\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\newcommand{\vois}[1]{{\Large $\pmb{\vc_{#1}}$}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \supline\textsc{Limites d'une fonction.}\subline}\\
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion d'intervalles non triviaux, par exemple $[1,2[$ ou $\R^*$ ou $D_{\tan}$~;
\item $f : I \too \R$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$~;
\item $a$ d\'esigne un point adh\'erent \`a $I$.
\end{enumerate}
La notion de point adh\'erent est pr\'esent\'ee dans la partie I.1., mais pour une r\'eunion d'intervalles non triviaux on peut simplement dire qu'un point adh\'erent \`a $I$ est ou bien un \'el\'ement de $I$ ou bien une extr\'emit\'e de $I$. \\Par exemple l'ensemble des points adh\'erents \`a $]-1,2]\cup]3,+\infty[$ est $[-1,2]\cup[3,+\infty]$.


\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\newcommand{\vois}[1]{{\Large $\pmb{\vc_{#1}}$}}
\section{Voisinages}
\subsection{D\'efinition}
\dfn[Voisinage] Soit $\alpha\in\rbarre$.
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha\in \R$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_\alpha$ v\'erifiant $\exists\eps>0,\ ]\alpha-\eps,\alpha+\eps[ \subset V_\alpha$.
\item Si $\alpha=+\infty$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_{+\infty}$ v\'erifiant $\exists A\in\R,\ ]A,+\infty[ \subset V_{+\infty}$.
\item Si $\alpha=-\infty$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_{-\infty}$ v\'erifiant $\exists B\in\R,\ ]-\infty,B[ \subset V_{-\infty}$.
\end{enumerate}
\nfd
\nota
Pour \'ecrire des \'enonc\'es formels portant sur les voisinages, notons \vois{a} l'ensemble des voisinages de $a$.
\aton
\dfn[Point adh\'erent]
On dit que $a\in\rbarre$ est un \newdef{point adh\'erent \`a $I$} lorsque tout voisinage de $a$ rencontre $I$.\\[0.15cm]
Autrement dit~: pour tout voisinage $V_a$ de $a$, on a $V_a\cap I \neq \emptyset$.\\[0.15cm]
On note $\overline{I}$ l'ensemble des points adh\'erents \`a $I$.
\nfd
\subsection{Propri\'et\'es des voisinages}
\rmq
Une partie $P\subset\R$ est voisinage de chacun de ses \'el\'ements \ssi .................................................\\
\qmr
\pro[Intersection]
Pour tout $\alpha\in\rbarre$, l'intersection de deux voisinages de $\alpha$ est un voisinage de $\alpha$.\\
\orp
\pro[S\'eparation]
Soient $\alpha\neq\beta$ deux \'el\'ements distincts de $\rbarre$.\\[0.15cm]
Alors il existe un voisinage $V_\alpha$ de $\alpha$ et un voisinage $V_\beta$ de $\beta$ tels que $V_\alpha \cap V_\beta = \emptyset$.
\orp
\subsection{Propri\'et\'es locales}
\dfn
On dit qu'une propri\'et\'e $P(f)$ portant sur $f$ est \newdef{vraie au voisinage de $a$} lorsqu'il existe un voisinage de $a$ sur lequel la propri\'et\'e est vraie, \ie pour lequel $P(f_{|V_\alpha})$ est vraie.
\nfd
\dfn
On dit que $f$ atteint un extremum local (maximum local ou minimum local) en $x_0\in I$ lorsqu'il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel $f(x_0)$ est un extremum (maximum ou minimum) de $f$.
\nfd
\section{Limites}
\subsection{D\'efinition}
\dfn
On dit que \newdef{${f}$ a pour limite $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell}$ lorsque la propri\'et\'e suivante est v\'erifi\'ee~:\\[0.15cm]
pour tout voisinage $V_\ell$ de $\ell$, il existe un voisinage $V_a$ de $a$ tel que $\forall x\in I\cap V_a,\ f(x) \in V_\ell$. 
\nfd
\rmq Cette d\'efinition est la d\'efinition {\bf francophone} de la limite. En particulier, si $f$ est d\'efinie en $a$ (\ie $a\in I$ et pas seulement $a\in \overline{I}$) et que $\tendvers{f}{a}{\ell}$, alors n\'ecessairement $\ell=f(a)$ (la r\'eciproque \'etant fausse).\\
Par exemple l'application $\Chi_{\{0\}} = x\mapsto \lect{1\text{ si }x=0\\0 \text{ sinon}}$ n'a pas de limite en $0$. On verra plus bas la version anglophone.\\\\\\
Dessin~:\\\\
\qmr
\thm[Unicit\'e de la limite]
Si $f$ a une limite en $a$ alors cette limite est unique, on la note alors $\lim\limits_a f$ ou $\lim\limits_{x\too a} f(a)$.
\mht
\nota
Sous r\'eserve d'existence, on notera donc $\lim\limits_{a} f$ ou $\lim\limits_{x\too a} f(x)$ l'unique limite de $f$ en $a$.
\aton
\dfn[Limites \`a gauche, \`a droite]\ \\[-0.7cm]
\begin{enumerate}
\item On dit que \newdef{${f}$ a pour limite \`a gauche $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a^-}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a^-}{\ell}$ lorsqu'on a $\tendvers{f_{|I\cap]-\infty,a[}}{a}{\ell}$.\\[-0.25cm]
\item On dit que \newdef{${f}$ a pour limite \`a droite $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a^+}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a^+}{\ell}$ lorsqu'on a $\tendvers{f_{|I\cap]a,+\infty[}}{a}{\ell}$.
\end{enumerate}
\nfd
\nota
L'unicit\'e de la limite implique l'unicit\'e des limites \`a gauche et \`a droite. Sous r\'eserve d'existence, on notera donc $\ell = \lim\limits_{a^-} f$ ou $\ell = \lim\limits_{x\too a^-} f(x)$ pour $\tendvers{f}{a^-}{\ell}$~; et $\ell = \lim\limits_{a^+} f$ ou $\ell = \lim\limits_{x\too a^+} f(x)$ pour $\tendvers{f}{a^+}{\ell}$.
\aton
\pro[Lien avec les limites]
On a deux cas~:\ \\[-0.3cm]
\begin{enumerate}
\item Si $a\notin I$, alors~: $~~\tendvers{f}{a}{\ell} ~\Longleftrightarrow~ \tendvers{f}{a^-}{\ell} \text{ et } \tendvers{f}{a^+}{\ell}$.\\[-0.25cm]
\item Si $a\in I$, alors~: $~~\tendvers{f}{a}{\ell} ~\Longleftrightarrow~ \tendvers{f}{a^-}{\ell} \text{ et } \tendvers{f}{a^+}{\ell} \text{ et }f(a)=\ell$.
\end{enumerate}
\orp
\rmq
Si le second point vous perturbe (sait-on jamais) et que vous auriez voulu que $\Chi_{\{0\}} = x\mapsto \lect{1\text{ si }x=0\\0 \text{ sinon}}$ ait une limite en $0$, c'est que vous avez en t\^ete la {\bf version anglo-saxonne} de la d\'efinition de la limite. Avec le vocabulaire francophone, on parle de {\bf limite \'epoint\'ee}~: \newdef{$f$ a pour limite \'epoint\'ee $\ell$ en $a$} lorsque $\tendvers{f_{|I\setminus\{a\}}}{a}{\ell}$.\\
\'Evidemment, dans le cas o\`u $a\notin I$, limite et limite \'epoint\'ee co\"incident.
\qmr
\subsection{Crit\`eres d'existence de limite}
\thm
Si $f$ a une limite finie en $a$, alors $f$ est born\'ee {\bf au voisinage de $\pmb{a}$}.
\mht
\thm[TLM, version fonctions]
Soient $f \in \R^I$ {\bf croissante} et $a\in\overline{I}$. %\megasubline\\
 Alors:\subline
\begin{enumerate}[i.]
\item Si $f$ est d\'efinie \`a gauche en $a$, $\lim\limits_{a^-} f$ existe.
\item Si $f$ est d\'efinie \`a droite en $a$, $\lim\limits_{a^+} f$ existe.
\item Toutes les in\'egalit\'es suivantes sont vraies lorsqu'elles ont un sens~:  $\lim\limits_{a^-} f \leq f(a) \leq \lim\limits_{a^+} f$.
\end{enumerate}
\'Enonc\'e analogue pour $f$ d\'ecroissante.\semisubline
\mht
\rmq\ \\[-0.85cm] Pour le troisi\`eme point, si par exemple la fonction est d\'efinie au voisinage de $a$ sauf en $a$, on a seulement $\lim\limits_{a^-} f \leq \lim\limits_{a^+} f$. Si la fonction est d\'efinie \`a droite de $a$ et en $a$, mais pas \`a gauche de $a$, on a seulement $f(a) \leq \lim\limits_{a^+} f$. Etc.
\qmr
\thm[TDG, version fonctions]
Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions comme la fonction $f$ du pr\'eambule.\\[-0.2cm]
\begin{enumerate}[a.]
\item Convergence par encadrement~: supposons $\lect{f\leq g\leq h \text{ au voisinage de } a\\\exists \ell\in\R,\ \tendvers{f}{a}{\ell}\text{ et }\tendvers{h}{a}{\ell.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{\ell}$.\\
\item Divergence par minoration~: supposons $\lect{f\leq g \text{ au voisinage de } a\\\tendvers{f}{a}{+\infty.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{+\infty}$.\\[0.2cm]
Divergence par majoration~: supposons $\lect{g\leq h \text{ au voisinage de } a\\\tendvers{h}{a}{-\infty.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{-\infty}$.\\
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Op\'erations sur les limites}
\thm[Op\'erations alg\'ebriques sur les limites]
Soient $f, g$ comme dans le pr\'eambule~; $\ell_1,\ell_2\in\overline{\R}$~; et $\square\in\{+,-,\times,\div\}$.\\[0.15cm]
Supposons qu'on ait $\tendvers{f}{a}{\ell_1}$, qu'on ait $\tendvers{g}{a}{\ell_2}$, et que $\ell_1\square \ell_2$ ait un sens.\\[0.1cm]
Alors $\tendvers{f\square g}{a}{\ell_1\square \ell_2}$.
\mht
\thm[Compositions de limites]
~\\[-0.55cm]
Soient $I$ et $J$ deux r\'eunions d'intervalles non triviaux, $a\in\overline{I}$, $b\in\overline{J}$ et $\lect{f: I\too J\\g: J\too \R}$, telles que $\lect{\lim\limits_{a} f = b\\\lim\limits_{b} g = c.}$ Alors $\lim\limits_a g\circ f = c$.
\mht
\rmq\ \\[-0.6cm] On voit l\`a la grande force de la version francophone de la limite. Pour obtenir une version de ce th\'eor\`eme qui reste vraie avec la version anglophone, il faut se contorsionner.
\qmr
\subsection{Caract\'erisation s\'equentielle de la limite et applications}
\thm[Caract\'erisation s\'equentielle de la limite]
Les propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i.]
\item $\tendvers{f}{a}{\ell}$~;
\item $\forall (u_n)_{\in\N}\in I^\N,\ u_n\too a \Rightarrow f(u_n) \too \ell$.
\end{enumerate}
\mht
\rmq En utilisant la caract\'erisation s\'equentielle de la limite, on peut red\'emontrer les th\'eor\`emes pr\'ec\'edents (op\'erations alg\'ebriques, composition, TdG, et m\^eme TLM) plus facilement qu'\`a l'aide de la d\'efinition~!\\
\qmr
\thm[Stabilit\'e des in\'egalit\'es larges par passage \`a la limite]
Si $f\leq g$ au voisinage de $a$ et qu'on a $\tendvers{f}{a}{\ell_1}$ et $\tendvers{g}{a}{\ell_2}$ alors $\ell_1\leq \ell_2$.
\mht
\end{document}
