\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Fonctions "mieux que d\'erivables".}}\\[0.2cm]
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion %d\'enombrable 
 d'intervalles non triviaux~; %\ie contenant au moins deux points~;
\item $f$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$, sauf mention du contraire.
\end{enumerate}


\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\section{D\'eriv\'ees d'ordre sup\'erieur}
\subsection{D\'efinitions}
\dfn~\\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
\item $f$ est dite $n$ fois d\'erivable lorsque $f'$, $f''$, \ldots, $f^{(n)}$ existent~;
\item $f$ est dite $n$ fois contin\^ument d\'erivable lorsque $f'$, $f''$, \ldots, $f^{(n)}$ existent et $f^{(n)}$ est continue~;
\item $f$ est dite ind\'efiniment d\'erivable lorsque pour tout entier $k\in\N$, $f^{(k)}$ existe.
\end{enumerate}
\nfd
\nota
\begin{enumerate}
\item Pour $n\geq 1$, on note $\dc^n(I,\R)$ l'ensemble des fonctions $n$ fois d\'erivables de $I$ dans $\R$~;
\item pour $n\in\N$, on note $\cc^n(I,\R)$ l'ensemble des fonctions $n$ fois contin\^ument d\'erivables de $I$ dans $\R$~;
\item on note $\cc^\infty(I,\R)$ l'ensemble des fonctions ind\'efiniment d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\end{enumerate}
\aton
\rmq~\\[-0.95cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $n\in\N$ on a $\cc^n(I,\R)=\big\{f',\ f\in\cc^{n+1}(I,\R)\big\}$ et, si $n\geq 1$, $\dc^n(I,\R)=\big\{f',\,f\in\dc^{n+1}(I,\R)\big\}$.
\item La tradition veut qu'on note $\dc^0(I,\R)$ l'ensemble $\big\{f',\ f\!\!\in\!\!\dc^1(I,\R)\big\}$ des %applications
 fonctions de $I$ dans $\R$ qui sont des d\'eriv\'ees.
\end{enumerate}
\qmr
\subsection{Structure}
\subsection{Prolongement $\cc^n$}
\thm[\!\!\!propri\'et\'es de la $n$-d\'erivation]%~\\[-0.75cm]
Soient $n\in\N$ et $f, g \in \dc^n(I,\R)$. Alors on a~:\subline
\begin{enumerate}
\item Lin\'earit\'e~: $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2,\ \lambda f+\mu g \in \dc^n(I,\R)$ et $(\lambda f+\mu g)^{(n)} = \lambda f^{(n)}+\mu g^{(n)}$~;
\item Leibniz~: $fg \in \dc^n(I,\R)$ et $(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}$~;\\[-0.2cm]
\item Fa\`a di Bruno \sout{light} per i bambini~: $\forall (\alpha,\beta) \!\in\! \R^2,\ x\mapsto f(\alpha x+\beta) \!\in\! \dc^n(I,\R)$ et $\big(x\mapsto f(\alpha x+\beta)\big)^{(k)}=x\mapsto \alpha^nf^{(n)}(\alpha x+\beta)$.\subline
\end{enumerate}
Plus g\'en\'eralement~:\subline
\begin{enumerate}[resume]
\item $\forall f\in\dc^n(I,J),\ \forall g\in\dc^n(J,\R),\ g\circ f \in\dc^n(I,\R)$~;\\[-0.2cm]
\item Soit $f\in\dc^n(I,J)$ bijective telle que $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}\in\dc^n(J,I)$ (pour $I$ un intervalle).
\end{enumerate}\mht
Remarque~: si on suppose plut\^ot $f, g \in \cc^n(I,\R)$, alors il en va de m\^eme pour $\lambda f+\mu g$, $fg$, $x\mapsto f(\alpha x+\beta)$, $f\circ g$ ou $f^{-1}$.
\demo Le point 2. a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e, les autres s'obtiennent par r\'ecurrence~: exercice.
\cqfd

\begin{appl}
$\dc^n(I,\R)$, $\cc^n(I,\R)$ et $\cc^{\infty}(I,\R)$ sont des sous-alg\`ebres de $(\R^I,+,\times,\cdot)$.
\end{appl}

\bigskip

On a d\'ej\`a vu beaucoup d'applications de la formule de Leibniz donc on n'y revient pas ici.

\smallskip


\thm[\!\!th\'eor\`eme de prolongement $\cc^n$\supline]~\\[-1cm]
Soit $a\in I$ et $f\in\cc^n(I\setminus\{a\},\R)$. On suppose qu'il existe $n\!+\!1$ r\'eels $\ell_0$, $\ldots$, $\ell_n$ tels que $\lect{\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell_0}\\\tendvers{f'(x)}{x\too a}{\ell_1}\\\vdots\\\tendvers{f^{(n)}(x)}{x\too a}{\ell_n}.}$\\[-0.75cm]
Alors $f$ est prolongeable par continuit\'e sur $I$ et son prolongement est $\cc^n(I,\R)$.\\[0.15cm]
En notant encore $f$ ce prolongement, on a $f(a)=\ell_0,\ f'(a)=\ell_1,\ \ldots,\ f^{(n)}(a)=\ell_n$.
\mht
\section{Formules de Taylor}
\subsection{Contexte}
\dfn Soient $a\in I$ et $f\in\dc^n(I,\R)$.
\begin{enumerate}
\item On appelle \newdef{polyn\^ome de Taylor de $f$ en $a$ \`a l'ordre $n$} le polyn\^ome\\[-0.3cm] $$T_n(X) = f(a) + f'(a)(X-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(X-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n.$$
\item On appelle \newdef{reste de Taylor de $f$ en $a$ \`a l'ordre $n$} l'application\\[-0.35cm]  $$R_n = x \mapsto f(x) - T_n(x) = x \mapsto f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 - \ldots - \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$
\end{enumerate}
\nfd 
\subsection{Taylor avec reste int\'egral\subline}
\thm[Formule de Taylor avec reste int\'egral]
Soient $n \in \N$, $a\in \R$, $x\in \R$ et $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$). 
 Alors on a $$\begin{array}{lcl}
R_n(x) & = & \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt} \text{~~~~~\ie~~~} \\%f(x) ~~~ = ~~~ T_n(x) + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt} \text{~~~~~\ie}\\
f(x) & = & f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt}
\end{array}$$
\mht
\rmq L'\'egalit\'e de Taylor avec reste int\'egral g\'en\'eralise donc le théorème fondamental de l'analyse.\megasubline
\qmr
\subsection{Taylor Lagrange\subline}
\thm[In\'egalit\'e de Taylor-Lagrange]
Soient $n \in \N$, $a\in\R$, $x\in\R$ et $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$).\\[0.1cm]
Alors on a~:
$\dsp{\Big|R_n(x)\Big| = 
\Big|f(x) - T_n(x)\Big| \leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\sup\limits_{[a,x]}\Big|f^{(n+1)}\Big|}$
\mht
\subsection{Taylor-Young\subline}
\lem[ \guillemotleft $\dsp{\int o \left ( x^n \right ) = o \left ( x^{n+1} \right )}$ \guillemotright]
\ \\ \vspace{-0.2cm} \label{IntegrationDUnPetitO}
Soient $n\in \N$ et $x\in \R$. ~ On a alors~: $\dsp{\int_0^x o_{{}_0} \left ( t^n \right ) \!\dt \,=\, o_{{}_0} \left ( x^{n+1} \right )}$\gigasubline
\mel
\thm[Taylor-Young]
Soient $n \in \N$, $a\in \R$, $x\in \R$ et $f\in\cc^{n}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n}([x,a],\R)$). 
Alors on a $$\begin{array}{lcl}
f(x) & = & T_n(x) + o_{{}_a} \left ( (x-a)^n \right )\\
     & = & f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o_{{}_a} \left ( (x-a)^n \right )
\end{array}$$
\mht
\subsection{D\'eveloppements limit\'es}
\dfn[(rappel)]
On appelle \newdef{d\'eveloppement limit\'e} ($DL$) de $f$ un d\'eveloppement asymptotique de $f$ form\'e de mon\^omes.\subline\\
Plus pr\'ecis\'ement, pour $a\in \overline{I}$, on peut d\'efinir un $DL_n(a)$ de $f$ comme suit~:\subline
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $a=0$, un $DL_n(0)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$~;\subline
\item si $a\in\R$, un $DL_n(a)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+o\big((x-a)^n\big)$~;
\item si $a=\pm\infty$, un $DL_n(\pm\infty)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+o\Big(\frac{1}{x^n}\Big)$.
\end{enumerate}
\nfd
\rmq Un $DL$ n'existe pas toujours. Par exemple, pour $a\in I$, et pour r\'esumer ce qu'on a vu pr\'ec\'edemment~:
\begin{enumerate}
\item $f$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $f$ a un $DL_0(a)$~;
\item $f$ d\'erivable en $a$ $\Leftrightarrow$ $f$ a un $DL_1(a)$~;
\item $f$ $\cc^n$ au voisinage de $a$ $\Rightarrow$ $f$ a un $DL_n(a)$.\megasubline %~;
\end{enumerate}
Ainsi $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ n'a de $DL_n(0)$ pour aucune valeurs de $n$~; $x\mapsto|x|$ n'a de $DL_n(0)$ que pour $n=0$, etc.\megasubline
\qmr
\rmq Attention, Taylor-Young donne seulement une {\bf condition suffisante} d'existence de $DL$. Exemple~:


\[
	f(x) := \begin{cases}
		x^2 \sin \frac{1}{x} \quad&\text{si $x\neq 0$} \\
		0 \quad&\text{sinon}
	\end{cases}
\] 

n'est pas $\cc^1$ mais elle a un $DL_1(0)$ car elle est dérivable:

\[
	f(x) = 0 + 0x + o(x)
\] 

Plus g\'en\'eralement, on montre de m\^eme que~:


\[
	f_n(x) := \begin{cases}
		x^{n+1} \sin \frac{1}{x^n} \quad&\text{si $x\neq 0$} \\
		0 \quad&\text{sinon}
	\end{cases}
\] 

n'est pas $\cc^1$ (donc pas $\cc^n$) mais elle a un $DL_n(0)$ :

Pour $x\neq 0$, $f_n$ est dérivable en $x$ et 

\begin{align*}
	f_n'(x) &= (n+1)x^n \sin \frac{1}{x^n} + \cancel{x^{n+1}} \frac{-n}{\cancel{x^{n+1}}} \cos \frac{1}{x^n} \\
		&= \underbrace{(n+1)x^n \sin \frac{1}{x^n}}_{\tendvers{}{x\to 0}{0}} + \underbrace{- n \cos \frac{1}{x^n}}_{\tendvers{}{x\to 0}{\text{PDL}}} \\
\end{align*}

D'où $f_n'$ n'a pas de limite.

De plus, \begin{align*}
	f_n'(0) &= \lim_{x \to 0} \tau_{x, f}(0) \\
	&= x^n \sin \frac{1}{x^n} \\
	&\tendvers{}{\infty}{0}
\end{align*}


Enfin, \[
	f_n(x) = 0 + 0x + 0x^2 + \cdots + 0x^n + o(x^n) = o(x^n)
\] 
\qmr
\thm
Pour tout $a\in \overline{I}$ et tout $n\in\N$, un $DL_n(a)$ de $f$ est toujours unique.
\mht
\col Supposons que $f$ a un $DL_n(0)$.
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est paire, alors le $DL_n(0)$ de $f$ est pair.
\item Si $f$ est impaire, alors le $DL_n(0)$ de $f$ est impair.
\end{enumerate}
\loc
\thm
On peut int\'egrer un $DL_n(a)$.
\mht
\section{Bilan des inclusions rencontr\'ees}
\section{Extension aux fonctions \`a valeurs dans $\C$ ou $\R^n$}
\end{document}