\input{../.headers/cours.tex}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \begin{tabular}{c}
{\bf \textsc{Probabilit\'es}}%\\
\end{tabular}}\ \\[-0.25cm]
\end{center}

Les trois th\'eor\`emes importants de ce chapitre sont~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la formule des probabilit\'es compos\'ees~;
\item la formule des probabilit\'es totales~;
\item la formule de Bayes.
\end{enumerate}


\section{Exp\'eriences al\'eatoires}
\subsection{D\'efinition}
\begin{_dfin}[Exp\'erience al\'eatoire]
Une exp\'erience al\'eatoire est une exp\'erience %reproductible
 dont l'ensemble des issues possibles est connue mais dont l'issue n'est pas connue avant de r\'ealiser l'exp\'erience.
\end{_dfin}
\subsection{L'exp\'erience al\'eatoire \og\texttt{Choisir(MPSI)}\fg}
\subsection{Mod\'elisation}
\rmq
Cette ann\'ee, on consid\`erera uniquement le cas o\`u $\Omega$ est %un ensemble 
fini. C'est tr\`es restrictif mais 
philosophiquement plus honn\^ete.\gigasubline
\qmr
\section{Espaces probabilis\'es finis}
\subsection{Espaces probabilisables finis}
\dfn
On appelle \newdef{espace probabilisable fini} un couple $(\Omega,\pc(\Omega))$ o\`u $\Omega$ est un ensemble fini.
\nfd
\rmq
Comme annonc\'e dans la remarque 1, on se limite donc au cas fini. C'est tr\`es emb\^etant car on s'interdit des exp\'eriences al\'eatoires tr\`es simples\footnote{Mais non accessibles \`a l'\^etre humain.} dont on a envie de parler, comme par exemple~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item lancer un d\'e jusqu'\`a obtenir $6$~;
\item choisir un r\'eel uniform\'ement au hasard entre $0$ et $1$~;
\item ...
\end{enumerate}
On verra quand m\^eme en TD une astuce permettant d'int\'egrer malgr\'e tout les exp\'eriences du type \og lancer un d\'e jusqu'\`a obtenir $6$\fg{} au programme de MPSI.\footnote{C'est comme d'habitude, on prend un gros marteau et on tape fort.}.\\
\qmr
\dfn
On appelle \og syst\`eme complet d'\'ev\'enements \fg{} (en abr\'eg\'e sce) une famille $(A_1,\ldots,A_n)$ telle que\subline\\
$\lect{\forall i\neq j,\ A_i \text{ et } A_j \text{ sont incompatibles~;}\\\text{et }A_1\cup\cdots\cup A_n=\Omega~;}$\megasubline\\
autrement dit telle que $A_1\amalg A_2\amalg \cdots \amalg A_n = \Omega$.
\nfd
\subsection{Probabilit\'e}
\dfn
Soit $\Omega$ un ensemble fini. On appelle probabilit\'e sur $\Omega$ une application $P: \pc(\Omega)\too[0,1]$ telle que~:\begin{enumerate}
\item $P(\Omega)=1$~;
\item pour tout couple $(A,B)$ d'\'ev\'enements incompatibles, $P(A\amalg B) = P(A)+P(B)$.
\end{enumerate}
\nfd
\rmq
Lorsqu'on mod\'elise une exp\'erience al\'eatoire, on ne la mod\'elise pas seulement par $\Omega$, mais par l'espace probabilis\'e $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$.
\qmr
\thm[th\'eor\`eme de caract\'erisation]
Soit $\Omega$ un ensemble fini.
\begin{enumerate}
\item Si $P:\pc(\Omega)\too[0,1]$ est une probabilit\'e alors $\sum\limits_{\omega\in\Omega}P(\{\omega\})=1$.
\item R\'eciproquement, si $p:\Omega\too[0,1]$ v\'erifie $\sum\limits_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1$ alors l'application naturellement induite\break\\[-0.25cm] $P : \defapp{\pc(\Omega)}{[0,1]}{A}{\sum\limits_{\omega\in A} p(\omega)}$ est bien d\'efinie et c'est une probabilit\'e.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Propri\'et\'es imm\'ediates}
\pro
Soit $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ un espace probabilis\'e. On a~:
\begin{enumerate}
\item[0.] $P(\emptyset)=0$~;
\item[1.] pour tout $A\in\pc(\Omega)$, $P({}^cA)=1-P(A)$~;
\item[2.] $P$ est croissante pour l'inclusion~;
\item[3.] pour tous $A,\ B\in\pc(\Omega)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$~;
\end{enumerate}
\orp
\section{Ind\'ependance}
\dfn Soit $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ un espace probabilis\'e.\\
Deux \'ev\'enements $A$ et $B$ sont dit \newdef{ind\'ependants} lorsqu'on a $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
\nfd
\rmq
Consid\'erons l'exp\'erience al\'eatoire \og on lance un d\'e vert et un d\'e bleu\fg.\\
Faute d'information suppl\'ementaire, on la mod\'elise par $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ o\`u $\begin{cases}
	\Omega&= \llbracket 1, 6 \rrbracket^2 \\
	P&= P_U \\
\end{cases}$
Montrer que cette mod\'elisation implique que les deux lanc\'es sont ind\'ependants {\scriptsize (commencer par donner un sens \`a cette phrase)}.

On note $"\text{couleur} \to i" := "\text{le dé couleur donne $i$}"$

Soient $\begin{cases}
	V_i :&= "\text{le dé vert donne $i$}" \\
	B_j :&= "\text{le dé bleu donne $j$}" \\
\end{cases}$.

\begin{align*}
	P(V_i) &= P(\{i\}  \times \{1, \ldots, 6\}) \\
		&= \frac{|\{i\}  \times \{1, \ldots, 6\} |}{|\Omega|} \\ 
		&= \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\
	P(B_j) &= P(\{j\}  \times \{1, \ldots, 6\}) \\
		&= \frac{|\{j\}  \times \{1, \ldots, 6\} |}{|\Omega|} \\ 
		&= \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \\
	P(V_i \cap B_j) &= P(\{i, j\} ) \\
			&= \frac{1}{36} \\
			&= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \\
			&= P(V_i) P(B_j) \\
\end{align*}



\qmr
\subsection{Ind\'ependance mutuelle}
\dfn Soit $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ un espace probabilis\'e et $(A_1,\ldots,A_n)$ une famille d'\'ev\'enements.\subline\\
On dit que \newdef{$A_1,\ldots,A_n$ sont mutuellement ind\'ependants} lorsqu'on a~:\subline\\
$\forall k\in\{1,\ldots,n\},\ \forall i_1<i_2<\cdots<i_k\in\{1,\ldots,n\},\ P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$.
\nfd
\rmq~\\[-1.25cm]\begin{enumerate}
\item Si $A_1,\ldots,A_n$ sont mutuellement ind\'ependants, alors\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item ils sont ind\'ependants $2$ \`a $2$ (\ie $\forall i\neq j,\ P(A_i\cap A_j)=P(A_i)P(A_j)$)~; 
\item et ils sont ind\'ependants $n$ \`a $n$ (\ie $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\cdots\times P(A_n)$).
\end{enumerate} 
\item L'ind\'ependance $2$ \`a $2$ n'implique pas l'ind\'ependance mutuelle.
\item L'ind\'ependance $n$ \`a $n$ n'implique pas l'ind\'ependance mutuelle.
\end{enumerate}
\qmr
\section{Probabilit\'es conditionnelles}
\subsection{D\'efinition}
\dfn
Soit $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ un espace probabilis\'e, $A$ un \'ev\'enement et $B$ un \'ev\'enement de probabilit\'e non nulle.\break On appelle \newdef{probabilit\'e de $A$ sachant $B$} et on note $P_B(A)$ ou $P(A\,\big|\,B)$ le quotient $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
\nfd
\thm
Soit $B$ un \'ev\'enement de probabilit\'e non nulle.\\
L'application $P_B : \defapp{\pc(\Omega)}{~[0,1]}{A}{P_B(A)}$ est une probabilit\'e.
\mht
\rmq
Si $A$ et $B$ sont deux \'ev\'enement de probabilit\'es non nulles alors~:
\begin{enumerate}
\item $P(A\cap B)=P(A)\times P(B | A)$~;
\item $P(A\cap B)=P(B)\times P(A | B)$.
\end{enumerate}
\qmr
\newcommand{\blk}{\blacksquare}
\subsection{Formule des probabilit\'es compos\'ees}
\thm[Formule des probabilit\'es compos\'ees]
Soit $\big(\Omega,\pc(\Omega),P\big)$ un\,espace\,probabilis\'e et $(A_1,\ldots,A_n)$ une\,famille\,d'\'ev\'enements\,tels\,que $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})\neq 0$.
Alors~:\semisupline
\begin{enumerate}
\item $\forall k\leq n\!-\!1,\ P(A_1\cap\cdots\cap A_k)\neq 0$~;
\item $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)$.
\end{enumerate}
\mht
\newcommand{\sfrac}[2]{#1/#2}
\subsection{Formule des probabilit\'es totales}
\thm[Formule des probabilit\'es totales]
Soit $(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ un syst\`eme complet d'\'ev\'enements de probabilt\'es non nulles et $B$ un \'ev\'enement.\break
On a~: $\dsp{P(B)=\sum\limits_{k=1}^nP(A_k)P_{A_k}(B)}$.
\mht
\rmq
La formule reste vraie si certains $A_i$ sont de probabilité nulle avec la convention  $0 \cdot P(B|A) = 0$
\qmr
\subsection{Formule de Bayes}
\thm[Petite formule de Bayes]
~\\[-0.35cm]
Soient $A$ et $B$ deux \'ev\'enements de probabilt\'es non nulles. On a~: $P_B(A)=\dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$.
\mht
\thm[Grosse formule de Bayes]
Soit $(A_1,A_2,\ldots,A_n)$ un syst\`eme complet d'\'ev\'enements de probabilt\'es non nulles et $B$ un \'ev\'enement de probabilit\'e non nulle. On a, pour tout $k\in\{1,\ldots,n\}$,  $\dsp{P_B(A_k)=\frac{P(A_k)P_{A_k}(B)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P_{A_i}(B)}}$.
\mht
\end{document}