\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\newcommand{\vois}[1]{{\Large $\pmb{\vc_{#1}}$}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \supline\textsc{Limites d'une fonction.}\subline}\\
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion d'intervalles non triviaux, par exemple $[1,2[$ ou $\R^*$ ou $D_{\tan}$~;
\item $f : I \too \R$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$~;
\item $a$ d\'esigne un point adh\'erent \`a $I$.
\end{enumerate}
La notion de point adh\'erent est pr\'esent\'ee dans la partie I.1., mais pour une r\'eunion d'intervalles non triviaux on peut simplement dire qu'un point adh\'erent \`a $I$ est ou bien un \'el\'ement de $I$ ou bien une extr\'emit\'e de $I$. \\Par exemple l'ensemble des points adh\'erents \`a $]-1,2]\cup]3,+\infty[$ est $[-1,2]\cup[3,+\infty]$.


\section{Voisinages}

\subsection{D\'efinition}

L'id\'ee~: un voisinage de $\alpha$ doit \^etre une partie de $\R$, aussi petite qu'on veut mais "d\'ebordant un peu autour de $\alpha$".% Cela donne~:

\dfn[Voisinage] Soit $\alpha\in\rbarre$.
\begin{enumerate}
\item Si $\alpha\in \R$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_\alpha$ v\'erifiant $\exists\eps>0,\ ]\alpha-\eps,\alpha+\eps[ \subset V_\alpha$.
\item Si $\alpha=+\infty$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_{+\infty}$ v\'erifiant $\exists A\in\R,\ ]A,+\infty[ \subset V_{+\infty}$.
\item Si $\alpha=-\infty$, on appelle \newdef{voisinage de $\alpha$} tout ensemble $V_{-\infty}$ v\'erifiant $\exists B\in\R,\ ]-\infty,B[ \subset V_{-\infty}$.
\end{enumerate}
\nfd

\begin{appl}
On %peut donner
 a donc une version {\bf unifi\'ee} de la d\'efinition de la limite d'une suite en passant par les voisinages~:\\[0.15cm]
$u_n\too\ell\in\rbarre$ \ssi .............................................................................................................................\\[0.15cm]
\uneligne
\end{appl}\ \\

\nota
Pour \'ecrire des \'enonc\'es formels portant sur les voisinages, notons \vois{a} l'ensemble des voisinages de $a$.
\aton


\dfn[Point adh\'erent]
On dit que $a\in\rbarre$ est un \newdef{point adh\'erent \`a $I$} lorsque tout voisinage de $a$ rencontre $I$.\\[0.15cm]
Autrement dit~: pour tout voisinage $V_a$ de $a$, on a $V_a\cap I \neq \emptyset$.\\[0.15cm]
On note $\overline{I}$ l'ensemble des points adh\'erents \`a $I$.
\nfd

\exs
\begin{enumerate}
\item Il est clair que tout \'el\'ement de $I$ est un point adh\'erent \`a $I$.
\item Il est clair qu'on a bien $\rbarre=\R\cup\{\pm\infty\}$, la notation est donc coh\'erente.
\item Pour l'exemple $I=]-1,2]\cup]3,+\infty[$ du pr\'eambule, on v\'erifie sans peine qu'on a bien $\overline{I}=[-1,2]\cup[3,+\infty]$.\\[-0.25cm]
\end{enumerate}
\sxe

Les points $a$ adh\'erents \`a $I$ sont les r\'eels pour lesquels "\c{c}a a un sens de regarder si $f$ a une limite en $a$".\\

\subsection{Propri\'et\'es des voisinages}

\rmq
Une partie $P\subset\R$ est voisinage de chacun de ses \'el\'ements \ssi .................................................\\
\qmr

Les propri\'et\'es suivantes seront utiles pour la suite.\\

\pro[Intersection]
Pour tout $\alpha\in\rbarre$, l'intersection de deux voisinages de $\alpha$ est un voisinage de $\alpha$.\\
\orp

\demo Soient $V_1$, $V_2$ deux voisinages de $\alpha$. Trois cas~: 
\begin{enumerate}
\item Pour $\alpha\in\R$~: il existe $\eps_1$, $\eps_2$ tels que $]\alpha-\eps_1,\alpha+\eps_1[\subset V_1$ et $]\alpha-\eps_2,\alpha+\eps_2[\subset V_2$. \\On pose $\eps=\min(\eps_1,\eps_2)$ et on a $]\alpha-\eps,\alpha+\eps[\subset V_1\cap V_2$.
\item Pour $\alpha=+\infty$~: il existe $A_1$, $A_2$ tels que $]A_1,+\infty[\subset V_1$ et $]A_2,+\infty[\subset V_2$. \\On pose $A=\max(A_1,A_2)$ et on a $]A,+\infty[\subset V_1\cap V_2$.
\item Pour $\alpha=-\infty$~: pareil. Exercice, si ce n'est pas \'evident.\\[-1cm]
\end{enumerate}
\cqfd

%\exo Le montrer.\\

\pro[S\'eparation]
Soient $\alpha\neq\beta$ deux \'el\'ements distincts de $\rbarre$.\\[0.15cm]
Alors il existe un voisinage $V_\alpha$ de $\alpha$ et un voisinage $V_\beta$ de $\beta$ tels que $V_\alpha \cap V_\beta = \emptyset$.
\orp

\demo
\`A renommage pr\`es on peut supposer $\alpha<\beta$. On a quatre cas~:
\begin{enumerate}
\item Pour $-\infty<\alpha<\beta<+\infty$~: on prend $V_\alpha=]\alpha-\eps,\alpha+\eps[$ et $V_\beta=]\beta-\eps,\beta+\eps[$ avec $\eps=\dfrac{\beta-\alpha}{2}$.
\item Pour $-\infty=\alpha<\beta<+\infty$~: on prend $V_\alpha=]-\infty,\beta-1[$ et $V_\beta=]\beta-1,\beta+1[$.
\item Pour $-\infty<\alpha<\beta=+\infty$~: on prend $V_\alpha=]\alpha-1,\alpha+1[$ et $V_\beta=]\alpha+1,+\infty[$.
\item Pour $-\infty=\alpha,\beta=+\infty$~: on prend $V_\alpha=\R_+^*$ et $V_\beta=\R_-^*$.\\[-1cm]
\end{enumerate}
\cqfd


\subsection{Propri\'et\'es locales}

\dfn
On dit qu'une propri\'et\'e $P(f)$ portant sur $f$ est \newdef{vraie au voisinage de $a$} lorsqu'il existe un voisinage de $a$ sur lequel la propri\'et\'e est vraie, \ie pour lequel $P(f_{|V_\alpha})$ est vraie.
\nfd

\exs\ \\[-0.3cm]
\begin{enumerate}
\item La fonction sinus est-elle croissante au voisinage de $0$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\[-0.3cm]
\item La fonction sinus est-elle croissante au voisinage de $\frac{\pi}{2}$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\[-0.3cm]
\item La fonction sinus est-elle positive au voisinage de $0$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\[-0.3cm]
\item La fonction sinus est-elle positive au voisinage de $\frac{\pi}{2}$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\[-0.3cm]
\item La fonction inverse est-elle positive au voisinage de $0$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\[-0.3cm]
\item La fonction inverse est-elle positive au voisinage de $+\infty$~?\\[0.15cm]
\uneligne\\
\end{enumerate}
\sxe

\newpage
\dfn
On dit que $f$ atteint un extremum local (maximum local ou minimum local) en $x_0\in I$ lorsqu'il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel $f(x_0)$ est un extremum (maximum ou minimum) de $f$.
\nfd

\exx
Consid\'erons la fonction $x \mapsto x^3-3x+2$. L'\'etude r\'ev\`ele deux extrema {\bf locaux}~:\newpage
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes\\
%\quatrelignes
\xxe


\section{Limites}

\subsection{D\'efinition}

\dfn
On dit que \newdef{${f}$ a pour limite $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell}$ lorsque la propri\'et\'e suivante est v\'erifi\'ee~:\\[0.15cm]
pour tout voisinage $V_\ell$ de $\ell$, il existe un voisinage $V_a$ de $a$ tel que $\forall x\in I\cap V_a,\ f(x) \in V_\ell$. 
\nfd

\lilbound

Il y a concr\`etement $9$ cas possibles suivants que $a \lect{\text{ est fini}\\\text{ est }+\infty\\\text{ est }-\infty}$ et $\ell \lect{\text{ est fini}\\\text{ est }+\infty\\\text{ est }-\infty}$.\\[0.15cm]

\exo En d\'eduire les $9$ \'enonc\'es possibles.\\[-0.25cm]

Cet exercice est corrig\'e dans les $9$ lignes qui suivent. Il est {\bf vivement conseill\'e} de le faire et refaire en aveugle avec un camarade jusqu'\`a ce que \c{c}a rentre.
\begin{enumerate}
\item $a$ fini et $\ell$ fini~: $\forall \eps>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-\ell|<\eps$.
\item $a=+\infty$ et $\ell$ fini~: $\forall \eps>0,\ \exists A>0,\ \forall x\in I,\ x>A \Rightarrow |f(x)-\ell|<\eps$.
\item $a=-\infty$ et $\ell$ fini~: $\forall \eps>0,\ \exists B<0,\ \forall x\in I,\ x<B \Rightarrow |f(x)-\ell|<\eps$.
\item $a$ fini et $\ell=+\infty$~: $\forall A>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta \Rightarrow f(x)>A$.
\item $a=+\infty$ et $\ell=+\infty$~: $\forall A>0,\ \exists \alpha>0,\ \forall x\in I,\ x>\alpha \Rightarrow f(x)>A$.
\item $a=-\infty$ et $\ell=+\infty$~: $\forall A>0,\ \exists B<0,\ \forall x\in I,\ x<B \Rightarrow f(x)>A$.
\item $a$ fini et $\ell=-\infty$~: $\forall B<0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta \Rightarrow f(x)<B$.
\item $a=+\infty$ et $\ell=-\infty$~: $\forall B<0,\ \exists A>0,\ \forall x\in I,\ x>A \Rightarrow f(x)<B$.
\item $a=-\infty$ et $\ell=-\infty$~: $\forall B<0,\ \exists \beta<0,\ \forall x\in I,\ x<\beta \Rightarrow f(x)<B$.
\end{enumerate}
Parmi les int\'er\^ets de l'entra\^inement~: on ne peut exclure qu'il y ait des coquilles (donc des plus) dans ces $9$ lignes.\\%les $9$ lignes qui pr\'ec\`edent (merci le copi\'e-coll\'e).\\

\emph{Plus succintement}

\[
	% \tendvers{f}{a}{l} \iff  
	\forall L \begin{cases}
		> 0 & \text{si } l\in \overline{\R}\setminus \{-\infty\} \\
		< 0 & \text{sinon}
	\end{cases},\ \exists A \begin{cases}
		> 0 & \text{si } l\in \overline{\R}\setminus \{-\infty\} \\
		< 0 & \text{sinon}
	\end{cases},\ \forall x\in I,\ \begin{cases}
		|x-a| < A & \text{si } a \in \R \\
		x > A & \text{si } a = +\infty \\
		x < A & \text{sinon}
	\end{cases} \implies \begin{cases}
		|f(x)-l| < L & \text{si } l \in \R\\
		f(x) > L & \text{si } l = +\infty\\
		f(x) < L & \text{sinon}
	\end{cases}
\].

\emph{Version cerveau cosmique} 

\begin{align*}
	\Xi &:= \begin{cases}
		\overline{\R} &\to \{\R_+^\times, \R_-^\times \} \\
		l &\mapsto \begin{cases}
			\R_-^\times &\text{si $l = -\infty$} \\
			\R_+^\times &\text{sinon}
		\end{cases}
			\end{cases}
		\end{align*}
\begin{align*}
\tendvers{f}{a}{l} &\iff \forall L\in \Xi(l), \exists A\in \Xi(a), \forall x\in I, \begin{cases}
		|x-a|<A &\text{si $a\in \R$} \\
		x<A &\text{si $a = -\infty$} \\
		x>A &\text{sinon}
	\end{cases} \implies \begin{cases}
		|f(x)-f(l)|<L &\text{si $l\in \R$} \\
		f(x)<L &\text{si $l = -\infty$} \\
		f(x)>L &\text{sinon}
	\end{cases}
\end{align*}

\exo V\'erifier sur des {\bf exemples simples} qu'on peut utiliser ces d\'efinitions pour montrer qu'une fonction a bien pour limite le r\'esultat attendu (par exemple $x\mapsto \dfrac{1}{x^2}$ en $0$, ou en $+\infty$, ou encore $\exp$ en $-\infty$ ou en $+\infty$, etc).\\

\rmq Cette d\'efinition est la d\'efinition {\bf francophone} de la limite. En particulier, si $f$ est d\'efinie en $a$ (\ie $a\in I$ et pas seulement $a\in \overline{I}$) et que $\tendvers{f}{a}{\ell}$, alors n\'ecessairement $\ell=f(a)$ (la r\'eciproque \'etant fausse).\\
Par exemple l'application $\Chi_{\{0\}} = x\mapsto \lect{1\text{ si }x=0\\0 \text{ sinon}}$ n'a pas de limite en $0$. On verra plus bas la version anglophone.\\\\\\
Dessin~:\\\\
\qmr

\thm[Unicit\'e de la limite]
Si $f$ a une limite en $a$ alors cette limite est unique, on la note alors $\lim\limits_a f$ ou $\lim\limits_{x\too a} f(a)$.
\mht

\demo
Supposons qu'il existe deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$, finies ou infinies. D'apr\`es la propri\'et\'e de s\'eparation il existe deux voisinages $V_{\ell_1}$ de $\ell_1$ et $V_{\ell_2}$ de $\ell_2$ disjoints. Par d\'efinition de la limite il existe donc deux voisinages de $a$, $V_a$ et $V'_a$, tels que $\forall x\in I\cap V_a,\ f(x)\in V_{\ell_1}$ et $\forall x\in I\cap V'_a,\ f(x)\in V_{\ell_2}$. On obtient donc $\forall x\in I\cap V_a \cap V'_a,\ f(x)\in V_{\ell_1}\cap V_{\ell_2} = \emptyset$. Or $V_a \cap V'_a$ est un voisinage de $a$ donc $I\cap V_a\cap V'_a$ est non vide. Contradiction.
\cqfd



\nota
Sous r\'eserve d'existence, on notera donc $\lim\limits_{a} f$ ou $\lim\limits_{x\too a} f(x)$ l'unique limite de $f$ en $a$.
\aton

%\lilbound
%\smallskip
\newpage\ \\[-1.75cm]

\dfn[Limites \`a gauche, \`a droite]\ \\[-0.7cm]
\begin{enumerate}
\item On dit que \newdef{${f}$ a pour limite \`a gauche $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a^-}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a^-}{\ell}$ lorsqu'on a $\tendvers{f_{|I\cap]-\infty,a[}}{a}{\ell}$.\\[-0.25cm]
\item On dit que \newdef{${f}$ a pour limite \`a droite $\ell$ en $a$} et on note $\tendvers{f}{a^+}{\ell}$ ou $\tendvers{f(x)}{x\too a^+}{\ell}$ lorsqu'on a $\tendvers{f_{|I\cap]a,+\infty[}}{a}{\ell}$.
\end{enumerate}
\nfd

%\lilbound

\exo L'\'ecrire en formalisme symbolique.\\[-0.1cm]

\begin{minipage}{1.5cm}
Corrig\'e~:\\\\[0.08cm]
\end{minipage}
\begin{minipage}{15cm}
\begin{enumerate}
\item $~~~\tendvers{f}{a^-}{\ell} ~~~~~\Longleftrightarrow~~~~~ \forall \eps>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ a-\eta<x<a \Rightarrow \ell-\eps<f(x)<\ell+\eps$.\\[-0.25cm]
\item $~~~\tendvers{f}{a^+}{\ell} ~~~~~\Longleftrightarrow~~~~~ \forall \eps>0,\ \exists \eta>0,\ \forall x\in I,\ a<x<a+\eta \Rightarrow \ell-\eps<f(x)<\ell+\eps$.
\end{enumerate}
\end{minipage}

%\lilbound
\smallskip

\nota
L'unicit\'e de la limite implique l'unicit\'e des limites \`a gauche et \`a droite. Sous r\'eserve d'existence, on notera donc $\ell = \lim\limits_{a^-} f$ ou $\ell = \lim\limits_{x\too a^-} f(x)$ pour $\tendvers{f}{a^-}{\ell}$~; et $\ell = \lim\limits_{a^+} f$ ou $\ell = \lim\limits_{x\too a^+} f(x)$ pour $\tendvers{f}{a^+}{\ell}$.
\aton

\exs
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x\too 0^-} E(x)=......$ alors que $\lim\limits_{x\too 0^+} E(x)=......$.
\item Pour $f=\Chi_{\{0\}} = x\mapsto \lect{1\text{ si }x=0\\0 \text{ sinon}}$, on a $\lim\limits_{x\too 0^-} f(x)=......$ et $\lim\limits_{x\too 0^+} f(x)=......$.
\end{enumerate}
\sxe

\pro[Lien avec les limites]
On a deux cas~:\ \\[-0.3cm]
\begin{enumerate}
\item Si $a\notin I$, alors~: $~~\tendvers{f}{a}{\ell} ~\Longleftrightarrow~ \tendvers{f}{a^-}{\ell} \text{ et } \tendvers{f}{a^+}{\ell}$.\\[-0.25cm]
\item Si $a\in I$, alors~: $~~\tendvers{f}{a}{\ell} ~\Longleftrightarrow~ \tendvers{f}{a^-}{\ell} \text{ et } \tendvers{f}{a^+}{\ell} \text{ et }f(a)=\ell$.
\end{enumerate}
\orp

\microbound

\exo Le d\'emontrer.

\microbound

\rmq
Si le second point vous perturbe (sait-on jamais) et que vous auriez voulu que $\Chi_{\{0\}} = x\mapsto \lect{1\text{ si }x=0\\0 \text{ sinon}}$ ait une limite en $0$, c'est que vous avez en t\^ete la {\bf version anglo-saxonne} de la d\'efinition de la limite. Avec le vocabulaire francophone, on parle de {\bf limite \'epoint\'ee}~: \newdef{$f$ a pour limite \'epoint\'ee $\ell$ en $a$} lorsque $\tendvers{f_{|I\setminus\{a\}}}{a}{\ell}$.\\
\'Evidemment, dans le cas o\`u $a\notin I$, limite et limite \'epoint\'ee co\"incident.
\qmr

%\lilbound
\smallskip

\subsection{Crit\`eres d'existence de limite}

Dans ce paragraphe, on reprend les crit\`eres de convergence/divergence vus pour les suites et on les adapte aux fonctions. Il y a des modifications techniques \`a apporter, mais globalement les th\'eor\`emes se maintiennent puisque les d\'efinitions sont analogues.

\thm
Si $f$ a une limite finie en $a$, alors $f$ est born\'ee {\bf au voisinage de $\pmb{a}$}.
\mht

\microbound

\exo Le d\'emontrer.

\microbound

\attention{Contrairement \`a ce qui se passait pour des suites, le fait que $f$ soit born\'ee au voisinage de $a$ (m\^eme pour $a=+\infty$) ne garantit en aucun cas que $f$ soit born\'ee tout court. Par exemple $x\mapsto \frac{1}{x}$ a pour limite $0$ en $+\infty$ donc est born\'ee au voisinage de $+\infty$, mais n'est pas born\'ee tout court.}

\ \\[-0.35cm]

\thm[TLM, version fonctions]
Soient $f \in \R^I$ {\bf croissante} et $a\in\overline{I}$. %\megasubline\\
 Alors:\subline
\begin{enumerate}[i.]
\item Si $f$ est d\'efinie \`a gauche en $a$, $\lim\limits_{a^-} f$ existe.
\item Si $f$ est d\'efinie \`a droite en $a$, $\lim\limits_{a^+} f$ existe.
%\item Si $f$ est d\'efinie \`a gauche et \`a droite en $a$, on a $\lim\limits_{a^-} f \leq \lim\limits_{a^+} f$.
\item Toutes les in\'egalit\'es suivantes sont vraies lorsqu'elles ont un sens~:  $\lim\limits_{a^-} f \leq f(a) \leq \lim\limits_{a^+} f$.
\end{enumerate}
\'Enonc\'e analogue pour $f$ d\'ecroissante.\semisubline
\mht

\newpage\ \\[-1.1cm]
\rmq\ \\[-0.85cm] Pour le troisi\`eme point, si par exemple la fonction est d\'efinie au voisinage de $a$ sauf en $a$, on a seulement $\lim\limits_{a^-} f \leq \lim\limits_{a^+} f$. Si la fonction est d\'efinie \`a droite de $a$ et en $a$, mais pas \`a gauche de $a$, on a seulement $f(a) \leq \lim\limits_{a^+} f$. Etc.
\qmr

%\microbound
\smallskip

\exx Un dessin~:\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\xxe

\demo \bigsubline \\
Pour la d\'emonstration, on supposera que $f$ est d\'efinie \`a gauche de $a$ et on se limitera aux deux cas suivants~: \og $a\in I$ \fg{} et \og $f$ non born\'ee au voisinage de $a$\fg, et on montrera uniquement l'\'enonc\'e essentiel dans chaque cas. \`A charge du lecteur de compl\'eter par lui-m\^eme, {\bf s'il le souhaite}.\megasubline\\
\fbox{Si $a\in I$} On montre seulement que $\lim\limits_{a^-} f$ existe et qu'on a $\lim\limits_{a^-} f \leq f(a)$.\\
On consid\`ere la partie $\mathcal{A}$ suivante~: $\mathcal{A} = f(]-\infty,a[\cap I) = \left\{f(x),~x\in I \text{ et } x<a \right\}$.  $\mathcal{A}$ est non vide (on a suppos\'e $f$ d\'efinie \`a gauche en $a$) et major\'ee (par $f(a)$, par croissance de $f$). Elle a donc une borne sup\'erieure $\alpha$. De plus, $f(a)$ \'etant un majorant de $\mathcal{A}$, on a $\alpha\leq f(a)$. Montrons qu'on a $\lim\limits_{a^-} f = \alpha$. Comme $\alpha$ est la borne sup\'erieure de $\mathcal{A}$, on a $\forall \eps>0, \exists y\in A, y < \alpha < y+\eps$ c'est-\`a-dire $\forall \eps>0, \exists z\in I, z<a \text{ et } f(z) < \alpha < f(z)+\eps$. Soit $\eps>0$ et $z$ associ\'e. Posons $\eta=a-z$. Soit $x \in ]a-\eta,a[\cap I = ]z,a[\cap I$. On a $\alpha \geq f(x) \geq f(z)$ par croissance donc $0 \leq \alpha-f(x) \leq \alpha-f(z) \leq \eps$. Ainsi a-t-on $|f(x)-\alpha|\leq \eps|$ ce qu'il fallait montrer.\megasubline\\
\fbox{Si $f$ est non born\'ee au voisinage de $I$} On montre seulement $\lim\limits_{a^-} f=+\infty$.\\
On consid\`ere l\`a encore $\mathcal{A} = f(]-\infty,a[\cap I)$ qui est non vide (on a suppos\'e $f$ d\'efinie \`a gauche en $a$) mais cette fois non major\'ee (car $f$ est non born\'ee au voisinage de $I$).
 Montrons qu'on a $\lim\limits_{a^-} f = +\infty$. Comme $\mathcal{A}$ est non major\'ee, on a $\forall A>0, \exists y\in A, y > A$ c'est-\`a-dire $\forall A>0, \exists z\in I, z<a \text{ et } f(z) > A$.\\
On a donc bien $\lim\limits_{a^-} f = +\infty$ par d\'efinition~!
\cqfd

\thm[TDG, version fonctions]
Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions comme la fonction $f$ du pr\'eambule.\\[-0.2cm]
\begin{enumerate}[a.]
\item Convergence par encadrement~: supposons $\lect{f\leq g\leq h \text{ au voisinage de } a\\\exists \ell\in\R,\ \tendvers{f}{a}{\ell}\text{ et }\tendvers{h}{a}{\ell.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{\ell}$.\\
\item Divergence par minoration~: supposons $\lect{f\leq g \text{ au voisinage de } a\\\tendvers{f}{a}{+\infty.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{+\infty}$.\\[0.2cm]
Divergence par majoration~: supposons $\lect{g\leq h \text{ au voisinage de } a\\\tendvers{h}{a}{-\infty.}}$ Alors $\tendvers{g}{a}{-\infty}$.\\
\end{enumerate}
\mht

\exo Le d\'emontrer.

%\microbound

\newpage\ \\[-2cm]

\subsection{Op\'erations sur les limites}

%\microbound
\smallskip

\thm[Op\'erations alg\'ebriques sur les limites]
Soient $f, g$ comme dans le pr\'eambule~; $\ell_1,\ell_2\in\overline{\R}$~; et $\square\in\{+,-,\times,\div\}$.\\[0.15cm]
Supposons qu'on ait $\tendvers{f}{a}{\ell_1}$, qu'on ait $\tendvers{g}{a}{\ell_2}$, et que $\ell_1\square \ell_2$ ait un sens.\\[0.1cm]
Alors $\tendvers{f\square g}{a}{\ell_1\square \ell_2}$.
\mht

\exo Ne surtout pas le d\'emontrer. Mais on peut traiter quelques cas.%\\[-0.3cm]

%\microbound
\medskip

\thm[Compositions de limites]
~\\[-0.55cm]
Soient $I$ et $J$ deux r\'eunions d'intervalles non triviaux, $a\in\overline{I}$, $b\in\overline{J}$ et $\lect{f: I\too J\\g: J\too \R}$, telles que $\lect{\lim\limits_{a} f = b\\\lim\limits_{b} g = c.}$ Alors $\lim\limits_a g\circ f = c$.
\mht

\exo Le d\'emontrer.\\[-0.3cm]

\rmq\ \\[-0.6cm] On voit l\`a la grande force de la version francophone de la limite. Pour obtenir une version de ce th\'eor\`eme qui reste vraie avec la version anglophone, il faut se contorsionner.
\qmr

%\microbound
\smallskip

\subsection{Caract\'erisation s\'equentielle de la limite et applications}

%\microbound

\thm[Caract\'erisation s\'equentielle de la limite]
Les propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i.]
\item $\tendvers{f}{a}{\ell}$~;
\item $\forall (u_n)_{\in\N}\in I^\N,\ u_n\too a \Rightarrow f(u_n) \too \ell$.
\end{enumerate}
\mht

\demo $\bullet$ Pour $a\in I$, c'est la caract\'erisation s\'equentielle de la continuit\'e~! Plus g\'en\'eralement, pour $a$ et $\ell$ finis, il suffit de recopier la caract\'erisation s\'equentielle de la continuit\'e (en rempla\c{c}ant $f(a)$ par $\ell$ si $a\notin I$).\\
$\bullet$ Restent 8 cas. \`A titre d'exercice, vous pouvez traiter l'un de ces huits cas pour voir ce qui change. Plus costaud, vous pouvez traiter directement la version unifi\'ee \`a l'aide des voisinages, en identifiant quelles propri\'et\'es des voisinages interviennent.
\cqfd

\smallskip

\rmq En utilisant la caract\'erisation s\'equentielle de la limite, on peut red\'emontrer les th\'eor\`emes pr\'ec\'edents (op\'erations alg\'ebriques, composition, TdG, et m\^eme TLM) plus facilement qu'\`a l'aide de la d\'efinition~!\\
\qmr

\exo En faire un ou deux.

\bigskip

En application, on peut adapter aux fonctions les th\'eor\`emes vus sur les suites. Par exemple, ce th\'eor\`eme essentiel~:
\smallskip

\thm[Stabilit\'e des in\'egalit\'es larges par passage \`a la limite]
Si $f\leq g$ au voisinage de $a$ et qu'on a $\tendvers{f}{a}{\ell_1}$ et $\tendvers{g}{a}{\ell_2}$ alors $\ell_1\leq \ell_2$.
\mht

On peut, bien s\^ur, \'enoncer une version plus g\'en\'erale avec des ferm\'es.

\end{document}
