\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

%\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Fonctions "mieux que d\'erivables".}}\\[0.2cm]
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion %d\'enombrable 
 d'intervalles non triviaux~; %\ie contenant au moins deux points~;
\item $f$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$, sauf mention du contraire.
\end{enumerate}


\section{D\'eriv\'ees d'ordre sup\'erieur}

\subsection{D\'efinitions}

\dfn~\\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
\item $f$ est dite $n$ fois d\'erivable lorsque $f'$, $f''$, \ldots, $f^{(n)}$ existent~;
\item $f$ est dite $n$ fois contin\^ument d\'erivable lorsque $f'$, $f''$, \ldots, $f^{(n)}$ existent et $f^{(n)}$ est continue~;
\item $f$ est dite ind\'efiniment d\'erivable lorsque pour tout entier $k\in\N$, $f^{(k)}$ existe.
\end{enumerate}
\nfd

\nota
\begin{enumerate}
\item Pour $n\geq 1$, on note $\dc^n(I,\R)$ l'ensemble des fonctions $n$ fois d\'erivables de $I$ dans $\R$~;
\item pour $n\in\N$, on note $\cc^n(I,\R)$ l'ensemble des fonctions $n$ fois contin\^ument d\'erivables de $I$ dans $\R$~;
\item on note $\cc^\infty(I,\R)$ l'ensemble des fonctions ind\'efiniment d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\end{enumerate}
\aton

\smallskip

\rmq~\\[-0.95cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $n\in\N$ on a $\cc^n(I,\R)=\big\{f',\ f\in\cc^{n+1}(I,\R)\big\}$ et, si $n\geq 1$, $\dc^n(I,\R)=\big\{f',\,f\in\dc^{n+1}(I,\R)\big\}$.
\item La tradition veut qu'on note $\dc^0(I,\R)$ l'ensemble $\big\{f',\ f\!\!\in\!\!\dc^1(I,\R)\big\}$ des %applications
 fonctions de $I$ dans $\R$ qui sont des d\'eriv\'ees.
\end{enumerate}
\qmr

\ \\[-0.5cm]

\exs~ Pour $n\in\N$, on conna\^it les d\'eriv\'ees $n^e$ des fonctions usuelles~:\\[0.2cm]
$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
& & & & & & \\
f(x) & x^\alpha & \dfrac{1}{x} & \ln(x) ~~ (n\geq 1) & \e^{\alpha x} & \sin(x) & \cos(x) \\
& & & & & & \\
\hline 
& & & & & & \\
f^{(n)}(x) & \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) x^{\alpha-n} & \dfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} & \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}} & \alpha^n\,\e^{\alpha x} &\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) & \cos\left(x+n\frac{\pi}{2}\right) \\
& & & & & & \\
\hline 
\end{array}$\\\\
\sxe

\begin{appl}
Rappel~: pour $n\in\N$, on sait calculer la d\'eriv\'ee $n^\text{i\`eme}$ de $x\mapsto \sin(x)\e^x$.

\begin{align*}
	f(x) &=  \sin(x)e^x = \Im(e^{ix}e^x) \\
	f^{(n)}(x) &= \Im\left(\frac{\mathrm{d}^n}{\dx^n}\left( e^{x(1+i)} \right)\right)  \\
		   &= \Im((1+i)^{n}e^{x(1+i)}) \\
		   &= \Im(2^{\frac{n}{2}} e^{i \frac{\pi}{4}n} e^x e^{ix}) \\
		   &= 2^{\frac{n}{2}}e^x \Im e^{i(x+n \frac{\pi}{4})} \\
		   &= 2^{\frac{n}{2}}e^x \sin\left(x + n\frac{\pi}{4}\right) \\
\end{align*}
\end{appl}

\subsection{Structure}

\smallskip

\thm[\!\!\!propri\'et\'es de la $n$-d\'erivation]%~\\[-0.75cm]
Soient $n\in\N$ et $f, g \in \dc^n(I,\R)$. Alors on a~:\subline
\begin{enumerate}
\item Lin\'earit\'e~: $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2,\ \lambda f+\mu g \in \dc^n(I,\R)$ et $(\lambda f+\mu g)^{(n)} = \lambda f^{(n)}+\mu g^{(n)}$~;
\item Leibniz~: $fg \in \dc^n(I,\R)$ et $(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}$~;\\[-0.2cm]
\item Fa\`a di Bruno \sout{light} per i bambini~: $\forall (\alpha,\beta) \!\in\! \R^2,\ x\mapsto f(\alpha x+\beta) \!\in\! \dc^n(I,\R)$ et $\big(x\mapsto f(\alpha x+\beta)\big)^{(k)}=x\mapsto \alpha^nf^{(n)}(\alpha x+\beta)$.\subline
\end{enumerate}
Plus g\'en\'eralement~:\subline
\begin{enumerate}[resume]
\item $\forall f\in\dc^n(I,J),\ \forall g\in\dc^n(J,\R),\ g\circ f \in\dc^n(I,\R)$~;\\[-0.2cm]
\item Soit $f\in\dc^n(I,J)$ bijective telle que $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}\in\dc^n(J,I)$ (pour $I$ un intervalle).
\end{enumerate}\mht
Remarque~: si on suppose plut\^ot $f, g \in \cc^n(I,\R)$, alors il en va de m\^eme pour $\lambda f+\mu g$, $fg$, $x\mapsto f(\alpha x+\beta)$, $f\circ g$ ou $f^{-1}$.
%
%\demo Les points 1. et 3. s'obtiennent par r\'ecurrence imm\'ediate, le point 2. a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e.
%\cqfd
\demo Le point 2. a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e, les autres s'obtiennent par r\'ecurrence~: exercice.
\cqfd

\begin{appl}
$\dc^n(I,\R)$, $\cc^n(I,\R)$ et $\cc^{\infty}(I,\R)$ sont des sous-alg\`ebres de $(\R^I,+,\times,\cdot)$.
\end{appl}

\bigskip

On a d\'ej\`a vu beaucoup d'applications de la formule de Leibniz donc on n'y revient pas ici.

\smallskip

\subsection{Prolongement $\cc^n$}

\thm[\!\!th\'eor\`eme de prolongement $\cc^n$\supline]~\\[-1cm]
Soit $a\in I$ et $f\in\cc^n(I\setminus\{a\},\R)$. On suppose qu'il existe $n\!+\!1$ r\'eels $\ell_0$, $\ldots$, $\ell_n$ tels que $\lect{\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell_0}\\\tendvers{f'(x)}{x\too a}{\ell_1}\\\vdots\\\tendvers{f^{(n)}(x)}{x\too a}{\ell_n}.}$\\[-0.75cm]
Alors $f$ est prolongeable par continuit\'e sur $I$ et son prolongement est $\cc^n(I,\R)$.\\[0.15cm]
En notant encore $f$ ce prolongement, on a $f(a)=\ell_0,\ f'(a)=\ell_1,\ \ldots,\ f^{(n)}(a)=\ell_n$.
\mht

\demo Une simple r\'ecurrence \`a l'aide du th\'eor\`eme de prolongement $\cc^1$ donne directement le r\'esultat.
\cqfd

\begin{appl}Consid\'erons de nouveau l'application $f : \defapp{\R^*}{\R}{x}{\frac{\e^x-1}{x} = e^{x}\times \frac{1}{x}-\frac{1}{x}}$.


Soit $n\in \N$. D'après Leibniz, $f$ est $n$ fois dérivable.

Sur $\R^{\ast}$ et pour $x\in \R^{\ast}$, 



\begin{align*}
	f^{(n)}(x) &= \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} e^x \frac{(-1)^{n-k}(n-k)!}{x^{n-k+1}} - \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \\
		   &= \frac{e^{x} n! (-1)^{n}}{x^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!\cancel{(n-k)!}}  \frac{(-1)^{-k}\cancel{(n-k)!}}{x^{-k}} - \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \\
		   &= \frac{n! (-1)^{n}}{x^{n+1}}\left( e^x \sum_{k=0}^{n} x^{k} - 1 \right)  \\
\end{align*}

Or on sait qu'on a 

\[
	e^{-x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} x^k + \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x^{n+1} + o(x^{n°1})
\] 

Ici, 
\begin{align*}
	f^{(n)}(x) &= \frac{n!(-1)^n}{x^{n+1}} \left( e^x \left( e^{-x} - \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x^{n+1}+o(x^{n+1}) \right) -1 \right)  \\
		 &= \frac{n!(-1)^{n}}{x^{n+1}} \left( 1 + \frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}x^{n+1} e^x + o(\cancel{e^x} x^{n+1}) -1 \right)  \\
		 &= \frac{e^x \cancel{(-1)^{2n}}}{n+1} + o(1) \\
		 &\tendvers{}{x\to 0}{\frac{1}{n+1}}
\end{align*}

Ainsi pour tout $k\in \N$, pour tout $n\in 0 \le n\le k$ on a \[
	\tendvers{f^{(n)}}{0}{\frac{1}{n+1}}
\] 


D'après le théorème de prolongement $\cc^k$, $f$ se prolonge en une fonction $\cc^k$ sur $\R$
(telle que $\forall n\le k,\ f_{\sim}^{(k)}(0) = \frac{1}{n+1}$ )

Ceci est vrai pour tout $k\in \N$ donc le prolongement est $\cc^{\infty}$.
\end{appl}

\section{Formules de Taylor}

Remarque pr\'eliminaire~: on va parler dans cette section de formules de Taylor en un point $a$, mais retenir le cas $a=0$ suffit, puisqu'un simple changement de variable permet de s'y ramener~!

\subsection{Contexte}

\smallskip

\dfn Soient $a\in I$ et $f\in\dc^n(I,\R)$.
\begin{enumerate}
\item On appelle \newdef{polyn\^ome de Taylor de $f$ en $a$ \`a l'ordre $n$} le polyn\^ome\\[-0.3cm] $$T_n(X) = f(a) + f'(a)(X-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(X-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n.$$
\item On appelle \newdef{reste de Taylor de $f$ en $a$ \`a l'ordre $n$} l'application\\[-0.35cm]  $$R_n = x \mapsto f(x) - T_n(x) = x \mapsto f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 - \ldots - \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$
\end{enumerate}
\nfd 

Id\'ee~: $\bullet$ $T_n(x)$ est l'expression qui appara\^it dans le $DL_n(a)$ de $f$ (s'il existe).\\
\phantom{Id\'ee~:} $\bullet$ On peut esp\'erer que $T_n(x)$ constitue une approximation plus ou moins raisonnable de $f(x)$.\\
\phantom{Id\'ee~:} $\bullet$ $R_n(x)$ est l'erreur qu'on commet lorsqu'on approche $f(x)$ par $T_n(x)$.\\

Remarque~: le polyn\^ome et le reste de Taylor d\'ependent de $n$, mais aussi de $f$ et de $a$. On devrait en toute rigueur \'ecrire $T_{f,a,n}$ et $R_{f,a,n}$ si le contexte ne permettait pas de d\'eterminer $f$ et $a$ sans ambigu\"it\'e.

\bigskip

\exx ~Pour $f=\cos$, $a=0$ et $n\in\N$, on a~:\subline
\begin{align*}
	T_n(x) &=  \begin{cases}
		1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots + \frac{(-1)^{\frac{n}{2}}}{n!}x^n & \text{si $n \in 2\N$} \\
		1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{(n-1)!}x^{n-1}& \text{si $n \in 2\N+1$} \\
	\end{cases} \\
\end{align*}
\xxe

\subsection{Taylor avec reste int\'egral\subline}

\thm[Formule de Taylor avec reste int\'egral]
Soient $n \in \N$, $a\in \R$, $x\in \R$ et $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$). 
 Alors on a $$\begin{array}{lcl}
R_n(x) & = & \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt} \text{~~~~~\ie~~~} \\%f(x) ~~~ = ~~~ T_n(x) + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt} \text{~~~~~\ie}\\
f(x) & = & f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt}
\end{array}$$
\mht

\newpage\ \\[-1.05cm]
\rmq L'\'egalit\'e de Taylor avec reste int\'egral g\'en\'eralise donc le théorème fondamental de l'analyse.\megasubline
\qmr

\demo En r\'esum\'e, il s'agit essentiellement de faire une IPP. %\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
%\cqfd
%(On remarquera qu'on a d\'ej\`a\footnote{Quand~? Dans quel but~?} d\'emontr\'e ce r\'esultat dans le cas $a=0$ pour $f=\exp$ et $f=t\mapsto \e^{-t}$.)\\\\
%\begin{tabular}{lc|cr}
%\begin{minipage}{14cm}
%\demo \supline \subline \\
 On proc\`ede par r\'ecurrence sur $n$.\\\\
$\bullet$ Initialisation~: il s'agit de montrer que, pour tous r\'eels $a$ et $x$ et toute fonction $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$), on a $\dsp{f(x)=f(a)+\int_a^x f'(t) \dt}$. C'est vrai d'apr\`es le th\'eor\`eme fondamental de l'analyse.\\\\
$\bullet$ H\'er\'edit\'e~: supposons le r\'esultat vrai au rang $n$. Montrons qu'il est alors vrai au rang $n+1$. Soit donc deux r\'eels $a$ et $x$ et $f\in\cc^{n+2}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+2}([x,a],\R)$).\subline\\
On a alors, en particulier, $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$) et donc par hypoth\`ese de r\'ecurrence~: $$\dsp{f(x) = T_n(x) + \int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt}.
\phantom{\text{Sur ce,}} \text{Posons $u = f^{(n+1)}$ et $v : t \mapsto - \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}$}.$$
Les applications $u$ et $v$ sont $\cc^1$, on peut donc r\'ealiser une IPP~: 
$u'(t) = f^{(n+2)}(t)$, $v'(t) = \dfrac{(x-t)^n}{n!}$ et\\
$\begin{array}{lcl}
\dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt} & = & \dsp{\int_a^x u(t)v'(t) \dt = \Big [ u(t)v(t) \Big ]_{t=a}^x - \int_a^x u'(t)v(t)\dt}\\\\
 & = & \left [  - \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(t) \right ]_{t=a}^x + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\dt}\\\\
 & = & \dfrac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} + \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\dt}
\end{array}$\ \\\\
et par suite la propri\'et\'e est bien h\'er\'editaire.\\\\
$\bullet$ La propri\'et\'e est vraie au rang $0$, et elle est h\'er\'editaire, elle est donc vraie pour tout entier $n\in\N$.
\cqfd

\begin{appl}
N'y a-t-il pas un air de d\'ej\`a vu dans la d\'emonstration pr\'ec\'edente~?

Avec $\begin{cases}
	f&= \exp \\
	a&= 0 \\
	x&= 1 \\
\end{cases}$, on a

\begin{align*}
	e - T_n(1) &= \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} e^t dt \\
	\iff e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} &= \frac{1}{n!}\int_0^1 \underbrace{(1-t)^n e^t}_{\in [0, e]} dt \\
	\implies 0 \le e&- \sum \frac{1}{k!} \le  \frac{1}{n!} \\
	\implies &\tendvers{\sum \frac{1}{k!}}{\infty}{e} && \text{par TdG}
\end{align*}
\end{appl}


\subsection{Taylor Lagrange\subline}

\thm[In\'egalit\'e de Taylor-Lagrange]
Soient $n \in \N$, $a\in\R$, $x\in\R$ et $f\in\cc^{n+1}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,a],\R)$).\\[0.1cm]
Alors on a~:
$\dsp{\Big|R_n(x)\Big| = 
\Big|f(x) - T_n(x)\Big| \leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\sup\limits_{[a,x]}\Big|f^{(n+1)}\Big|}$
\mht

\demo En r\'esum\'e, c'est un corollaire imm\'ediat de Taylor avec reste int\'egral en utilisant l'in\'egalit\'e triangulaire, la lin\'earit\'e et la croissance de l'int\'egrale.\\[0.2cm]
D'apr\`es Taylor avec reste int\'egral, il suffit de montrer qu'on a $\dsp{\left|\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\dt\right| \leq \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\sup\limits_{[a,x]}\left|f^{(n+1)}\right|}$.\\[0.2cm]
On le fait pour $a<x$, traitement analogue si on a $x>a$.\\[0.2cm]
$\begin{array}{lcll}
\dsp{\left|\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{{}^{(n+1)}}(t)\dt\right|} & \leq & \dsp{\int_a^x \left|\dfrac{(x-t)^n}{n!} f^{{}^{(n+1)}}(t)\right|\dt} & \text{ par in\'egalit\'e triangulaire}\\\\
& \leq & \dsp{\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!} \sup\limits_{[a,x]}\left|f^{{}^{(n+1)}}\right|\dt} & \text{ par croissance de l'int\'egrale}\\\\
& \leq & \dsp{\left(\int_a^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\dt \right) \sup\limits_{[a,x]}\left|f^{{}^{(n+1)}}\right|} & \text{ par lin\'earit\'e de l'int\'egrale}\\\\
& = & \dsp{\dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\, \sup\limits_{[a,x]}\left|f^{{}^{(n+1)}}\right|} & \text{ et hop.}\\\\
\end{array}$
\cqfd

\begin{appl}
Pour tout r\'eel $x$, on a $\dsp{\tendvers{\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!}}{n\too+\infty}{e^x}}$.

Soit $x\in \R$.
Pour $\begin{cases}
	f&= \exp \\
	a&= 0 \\
\end{cases}$,

\begin{align*}
	e^x - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} &= e^x - T_n(x) \\
					    &= R_n(x) \\
\end{align*}

On a bien $\exp \in \cc^{n+1}([0, x], \R)$ (ou $\exp \in \cc^{n+1}([x, 0], \R)$)

donc d'après l'ITL\footnote{inégalité de Taylor-Lagrange},


\begin{align*}
	\left| e^x - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \right| &\le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[0, x} |\exp|
\end{align*}
\end{appl}

Notons $M = \max \{1, e^x\} $.

\begin{align*}
	\left| e^x - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \right| &\le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \\
							   &\tendvers{}{n\to \infty}{0} && \text{par croissance comparée}
\end{align*}

Donc $e^x - \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} \to 0$ par TdG donc $\tendvers{\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}}{n\to \infty}{e^x}$

\begin{appl}
D\'eterminons une approximation \`a $10^{-3}$ pr\`es de $\cos(1)$.

Posons $\begin{cases}
	f&= \cos \\
	a&= 0 \\
	x&= 1 \\
\end{cases}$.

Soit $n\in \N$.

On a bien $\cos \in \cc^{n+1}([0, 1], \R)$.

\begin{align*}
	| R_n(x) | \le \frac{|1|^{n+1}}{(n+1)!} \sup_{[0, 1]} |\cos ^{(n+1)}| \\
\end{align*}

Or $\forall n \in  \N,\ |\cos^{(n+1)}| \le 1$

Donc $|\cos 1 - T_n(1)| \le \frac{1}{(n+1)!}$ 

Or 

\begin{align*}
	\frac{1}{(n+1)!} &\le 10^{-3} \\
	\iff (n+1)! \ge 10^{-3} &&\text{par décroissance de $\frac{1}{\id}$} \\
	\iff n+1 &\ge 7 \\
	\iff n\ge 6 \\
\end{align*}

Prenons $n=6$.

Une approximation rationnelle à $10^{-3}$ près de $\cos{1}$ est $T_6(1)$.

\begin{align*}
	T_6(1) &= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} \\
	       &= \frac{720-360+30-1}{720} \\
	       &= \frac{389}{720} \\
	       &\approx 0.540
	       &\approx \cos 1
\end{align*}

\end{appl}

\subsection{Taylor-Young\subline}

On l'a d\'ej\`a vu sans d\'emonstration. 
 Pour le d\'emontrer, on aura besoin d'un petit lemme.

\lem[ \guillemotleft $\dsp{\int o \left ( x^n \right ) = o \left ( x^{n+1} \right )}$ \guillemotright]
\ \\ \vspace{-0.2cm} \label{IntegrationDUnPetitO}
Soient $n\in \N$ et $x\in \R$. ~ On a alors~: $\dsp{\int_0^x o_{{}_0} \left ( t^n \right ) \!\dt \,=\, o_{{}_0} \left ( x^{n+1} \right )}$\gigasubline
\mel

\demo Pour le dire tr\`es sch\'ematiquement, il s'agit en fait de montrer, sur un exemple (mais on pourrait le faire dans un cadre plus g\'en\'eral) que l'int\'egrale commute aux "petits-o".\\\\
Revenons \`a la d\'efinition~: on veut alors montrer qu'\'etant donn\'ee une fonction $\eps$ de limite nulle en $0$, il existe une fonction $\tilde{\eps}$ de limite nulle en $0$ telle qu'on ait $\dsp{\int_0^x t^n\eps(t)\dt = x^{n+1}\tilde{\eps}(x)}$.\megasubline\\
Comme $x \mapsto x^{n+1}$ ne s'annule pas dans un voisinage de $0$ priv\'e de $0$, cela revient \`a montrer~: $\lim\limits_{x\to 0} \dsp{\dfrac{1}{x^{n+1}}\int_0^x t^n\eps(t)\dt = 0}$.\subline\\\\
Montrons $\lim\limits_{x\to 0^+} \dsp{\dfrac{1}{x^{n+1}}\int_0^x t^n\eps(t)\dt = 0}$, le calcul de la limite \`a gauche est analogue. Soit $x \geq 0$.\subline\\\\
Notons $\varphi(x)=\inf\limits_{t\in[0,x]} \eps(t)$ et $\psi(x)=\sup\limits_{t\in[0,x]} \eps(t)$. Remarquons d\'ej\`a que, comme on a $\lim\limits_{x\to 0} \eps(x) = 0$, on obtient, en revenant \`a la d\'efinition de la limite~: %\megasubline\\
 $\lim\limits_{x\to 0} \varphi(x) = \lim\limits_{x\to 0} \psi(x) = 0$.\subline\\\\
Comme $0\leq x$, on a, par croissance de l'int\'egrale~:~\\
$\dsp{x^{n+1} \dfrac{\varphi(x)}{n+1} = \int_0^x t^n\varphi(x) \dt \leq \int_0^x t^n\eps(t) \dt \leq \int_0^x t^n\psi(x) \dt = x^{n+1} \dfrac{\psi(x)}{n+1}}$.\subline\\\\
Et le th\'eor\`eme des gendarmes permet de conclure.
\cqfd

%\newpage\ \\[-1.6cm]
\thm[Taylor-Young]
Soient $n \in \N$, $a\in \R$, $x\in \R$ et $f\in\cc^{n}([a,x],\R)$ (ou $\cc^{n}([x,a],\R)$). 
Alors on a $$\begin{array}{lcl}
f(x) & = & T_n(x) + o_{{}_a} \left ( (x-a)^n \right )\\
     & = & f(a) + f'(a)(x-a) + \dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o_{{}_a} \left ( (x-a)^n \right )
\end{array}$$
\mht

\attention{{\bf La formule de Taylor-Young est donc celle qui donne un r\'esultat \uuline{local}. On contr\^ole $\pmb f$\\\phantom{{\tiny f}} dans un voisinage de $\pmb a$, mais on ne contr\^ole pas le voisinage en question. \uuline{Inutile donc}\\\phantom{eh}\uuline{d'esp\'erer en d\'eduire quelque r\'esultat que ce soit sur un $\pmb x$ fix\'e}~; mais elle permettra\\\phantom{\c{c}a ok} d'\'etablir des convergences ou des \'equivalents pour $\pmb{x\too a}$.}}\\\\

{\bf Exercice :} apprendre par c\oe ur les trois phrases pr\'ec\'edentes.\subline

\demo Une remarque avant de commencer~: il est \'evident que la formule de Taylor-Young est un corollaire imm\'ediat de la formule de Taylor avec reste int\'egral si l'on se place sous l'hypoth\`ese \guillemotleft $f\in 
\cc^{n+1}$ \guillemotright. Mais l'hypoth\`ese \guillemotleft $f\in \cc^n$ \guillemotright{} est {\bf strictement plus faible}.
%Mais ici on suppose {\bf seulement} $f\in \cc^n$.\\[0.2cm]
Quitte \`a changer $f$ en $x \mapsto f(x+a)$, on peut supposer avoir $a=0$, ce qu'on fait ici. On proc\`ede par r\'ecurrence sur $n$.\\[0.2cm]
L'id\'ee de la d\'emonstration est tr\`es simple~: une fois qu'on a un DL \`a un ordre $n$ de $f'$ par hypoth\`ese de r\'ecurrence, on l'int\`egre \`a l'aide du lemme pr\'ec\'edent pour obtenir un DL \`a l'ordre $n+1$ de $f$.\\[0.2cm] 
$\bullet$ Initialisation~: il s'agit de montrer que, pour tout r\'eel $x$ et toute fonction $f\in\cc([0,x],\R)$ (ou $\cc([x,0],\R)$), on a $f(x)=f(0)+o_{{}_0}(1)$. C'est la d\'efinition de la continuit\'e~!\\[0.2cm]
$\bullet$ H\'er\'edit\'e~: supposons le r\'esultat vrai au rang $n$. Montrons qu'il est alors vrai au rang $n+1$. Soit donc un r\'eel $x$ et $f\in\cc^{n+1}([0,x],\R)$ (ou $\cc^{n+1}([x,0],\R)$).\subline\\
On a alors $f'\in\cc^{n}([0,x],\R)$ (ou $\cc^{n}([x,0],\R)$) et donc par hypoth\`ese de r\'ecurrence~:\\[-0.25cm] $$f'(x) = f'(0) + f''(0)x + \dfrac{f'''(0)}{2}x^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n+1)}(0)}{n!}x^n + o_{{}_0} \left ( x^n \right ).$$%\\[-0.5cm]
Ainsi par le th\'eor\`eme fondamental de l'analyse, on a~:\\
$\begin{array}{lcl}
f(x) & = & f(0)+\dsp{\int_0^x} f'(t) \dt\\
f(x) & = & f(0)+\dsp{\int_0^x} \left (  f'(0) + f''(0)t + \dfrac{f'''(0)}{2}t^2 + \ldots + \dfrac{f^{(n+1)}(0)}{n!}t^n + o_{{}_0} \left ( t^n \right ) \right )\dt\\
     & = & f(0)+ f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{6}x^3 + \ldots + \dfrac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1} + \dsp{ \int_0^x o_{{}_0} \left ( t^n \right ) \dt }\\
     & = & f(0)+ f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{6}x^3 + \ldots + \dfrac{f^{(n+1)}(0)}{(n+1)!}x^{n+1} + o_{{}_0} \left ( x^{n+1} \right )
\end{array}$\\[0.2cm]
d'apr\`es le lemme pr\'ec\'edent. Et la propri\'et\'e est bien h\'er\'editaire.\\[0.2cm]
$\bullet$ La propri\'et\'e est vraie au rang $0$, et elle est h\'er\'editaire, elle est donc vraie pour tout entier $n\in\N$.
\cqfd


\subsection{D\'eveloppements limit\'es}

\dfn[(rappel)]
On appelle \newdef{d\'eveloppement limit\'e} ($DL$) de $f$ un d\'eveloppement asymptotique de $f$ form\'e de mon\^omes.\subline\\
Plus pr\'ecis\'ement, pour $a\in \overline{I}$, on peut d\'efinir un $DL_n(a)$ de $f$ comme suit~:\subline
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $a=0$, un $DL_n(0)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$~;\subline
\item si $a\in\R$, un $DL_n(a)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+o\big((x-a)^n\big)$~;
\item si $a=\pm\infty$, un $DL_n(\pm\infty)$ de $f$ est une r\'e\'ecriture de la forme $f(x) = a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+o\Big(\frac{1}{x^n}\Big)$.
\end{enumerate}
\nfd

\rmq Un $DL$ n'existe pas toujours. Par exemple, pour $a\in I$, et pour r\'esumer ce qu'on a vu pr\'ec\'edemment~:
\begin{enumerate}
\item $f$ continue en $a$ $\Leftrightarrow$ $f$ a un $DL_0(a)$~;
\item $f$ d\'erivable en $a$ $\Leftrightarrow$ $f$ a un $DL_1(a)$~;
\item $f$ $\cc^n$ au voisinage de $a$ $\Rightarrow$ $f$ a un $DL_n(a)$.\megasubline %~;
\end{enumerate}
%ainsi une fonction discontinue n'a de $DL$ \`a aucun ordre, et une fonction continue mais pas d\'erivable n'a de $DL$ qu'\`a l'ordre $0$, 
Ainsi $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ n'a de $DL_n(0)$ pour aucune valeurs de $n$~; $x\mapsto|x|$ n'a de $DL_n(0)$ que pour $n=0$, etc.\megasubline
\qmr

\rmq Attention, Taylor-Young donne seulement une {\bf condition suffisante} d'existence de $DL$. Exemple~:


\[
	f(x) := \begin{cases}
		x^2 \sin \frac{1}{x} \quad&\text{si $x\neq 0$} \\
		0 \quad&\text{sinon}
	\end{cases}
\] 

n'est pas $\cc^1$ mais elle a un $DL_1(0)$ car elle est dérivable:

\[
	f(x) = 0 + 0x + o(x)
\] 

Plus g\'en\'eralement, on montre de m\^eme que~:


\[
	f_n(x) := \begin{cases}
		x^{n+1} \sin \frac{1}{x^n} \quad&\text{si $x\neq 0$} \\
		0 \quad&\text{sinon}
	\end{cases}
\] 

n'est pas $\cc^1$ (donc pas $\cc^n$) mais elle a un $DL_n(0)$ :

Pour $x\neq 0$, $f_n$ est dérivable en $x$ et 

\begin{align*}
	f_n'(x) &= (n+1)x^n \sin \frac{1}{x^n} + \cancel{x^{n+1}} \frac{-n}{\cancel{x^{n+1}}} \cos \frac{1}{x^n} \\
		&= \underbrace{(n+1)x^n \sin \frac{1}{x^n}}_{\tendvers{}{x\to 0}{0}} + \underbrace{- n \cos \frac{1}{x^n}}_{\tendvers{}{x\to 0}{\text{PDL}}} \\
\end{align*}

D'où $f_n'$ n'a pas de limite.

De plus, \begin{align*}
	f_n'(0) &= \lim_{x \to 0} \tau_{x, f}(0) \\
	&= x^n \sin \frac{1}{x^n} \\
	&\tendvers{}{\infty}{0}
\end{align*}


Enfin, \[
	f_n(x) = 0 + 0x + 0x^2 + \cdots + 0x^n + o(x^n) = o(x^n)
\] 
\qmr

\thm
Pour tout $a\in \overline{I}$ et tout $n\in\N$, un $DL_n(a)$ de $f$ est toujours unique.
\mht
%On n'a pas du tout utilis\'e ce th\'eor\`eme au d\'ebut du chapitre donc pas de cercle vicieux.

\demo
Considérons deux $DL_n(0)$ de $f$ 

\begin{align*}
	f(x) &= a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + o(x^n) \\
	f(x) &= b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n + o(x^n) \\ 
\iff	0 &= \underbrace{(a_0-b_0)}_{c_0} + \underbrace{(a_1 - b_1)}_{c_1}x + \cdots + \underbrace{(a_n - b_n)}_{c_n}x^n + o(x^n) && \text{par soustraction} 
\end{align*}

Montrons $\forall i, c_i =  0$ par l'absurde. Supposons $\exists i, c_i \neq 0$ et notons $i_0$ le plus petit entier tel que $c_{i_0} \neq 0$.

Ainsi

\begin{align*}
	0 &= c_{i_0} x^{i_0} + o(x^{i_0}) \\
	\implies 0 &= c_{i_0} + o(1) \qquad\text{avec $x\to 0$} \\
\end{align*}

On obtient $c_{i_0} = 0$. Impossible. 
\cqfd

\col Supposons que $f$ a un $DL_n(0)$.
\begin{enumerate}
\item Si $f$ est paire, alors le $DL_n(0)$ de $f$ est pair.
\item Si $f$ est impaire, alors le $DL_n(0)$ de $f$ est impair.
\end{enumerate}
\loc

\demo
Supposons $\forall x, f(-x) = f(x)$.

\begin{align*}
	f(x) &= a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + o(x^n) \\
	% égal vertical
	f(-x) &= a_0 - a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + (-1)^n a_n x^n + o(x^n) \\
\end{align*}

Donc $	\begin{cases}
		a_1 &= - a_1 \\
		a_3 &= - a_3 \\
		    &\vdots \\
		a_{2k+1} &= -a_{2k+1} \\
	\end{cases}
$, ie $\forall k, a_{2k+1} = 0$
\cqfd

\thm
On peut int\'egrer un $DL_n(a)$.
\mht

\demo C'est une reformulation imm\'ediate du lemme \ref{IntegrationDUnPetitO}. \cqfd

\medskip

Voyons maintenant trois applications pratiques des $DL$ (mais c'est essentiellement trois fois la m\^eme).\\

\begin{appl}
{\bf:~ Nature d'un point critique.}\\[0.2cm]
Si $a\in I$ et $f$ a un $DL_n(a)$ de la forme $f(x)=a_0+a_p(x-a)^p+o\big((x-a)^p\big)$ avec $p\geq 2$ et $a_p\neq 0$ alors~:\semisubline
\begin{enumerate}
\item[0.] $a$ est un point critique de $f$, et
\item[1.] si $p$ est impair alors $f$ a un point d'inflexion en $a$
\item[2.] si $p$ est pair et $a_p>0$ alors $f$ a un minimum local en $a$
\item[3.] si $p$ est pair et $a_p<0$ alors $f$ a un maximum local en $a$
\end{enumerate}
\end{appl}\ \\

\begin{appl}
{\bf:~ Positions relatives \uuline{locales} de $\pmb{\cc_f}$ et ses tangentes.}\\[0.2cm]
Si $a\in I$ et $f$ a un $DL_n(a)$ de la forme $f(x)=a_0+a_1x+a_p(x-a)^p+o\big((x-a)^p\big)$ avec $p\geq 2$ et $a_p\neq 0$ alors~:\semisubline
\begin{enumerate}
\item si $p$ est impair alors $f$ a un point d'inflexion en $a$
\item si $p$ est pair et $a_p>0$ alors $\cc_f$ est \emph{au dessus}  de $T_a$
\item si $p$ est pair et $a_p<0$ alors $\cc_f$ est \emph{en dessous}  de $T_a$ 
\end{enumerate}
\end{appl}\ \\

\begin{appl}
{\bf:~ Positions relatives \uuline{locales} de $\pmb{\cc_f}$ et ses asymptotes.}\\[0.2cm]
Si $\infty\in\{\pm\infty\}$ et $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ a un $DL_n(\infty)$ de la forme $\frac{f(x)}{x}=a_0+\frac{a_1}{x}+\frac{a_r}{x^r}+o\big(\frac{1}{x^r}\big)$ avec $r\geq 2$ et $a_r\neq 0$ alors~:\megasubline
\begin{enumerate}
\item[0.] $\cc_f$ a pour asymptote en $\infty$ la droite d'\'equation $y=a_0x + a_1$
\item[1.] $\infty = +\infty \land a_r > 0 \implies \text{$\cc_f$ est au dessus de $D$}$
\item[2.] $\infty = +\infty \land a_r < 0 \implies \text{$\cc_f$ est en dessous de $D$}$
\item[3.] $\infty = -\infty \land a_r > 0 \land r\in 2\N+1 \implies \text{$\cc_f$ est au dessus de $D$}$
\item[4.] $\infty = -\infty \land a_r < 0 \land r\in 2\N+1 \implies \text{$\cc_f$ est en dessous de $D$}$
\item[5.] $\infty = -\infty \land a_r > 0 \land r\in 2\N \implies \text{$\cc_f$ est en dessous de $D$}$
\item[6.] $\infty = -\infty \land a_r < 0 \land r\in 2\N \implies \text{$\cc_f$ est au dessous de $D$}$
\end{enumerate}
\end{appl}\ \\


\section{Bilan des inclusions rencontr\'ees}

\ \\[-2cm]

  \xymatrix{
    & & & & & & & \dc\bc  \ar@{=>}[dd] \ar@{=>}[r]^{\!I\!A\!F} & \lc \ar@{=>}[d] &  & \\ 
    & & & & & & & & UC \ar@{=>}[d] &  & \\ 
    \cc^{\infty} \Rightarrow\ar@{.}[r] & \Rightarrow\dc^{n+1} \ar@{=>}[r] & \cc^n \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[rd]^{\!T\!Y} & \dc^n \Rightarrow\ar@{.}[r] & \Rightarrow \cc^2 \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[rd]^{\!T\!Y} & \dc^2 \ar@{=>}[r] & \cc^1 \ar@{=>}[r] \ar@{=>}[rd]^{\!T\!Y} & \dc^1 \ar@{=>}[r] \ar@{<=>}[d] & \cc^0 \ar@{=>}[r] \ar@{<=>}[d] \ar@{=>}[rd]^{\!T\!V\!I} & \dc^0 \ar@{=>}[d]^{{}^{{}^\text{Darboux}}} \\
    & & & DL_n \Rightarrow\ar@{.}[rr] & & \Rightarrow DL_2 \ar@{=>}[rr] & & DL_1 \ar@{=>}[r] & DL_0 & PVI }

\bigskip

\section{Extension aux fonctions \`a valeurs dans $\C$ ou $\R^n$}

L'application 1 nous a d\'ej\`a convaincu de l'int\'er\^et des applications \`a valeurs complexes de la forme $t\mapsto \e^{(a+ib)t}$. Comme d'habitude, c'est aussi l'occasion de r\'eviser ce chapitre et le pr\'ec\'edent, avant de voir ce qui garde un sens et reste vrai.\\\\

{\bf Commen\c{c}ons par les d\'efinitions~:}\\

$\star$ Les notions de fonctions d\'erivables, $\dc^n$, $\cc^n$~: oui\subline\\

$\star$ La notion de DL~: oui\subline\\

$\star$ La notion d'extremum local~: aucun sens\subline\\\\



{\bf Passons aux th\'eor\`emes~:}\\

$\star$ D\'erivable $\Leftrightarrow$ a un $DL_1$ oui \subline\\

$\star$ D\'erivable implique continue~: oui \subline\\

$\star$ D\'eriv\'ees d'une somme, produit, compos\'ee, r\'eciproque~: oui \subline\\

$\star$ D\'eriv\'ees $n$-i\`emes d'une somme, produit, compos\'ee, r\'eciproque~: oui \subline\\

$\star$ Le lemme de Fermat sur les points critiques~: aucun sens\subline\\

$\star$ Rolle et l'EAF~: non.\subline\\

\demo
Pour $f: \begin{cases}
	[0, 2\pi] &\to \C \\
	t &\mapsto e^{it}
\end{cases}$.

\[
	f(c) = e^{i_0} = 1 = 1 = e^{2i\pi} = f(2\pi)
\] 

On a $f': \begin{cases}
	[0, 2\pi] &\to \C \\
	t &\mapsto i e^{it}
\end{cases}$ et $|f'| = t\mapsto 1$ donc on ne peut pas avoir $c\in ]0, 2\pi[$ tel que $f'(c) = 0$ 
\cqfd

$\star$ Le th\'eor\`eme sur le signe de la d\'eriv\'ee~: aucun sens. \subline\\

$\star$ Les trois formules de Taylor~: oui. On change $|\cdot|$ en $|\cdot |$ dans la preuve\subline\\

En particulier~: l'IAF reste vraie sous l'hypothèse $\cc^{1}$ (c'est l'ITL\footnote{Inégalité de Taylor-Lagrange} pour $n=0$ )



\end{document}
