\documentclass{article}
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\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\begin{document}

\paragraph{\fbox{2}}
On cherche $P$ tel que $P' | P$.

Le polynôme nul est solution.

\paragraph{}

Soit $P$ un polnyôme non-nul convenable.

$P | P'$ donc il existe $Q\in \K[X]$ tel que $P = P' \times Q$

Or $\deg P' = \deg P - 1$ 

Donc $\deg Q = 1$ 

Donc $Q$ est de la forme $aX + b$.

Notons $P = a_0 + a_1X + \cdots + a_n X^n$ avec $n = \deg P$ (donc $a_n\neq 0$ )

On a 

\begin{align*}
	P' &= a_1 + 2a_2 X + \cdots + n a_n X^{n-1} \\
\end{align*}

Donc $a = \frac{1}{n}$

Autrement dit, $Q$ est de la forme $\frac{1}{n}(X-\lambda)$ et $P = \frac{1}{n}(X-\lambda)P'$

On décompose $P$ \emph{dans la base de Taylor} (associée à $\lambda$ )

\begin{align*}
	P &= \alpha_0 + \alpha_1(X-\lambda) + \alpha_2(X-\lambda)^2 + \cdots + \alpha_n(X-\lambda)^n \\
	P' &= \alpha_1 + 2\alpha_2(X-\lambda) + \cdots + n \alpha_n (X-\lambda)^{n-1} + 0 \\
\end{align*}

Donc 

\begin{align*}
	P = \frac{1}{n}(X-\lambda)P' &= \frac{\alpha_1}{n}(X-\lambda) + \frac{2\alpha_2}{n}(X-\lambda)^2 + \cdots + \frac{n\alpha_n}{n}(X-\lambda)^n \\
\end{align*}

Par unicité d'une décomposition:

\begin{align*}
	\begin{cases}
		\alpha_0 &= 0 \\
		\alpha_1 &= \frac{\alpha_1}{n} \\
		\alpha_2 &= \frac{2\alpha_2}{n} \\
			 &\vdots \\
		\alpha_{n-1} &= \frac{(n-1)\alpha_{n-1}}{n} \\
		\alpha_n &= \frac{n\alpha_n}{n} \\
	\end{cases} \\
	\iff \alpha_0 = \alpha_1 = \cdots = \alpha_{n-1} &= 0 \\
\end{align*}

Donc $P$ est de la forme

\[
	\alpha(X-\lambda)^n
\] 

Réciproquement: OK
\\[0.2cm]
Les solutions sont \[
	\left\{ \alpha(X-\lambda)^n,\ \begin{pmatrix} \alpha\\\lambda \end{pmatrix} \in \K^2 \right\} 
\] 

\end{document}
