1}=\dfrac{1}{n}+\oc\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$. Expliquer pourquoi.
\begin{align*}
	\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}&=\frac{1}{n(n-1)} \\
	\implies \left(\left| \frac{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}} \right|\right)_{n\geq 2} = \left( \left| \frac{1}{n(n-1)}\right|\left|\frac{n^2}{1}\right| \right)_{n\geq 2} &\to 1 \implies \left( \frac{u_n-v_n}{w_n} \right)_n\ \text{est bornée}
\end{align*}
\xxe


\dfn[Domination pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, on dit que $f$ est domin\'ee par $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\left(\dfrac{|f|}{|g|}\right)$\\[-0.25cm] est major\'ee au voisinage de $a$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est domin\'ee par $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\exists K\geq 0,\ |f|\leq K|g|$ au voisinage de $a$.\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f = \oc_a(g)$  $\Big($ou, si le contexte ne laisse pas d'ambigu\"{\i}t\'e sur $a$~: $f = \oc(g)\Big)$.\\[0.25cm]
On peut \'egalement noter $f(x) = \oc_a(g(x))$. On reprend aussi les deux autres notations vues pour les suites.
\nfd



\exs \ \\[-0.25cm]
\begin{enumerate}
\item A-t-on $x=\oc_0(x^2)$, a-t-on $x^2=\oc_0(x)$, les deux, aucun des deux~?
\begin{itemize}
	\item $\left(  \left| \frac{x}{x^2} \right| \right)_0 = \left(  \left| \frac{x}{x^2} \right| \right)_0 \to +\infty$ donc $\left(  \left| \frac{x}{x^2} \right| \right)_0$ n'est pas majorée
	\item $\left(\left| \frac{x^2}{x} \right|\right)_0 = (x)_0 \to 0$ donc $\left(\left|  \frac{x^2}{x} \right|\right)_0$ est bornée


\end{itemize}
\item A-t-on $x=\oc_{+\infty}(x^2)$, a-t-on $x^2=\oc_{+\infty}(x)$, les deux, aucun des deux~?\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\end{enumerate}
\sxe

\subsection{Propri\'et\'es}

Dans cette section, on \'enonce quelques propri\'et\'es de la domination. Comme le cas des suites est essentiellement un cas particulier du cas des fonctions (pour $a=+\infty$), on se contente d'\'enoncer les r\'esultats pour les fonctions, mais ils restent \'evidemment vrais pour les suites.

\pro
La relation de domination (\og est domin\'e par\fg) est un pr\'eordre.
\orp

\demo
Soit $f:I\to \R$ et $a\in \overline{I}$. Montrons-que $f=O_a(f)$.
Posons $K=1$. On a bien $|f| \le K|f|$ ie $|f| \le |f|$ au voisinage de $a$ (et même tout court).

Donc $\cdot =O(\cdot \cdot )$ est \emph{réflexive} 

Soit $f, g, h\in \R^{I}$. Soit $a\in \overline{I}$. Supposons $\begin{cases} f &= O_a(g) \\ g &= O_a(h) \end{cases}$.
Il existe $K_1, K_2\ge 0$ tels que:

\[
\begin{cases}
	|f|&\le K_1|g| \quad \text{au voisinage de $a$}\qquad(1) \\
	|g|&\le K_2|f| \quad \text{au voisinage de $a$}\qquad(2) \\
\end{cases}
.\] 

Une intersection de voisinages est un voisinage donc les deux inéquations sont vraies pour un même voisinage de $a$.

$K_1\ge 0$ donc on multiplie $(2)$ par $K_1$. On a $K_1|g|\le K_1K_2|h|$ au voisinage de $a$ donc $|f|\le K_1K_2|h|$ au voisinage de $a$. Posons $K=K_1K_2\ge 0$. On a bien
\[
	|f|\le K|h|\quad\text{au voisinage de $a$} \text{ ie } f = O_a(h)
.\] 

\cqfd


\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de la domination]
La relation de domination
\begin{enumerate}
\item absorbe les constantes~: si $\lambda\neq 0$ alors $\oc_a(\lambda f) = \oc_a(f)$~;
\item est stable par somme au sens suivant~: si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(v)$ alors $f+g=\oc_a(|u|+|v|)$~;
\item est stable par produit~: si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(v)$ alors $fg=\oc_a(uv)$.
\end{enumerate}
\mht

\ \\[-0.05cm]
\exo Le montrer.
\ \\[-0.25cm]

\rmq
Le point 2. est surtout int\'eressant pour son cas particulier suivant~: \fbox{si $f=\oc_a(u)$ et $g=\oc_a(u)$ alors $f+g=\oc_a(u)$}.
\qmr


\ \\[0.05cm]
\exx\ \\ On montre facilement que les suites $\left(\arctan(n)\right)_{n\in\N}$, $\left(\e^{-n}\right)_{n\in\N}$ et $\left(\frac{2n^2+5}{n^2+n+1}\right)_{n\in\N}$ sont toutes domin\'ees par $(1)_{n\in\N}$.\\
Avec le point 3., on d\'eduit $\arctan(n)\e^{-n}=\oc(1)$, puis, avec le corollaire du point 2., $\arctan(n)\e^{-n}+\frac{2n^2+5}{n^2+n+1}=\oc(1)$.
\xxe

\pro[Grands O de $0$ et de $1$]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item $f=\oc_a(1) \Leftrightarrow$ $f$ est bornée au voisinage de $a$\\
\item $f=\oc_a(0) \Leftrightarrow$ $f = x\mapsto 0$ au voisinage de $a$\\
\end{enumerate}
\orp

\demo Il suffit d\'ecrire la d\'efinition.\cqfd

\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n=\oc(0)$ ou $f=\oc(0)$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
%Dans ces cas-l\`a, o
On en prend acte et on essaie de comprendre o\`u on s'est tromp\'e, on ne laisse pas une horreur pareille sur la copie.



\section{N\'egligeabilit\'e}

La relation de n\'egligeabilit\'e correspond aux $x^n\eps(x)$ des DL. Cela va se noter avec des \og$o$\fg{} (lire "petit o").

\subsection{D\'efinitions}

\dfn[N\'egligeabilit\'e pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\dfrac{u_n}{v_n}\too 0$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\exists (\eps_n)_{n\in\N}\in\R^\N,\ \lect{u_n=\eps_n v_n \text{ APCR}\\\eps_n\too 0.}$\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n = o(v_n)$.
\nfd

\exs
\begin{enumerate}
\item On a $n = o(n^2)$ car $\left(\dfrac{n}{n^2}\right)_{n\geq 1}=\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n\geq 1}$ tend bien vers 0.
\item On a $5n+12 \neq o(n)$ car $\left(\dfrac{5n+12}{n}\right)_{n\geq 1}=\left(5+\dfrac{12}{n}\right)_{n\geq 1}$ ne tend pas vers $0$.\\
\end{enumerate}
\sxe

\exo Pourquoi la seconde d\'efinition est-elle bien une g\'en\'eralisation de la premi\`ere~?\\

\nota\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item On a vu qu'on note $u_n=o(v_n)$ pour \og $(u_n)_n$ est n\'egligeable devant $(v_n)_n$ \fg.
\item On notera aussi $o(v_n)$ l'ensemble de toutes les suites domin\'ees par $(v_n)_n$.
\item On notera aussi $u_n=v_n+o(w_n)$ pour $u_n-v_n=o(w_n)$.
\end{enumerate}
\aton

\exx:~
On a $\dfrac{1}{n-1}=\dfrac{1}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right)$. Expliquer pourquoi.

\begin{align*}
	\left( \left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) n \right)_{n\in \Np}= \left( \frac{n}{n-1}-1 \right)_{n\in \Np} 
									    \to 1-1 
									    = 0 
.\end{align*}
\xxe

\vspace{1cm}
\dfn[N\'egligeabilit\'e pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
	\item Si $g\neq 0$ au voisinage de $a$, on dit que $f$ est n\'egligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\tendvers{\dfrac{f(x)}{g(x)}}{x\too a}{0}$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est n\'egligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'il existe $\eps : \defapp{I}{\R}{x}{\eps(x)}$ telle que $\lect{f(x)=\eps(x) g(x) \text{ au voisinage de }a\\\tendvers{\eps(x)}{x\too a}{0}.}$
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f = o_a(g)$  (ou, si le contexte ne laisse pas d'ambigu\"{\i}t\'e sur $a$~: $f = o(g)$).\\[0.25cm]
On peut \'egalement noter $f(x) = o_a(g(x))$. On reprend aussi les deux autres notations vues pour les suites.
\nfd

\exx Le DL \`a l'ordre $3$ de $\sin(x)$ en $0$ peut s'\'ecrire $\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$.
\xxe

\subsection{N\'egligeabilit\'es classiques}

\pro
Soient $\alpha, \beta\in\R$ et $a,b>0$.\\
\begin{enumerate}
	\item $x^\alpha = o_{+x\too\infty}(x^\beta) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\frac{\id^{\alpha}}{\id^{\beta}}}{\infty}{0} \iff \tendvers{\frac{1}{\id^{\beta-\alpha}}}{x\too\infty}{0} \iff \beta>\alpha$\\
	\item $x^\alpha = o_0(x^\beta) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\id^{\alpha-\beta}}{\infty}{0}\iff\alpha>\beta$\\
	\item $a^x = o_{+\infty}(b^x) \Leftrightarrow$ $\tendvers{\frac{a^{x}}{b^{x}}}{x\too\infty}{0}\iff\tendvers{\left( \frac{b}{a} \right)^{x}}{x\to \infty}{0}\iff b>a$\\
\end{enumerate}
\orp

\thm[Croissances compar\'ees]
Pour $\alpha, \beta>0$~:~~ 1. $x^\alpha = o_{{}_{+\infty}}\!\left(\e^{\beta x}\right)$\qquad 2. $\ln(x)^\alpha = o_{{}_{+\infty}}\!\left(x^\beta\right)$\qquad
3. $\e^{\beta x} = o_{{}_{-\infty}}\!\!\left(\dfrac{1}{x^\alpha}\right)$\qquad 4. $\ln(x)^\beta = o_{{}_{0^+}}\!\!\left(\dfrac{1}{x^\alpha}\right)~$
\mht

Ce th\'eor\`eme est une simple \textbf{reformulation} des th\'eor\`emes de croissance compar\'ee vus dans le cours sur les fonctions usuelles. Nous l'avons donc d\'ej\`a d\'emontr\'e.\\


\newpage\ \\[-1.6cm]
\thm[Cas des suites]
Soient $\alpha, \beta>0$ et $q>1$. On a~:
\qquad 1. $n^\alpha = o\left(q^n\right)$
\qquad 2. $\ln(n)^\alpha = o\left(n^\beta\right)$
\qquad 3. $q^n = o\left(n!\right)$
\qquad 4. $n! = o\left(n^n\right)~$
\mht

\demo
%\paragraph{1}
$q^{n}=e^{n \ln q}:=e^{\beta n}$ En posant $\beta:=\ln q > 0$
D'après le théorème 2, $n^{\alpha}=o(e^{\beta n})$ ie $n^{\alpha}=o(q^{n})$

\\
%\paragraph{2}
D'après le point {\bf 2} du théorème 2, {\footnotesize OK}
\\

%\paragraph{3 (fait sur le DE 7)}
$q^{n}=o(n!)$ se reformule $\tendvers{\frac{q^{n}}{n!}}{n\to +\infty}{0}$

On a
\[
	\frac{q^n}{n!} = \frac{q\times q\times q\times \ldots\times \quad\ q\ \quad \times q}{1\times 2\times 3\times \ldots\times (n-1)\times n}
.\] 

Pour $n>q$ (càd $n> \left\lfloor q \right\rfloor $). On a:
\[
	\frac{q\times \ldots\times \qquad q\qquad\times q\times \ldots\times q\times q}{1\times \ldots\times \left\lfloor q \right\rfloor\times \left\lfloor q+1 \right\rfloor\times \ldots\times (n-1)\times n}
	\le 
.\] 
\cqfd



\subsection{Propri\'et\'es}

Dans cette section, on \'enonce pour les fonctions des propri\'et\'es de la n\'egligeabilit\'e, bien s\^ur valables pour les suites. 

\pro
La relation de n\'egligeabilit\'e (\og est n\'egligeable devant\fg) est transitive.
\orp

% \demo
% \ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
% \cqfd

\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de la n\'egligeabilit\'e]
La relation de n\'egligeabilit\'e
\begin{enumerate}
\item absorbe les constantes~: si $\lambda\neq 0$ alors $o_a(\lambda f) = o_a(f)$~;
\item est stable par somme~:
\begin{enumerate}[i/]
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(v)$ alors $f+g=o_a(|u|+|v|)$~;
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(u)$ alors $f+g=o_a(u)$~;
\end{enumerate}
\item est stable par produit~:
\begin{enumerate}[i/]
\item si $f=o_a(u)$ et $g=o_a(v)$ alors $fg=o_a(uv)$~;
\item si $f=o_a(u)$ alors $fg=o_a(ug)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\mht

\newpage\ \\[-1cm]
\exo Le montrer.
\ \\[-0.25cm]


\begin{appl}
Ces propri\'et\'es reformulent des r\'esultats utilis\'es en \textsc{Tacmas}.\supline\subline\\ \'Ecrites avec le symbole $o$, elles permettent (enfin~?) de mener \underline{agr\'eablement} des calculs de DL.\\[0.25cm]
$\bullet$ Par exemple, soit \`a calculer le $DL_3(0)$ de $\sin(2x)$. Comme $\tendvers{2x}{x\too 0}{0}$, on peut \'ecrire $\sin(2x) = 2x - \dfrac{(2x)^3}{6} + o((2x)^3) = 2x - \dfrac{4x^3}{3} + o(8x^3)$. Mais comme les\og petit o\fg{} absorbent les constantes, on peut passer sans autre forme de proc\`es de cette ligne \`a $\sin(2x) = 2x - \dfrac{4x^3}{3} + o(x^3)$.\\[0.25cm]
$\bullet$ Soit \`a calculer le $DL_3(0)$ de $\ln(1+x)\sin(x)$. On a $\ln(1+x)\sin(x) = \bigg(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\bigg)\bigg(x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\bigg) = x^2-\dfrac{x^3}{2}+\cdots$. Les termes restant dans les $\cdots$ sont soit de la forme $\lambda x^n$ avec $n\geq 4$, donc des $o(x^3)$, soit des produits\\[0.15cm] d'un $o(x^3)$ par une expression born\'ee, qui sont aussi des $o(x^3)$ par stabilit\'e par produit. Les $\cdots$ sont donc une somme\\[0.2cm] de $o(x^3)$, et comme les\og petit o\fg{} sont stables par somme, c'est un $o(x^3)$, ce qu'on peut \'ecrire directement sans autre\\[0.2cm] forme de proc\`es.
\end{appl}

\pro[Petits o de $0$ et de $1$]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item $f=o_a(1) \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\item $f=o_a(0) \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\end{enumerate}
\orp

\demo Il suffit d'\'ecrire la d\'efinition.\cqfd

\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n=o(0)$ ou $f=o(0)$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
%Dans ces cas-l\`a, o
On en prend acte et on essaie de comprendre o\`u on s'est tromp\'e, on ne laisse pas une telle infamie sur la copie.



\section{\'Equivalence}

On sait que, par exemple, quand $x$ est proche de $0$, on a $\sin(x)$ tr\`es proche de $x$. Les physiciens et les SIistes ne se g\`enent pas pour remplacer l'un par l'autre. On va ici donner un sens pr\'ecis \`a cette relation.

\subsection{D\'efinitions}

\dfn[\'Equivalence pour les suites]
Soient $(u_n)_{n\in\N}$, $(v_n)_{n\in\N}$ deux suites.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $(v_n)_n$ ne s'annule pas, on dit que $(u_n)_n$ est \'equivalente \`a $(v_n)_{n\in\N}$ lorsqu'on a $\dfrac{u_n}{v_n}\too 1$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $(u_n)_n$ est \'equivalente \`a  $(v_n)_{n\in\N}$ lorsque $\exists (\gamma_n)_{n\in\N}\in\R^\N,\ \lect{u_n=\gamma_n v_n \text{ APCR}\\\gamma_n\too 1.}$\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $u_n\sim v_n$.
\nfd

\exx On a $3^n-2^n+\cos(n) \sim 3^n$. En effet, on a $\dfrac{3^n-2^n+\cos(n)}{3^n} = 1 - \Big(\frac{2}{3}\Big)^n+\frac{\cos(n)}{3^n} \too 1$.\megasubline\\
\xxe

\exo Pourquoi la seconde d\'efinition est-elle bien une g\'en\'eralisation de la premi\`ere~?\megasubline

\exs
\begin{enumerate}
\item On a vu en TD que la $n^\text{i\`eme}$ int\'egrale de Wallis $\dsp{W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n(t)\dt}$ v\'erifie $\dsp{W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}}$.
\item On peut voir avec Ces\`aro qu'on a $y_n\sim\sqrt{\frac{3}{n}}$ pour $y_0=1$ et $\forall n\in\N,\ y_{n+1}=\sin(y_n)$.
\end{enumerate}

\sxe

\dfn[\'Equivalence pour les fonctions]
Soient $f,g : I \too \R$ et $a$ un point adh\'erent \`a $I$.\\[-0.35cm]
\begin{enumerate}
\item Si $g$ NSP au voisinage de $a$, on dit que $f$ est \'equivalente \`a $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'on a $\tendvers{\dfrac{f(x)}{g(x)}}{x\too a}{1}$.
\item En g\'en\'eral, on dit que $f$ est \'equivalente \`a $g$ au voisinage de $a$ lorsqu'il existe $\eps : \defapp{I}{\R}{x}{\gamma(x)}$ telle que $\lect{f(x)=\gamma(x) g(x) \text{ au voisinage de }a\\\tendvers{\gamma(x)}{x\too a}{1}.}$
\end{enumerate}
Lorsque c'est le cas, on note $f \sim_a g$  (ou $f \sim g$, ou $f(x) \sim_{x\too a} g(x)$).
\nfd

\exx On a $\sin(x) \sim x$ puisqu'on a $\tendvers{\dfrac{\sin(x)}{x}}{x\too 0}{1}$.\\
\xxe

\rmq L'int\'er\^et de la relation d'\'equivalence est de calculer des \'equivalents \uuline{simples} pour simplifier l'\'etude en cours. Un \'equivalent qui se pr\'esente comme une somme n'est certainement pas un \'equivalent simple, donc est sans int\'er\^et en tant qu'\'equivalent.
\qmr

\subsection{\'Equivalents classiques}

\pro[\'Equivalent d'une fraction rationnelle en $0$ et $\pm \infty$]
Soient $P(x) = a_nx^n+\cdots+a_{n_0}x^{n_0}$ ($a_n, a_{n_0}\neq 0$) et $Q(x) = b_mx^m+\cdots+b_{m_0}x^{m_0}$ ($b_m,b_{m_0}\neq 0$) deux polyn\^omes.
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \sim_{\pm \infty} $ ...................................~;
\item $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \sim_{0} $ ...................................~;
\end{enumerate}
\orp

\demo $\bullet$ En $\pm \infty$~: \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\%\\\\\\\\\\\\
$\bullet$ En $0$~:\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\%\\\\\\\\\\
\cqfd

\rmq En particulier, pour un polyn\^ome $P(x) = a_nx^n+\cdots+a_{n_0}x^{n_0}$ ($a_n, a_{n_0}\neq 0$), on obtient~:\\\\%\\\\\\\\\\\\\\
\qmr

\newpage\ \\[-1.6cm]
\dfn[S\'erie harmonique]
On note $H_n = \dsp{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}}$. La suite $(H_n)_n$ s'appelle la s\'erie harmonique.\\
\nfd

\ \\[-0.5cm]
%On a d\'ej\`a vu en exercice qu'on avait $H_n \geq \ln(n+1)$ \`a l'aide d'un habile t\'elescopage (mais on a oubli\'e comment).\subline\\
%Certains %d'entre vous
% ont d\'ej\`a vu comment comparer $H_n$ \`a une int\'egrale.
%Le th\'eor\`eme suivant %donne un \'enonc\'e encore plus pr\'ecis.
% montre que cette technique est essentielle.
%\ \\[-0.15cm]

\pro[S\'erie harmonique]
On a $H_n \sim \ln(n)$.\\
\orp
Avertissement~: ce th\'eor\`eme n'est pas en toute lettres dans le programme\footnote{C'est un cas particulier d'un th\'eor\`eme du programme que l'on verra plus tard.} mais les concours font comme si.\\

\demo 
%On va utiliser une technique essentielle consistant \`a comparer une somme \`a une int\'egrale. Suivez bien~!
De nombreuses m\'ethodes existent. %\\\\Mais on a d\'ej\`a fait des choses qui ressemblent donc qui propose une id\'ee~?
L'id\'eal serait de comprendre d'o\`u \c{c}a sort. Une id\'ee~?
\newpage
\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\cqfd
%\vspace{0.85cm}

\thm[Formule de Stirling]
$n! \sim \sqrt{2\pi n} \bigg(\dfrac{n}{\e}\bigg)^n$\\
\mht

\ \\[-0.15cm]
Ok, c'est quoi cette formule de dingue~? D'o\`u il sort ce $2\pi$~? Et ce $\e$($=\exp(1)$)~? Non mais c'est un truc de ouf malade~!
\ \\[-0.25cm]

\demo Bon, on n'a pas assez de background. Admis provisoirement. \c{C}a nous fait au moins une bonne raison de faire le cours sur les s\'eries.
%\cqfd
%
On pourra voir l'application \ref{ApplicationDeStirling} pour voir comment on utilise la formule.
\cqfd

\subsection{Propri\'et\'es}

Dans cette section, on \'enonce pour les fonctions des propri\'et\'es de l'\'equivalence, bien s\^ur valables pour les suites.

\pro
La relation d'\'equivalence (\og est \'equivalente \`a\fg) est... une relation d'\'equivalence. Eh oui.
\orp

\demo
\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\cqfd

\thm
Deux fonction \'equivalentes ont, sous r\'eserve d'existence, m\^eme limite et m\^eme signe au voisinage de $a$.
\mht

\demo Exercice. \\Mais on peut faire imm\'ediatement l'\href{http://www.concours-commun-inp.fr/_attachments/nouvel-accordeon-2/banque_finale\%2520MP_19_avec_corr.pdf}{exercice INP $n^\circ\, 1$} qui nous demande de le d\'emontrer pour des suites.
\cqfd

\medskip

%\newpage\ \\[-1.75cm]
\thm[Propri\'et\'es alg\'ebriques de l'\'equivalence]
La relation d'\'equivalence
\begin{enumerate}
\item est stable par produit~: si $f\sim u$ et $g\sim v$ alors $fg\sim uv$~;
\item est stable par quotient~: si $f\sim u$, $g\sim v$ et $v$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\dfrac{f}{g}\sim \dfrac{u}{v}$~;
\item est stable par puissance \uuline{constante}~: si $f\sim g$ et $\alpha\in\R$ alors $f^\alpha \sim g^\alpha$.
\end{enumerate}
\mht

\newpage\ \\[-1.75cm]
\demo On se contente du cas o\`u les fonctions ne s'annulent pas au voisinage de $a$~:
\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\%\\\\%\\\\
\cqfd

En cas particulier du point 1., si $\lambda \in\R$ et $f\sim g$, alors $\lambda f \sim \lambda g$.\\

\attention{Attention~!}\\\\
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha$ n'est pas constant, \c{c}a ne marche pas~! Donner un contre-exemple~:\\\\\\\\\\\\
\item[2.] Les \'equivalents ne sont pas stables par somme~! Donner un contre-exemple~:\\\\\\\\\\\\
\item[3.] Les \'equivalents ne sont pas stables par passage \`a l'exponentielle~! Donner un contre-exemple~:\newpage %\\\\\\\\\\\
\end{enumerate}

\begin{appl}\label{ApplicationDeStirling}\\[-0.035cm]
Donner un \'equivalent simple de $\dfrac{\binom{2n}{n}}{2^{{}^{2n}}}$. En d\'eduire sa limite.
%\vfill
~\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\end{appl}

\pro[\'Equivalents constants]\ \\[-0.45cm]
\begin{enumerate}
\item Si $\ell \in\R^*$, $f\sim_a \ell \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\item $f\sim_a 0 \Leftrightarrow$ \unemicroligne\\
\end{enumerate}
\orp
%\newpage
\demo Il suffit d\'ecrire la d\'efinition.\subline\cqfd

\col[Zone rouge]
Si on est amen\'e \`a \'ecrire $u_n\sim 0$ ou $f\sim 0$, \uuline{c'est tr\`es probablement qu'on a fait une erreur}~!
\loc
%Dans ces cas-l\`a, o
On en prend acte et on essaie de comprendre d'o\`u vient le bug, on ne laisse pas ce genre d'atrocit\'es sur la copie.\\


\subsection{Lien avec la n\'egligeabilit\'e.}

Cette sous-section est essentielle pour bien comprendre la section suivante.

\thm[lien avec la n\'egligeabilit\'e]
$\begin{array}{lcl} f\sim_a g 
& \Leftrightarrow & f = g + o_a(g)\\
& \Leftrightarrow & f = g + o_a(f)
\end{array}$
\mht

\demo\ \\
Comme l'\'equivalence est une relation d'\'equivalence (donc sym\'etrique), il suffit de montrer la premi\`ere \'equivalence\footnote{\c{C}a fait beaucoup de notions d'\'equivalence cette histoire.}.\supline\subline\\
On traite seulement le cas des fonctions qui ne s'annulent pas.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\%\\\\\\
\cqfd

On a d\'ej\`a vu que si $f$ a un $DL_n(0)$, celui-ci peut s'\'ecrire sous la forme $$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n_0}x^n+\cdots+a_nx^n+o(x^n).$$
\col
Tout DL est \'equivalent \`a son premier terme non nul s'il en existe un.\\
Autrement dit si $a_{n_0}$ est le premier $a_i$ non nul dans l'expression pr\'ec\'edente, alors $f(x) \sim_0 a_{n_0} x^{n_0}$.
\loc
%\ \\
\demo\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\cqfd

\begin{appl}\ \\[-0.025cm]
On retrouve $\sin(x)\sim_0 x$ car \unemicroligne\\\\
On obtient de m\^eme~:\subline\\
$\ln(1+x)\sim_0$ \unemicroligne\subline\\
$\arctan(x) \sim_0$ \unemicroligne\subline\\
$\cos(x)-1 \sim_0$ \unemicroligne\megasubline\\
etc.
\end{appl}\ \\

\section{D\'eveloppements asymptotiques}


L'id\'ee est la suivante~: un DL donne {\bf strictement} plus d'information qu'un \'equivalent.\\[0.2cm]
Par exemple de $\sh(x) = x +\frac{x^3}{6} + o(x^3)$, on d\'eduit $\sh(x) \sim_0 x$, mais on a aussi $\sh(x) \sim_0 x +\frac{x^2}{42}$, et le $\frac{x^2}{42}$ est un pur parasite ne donnant aucune information\footnote{Rappel~: si un \'equivalent se pr\'esente sous la forme d'une somme, il n'a aucun int\'er\^et en tant qu'\'equivalent~!} sur $\sh(x)$.\\[0.2cm]
On va maintenant g\'en\'eraliser la notion de d\'eveloppement limit\'e.\\[-0.2cm]

\dfn[D\'eveloppement asymptotique]
On notera DA pour \og d\'eveloppement asymptotique\fg.
\begin{enumerate}
\item On appelle DA \`a un terme de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + o_a(g)$ o\`u $g$ est un \'equivalent {\bf simple}\footnote{Vu le lien \'equivalence/n\'egligeabilit\'e, c'est n\'ecessairement un \'equivalent de $f$.} de $f$.
\item On appelle DA \`a deux termes de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + h + o_a(h)$ o\`u~:\\
$\lect{g \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f~;\\h \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g.}$
\item On appelle DA \`a trois termes de $f$ en $a$ une expression de la forme $f = g + h + u + o_a(u)$ o\`u~:\\
$\lect{g \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f~;\\h \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g~;\\u \text{ est un \'equivalent {\bf simple} de }f-g-h.}$
\end{enumerate}
{\it Et c\ae tera.}
\nfd

Que veut-on dire par \og simple\fg~? Pas grand-chose et cela rel\`evera du bon sens lorsqu'on a \`a effectuer un DA. \'Evidemment les mon\^omes ($x\mapsto x^k$, $k\in\N$) sont les fonctions les plus simples de la galaxie, ce sont eux qu'on privil\'egiera si possible~; ensuite viennent les autres $x\mapsto x^k$, $k\in\Z$, puis (en $+\infty$) $\ln$, $\exp$ et les autres $x\mapsto x^\alpha$, puis les produits de fonctions pr\'ec\'edentes. En g\'en\'eral on n'a besoin de rien d'autre (jusqu'au jour o\`u...).

\ \\
\exx
Les d\'eveloppements limit\'es sont les plus simples des d\'eveloppements asymptotiques, ceux pour lesquels tous les termes utilis\'es sont des mon\^omes.\\
\xxe
%\newpage

\exx 
Un d\'eveloppement asymptotique \`a trois termes de la suite $\left(\frac{1}{n-1}\right)_n$ est $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)$.
\begin{enumerate}
\item On peut le voir \`a la main~:\begin{enumerate}[i/]
\item un \'equivalent simple de $\frac{1}{n-1}$ est assur\'ement $\frac{1}{n}$~;
\item un \'equivalent simple de $\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n(n-1)}$ est assur\'ement $\frac{1}{n^2}$~;
\item un \'equivalent simple de $\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n^2}=\frac{1}{n^2(n-1)}$ est assur\'ement $\frac{1}{n^3}$.\megasubline
\end{enumerate}
\item On  peut le voir \`a l'aide d'un changement de variable qui nous ram\`ene \`a un DL~: ce sera souvent le cas (h\'elas pas toujours). On pose $X=\frac{1}{n}$, on a $X\too 0$ et donc~:\\[-0.25cm]
$$\frac{1}{n-1} = \frac{1}{n(1-1/n)} = \frac{1}{n}\frac{1}{1-X} = X\big(1+X+X^2+o(X^2)\big) = X+X^2+X^3+o(X^3) = \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right).$$
\end{enumerate}%\ \\
\xxe


\exx {\it \`A vous~!}\\[0.25cm]
Cherchons un DA en $+\infty$ de $f(x)=\sqrt{1+x}$.
\xxe
\newpage
\paragraph{Méthode 1}
\begin{align*}
	\sqrt{1+x} = \sqrt{x(1+\frac{1}{x})} = \sqrt{x} \sqrt{1+\underbrace{\frac{1}{x}}_{\to 0}}
.\end{align*}
\begin{align*}
	(1+\frac{1}{x})^{\frac{1}{2}} &= 1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left( \frac{1}{x^2} \right) \\
	\implies \sqrt{1+x} &= \sqrt{x} \left( 1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+o\left( \frac{1}{x^2} \right)  \right)  \\
			    &= \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x} }{2x} - \frac{\sqrt{x} }{8x^2}+o\left( \frac{\sqrt{x} }{x^2} \right) \\
.\end{align*}
\paragraph{Méthode 2}
\begin{align*}
	\sqrt{x+1} &\sim \sqrt{x} \qquad\text{car $x+1\sim x$ et par stabilité par $\cdot ^{\frac{1}{2}}$ de $\sim$}\ (\star) \\
	\sqrt{x+1} -\sqrt{x} &= \frac{x+1-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} } \\
	&= \frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} } \\
	&\sim \frac{1}{2\sqrt{x} } \qquad\text{d'après $(\star)$}\\
	\sqrt{x+1} -\sqrt{x} -\frac{1}{2\sqrt{x} } &= \frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x} }-\frac{1}{2\sqrt{x} } \\
						   &= \frac{2\sqrt{x} -\sqrt{x+1} -\sqrt{x} }{2\sqrt{x} (\sqrt{x+1} +\sqrt{x} )} \\
						   &= \frac{\sqrt{x} -\sqrt{x+1} }{2\sqrt{x} (\ldots)} \\
						   &= \frac{x-(x+1)}{2\sqrt{x} (\ldots)^2} \\
						   &\sim \frac{-1}{2\sqrt{x} (2\sqrt{x} )^2} \\
						   &= \frac{-1}{8x\sqrt{x} } \\
\end{align*}

\exo Exercice tr\`es classique, variantes dans la feuille de TD~:
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\'equation $x+\ln(x)=n$ a une unique solution sur $\R$, notons-la $x_n$.
\item Donner un d\'eveloppement asymptotique \`a trois termes de $(x_n)_{n\geq 0}$.
\end{enumerate}

\end{document}

%ln(x)+x=n
