\input{../.headers/cours.tex}


\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Familles remarquables d'un espace vectoriel\subline}}
\end{center}

\rmq
\paragraph{Pas un sev}
par exemple: $\R_{=n}[X] \cup \{0\} $ car $X^n - 1 - X^n \not\in \R_{=n}[X] \cup \{0\} $
\qmr


\rmq
\paragraph{Pas un sev}
par exemple: $\R_{=n}[X] \cup \{0\} $ car $X^n - 1 - X^n \not\in \R_{=n}[X] \cup \{0\} $
\qmr
\section{Familles et combinaisons lin\'eaires}
\subsection{Familles}
\Definition[Rappel]
Une famille $\fc=(v_i)_{i\in I}$ est la donn\'ee, pour tout \'el\'ement $i$ de l'ensemble d'indices $I$, d'un vecteur $v_i\in E$, \ie une application $\fc : I \too E$.${}^{{}^{{}^{{}^{{}^{}}}}}$
\FinDefinition
\subsection{Sous-familles}\label{SubsectionFamille}
\dfn[Sous-famille]\ \\[-0.4cm]
Soit $\fc$ une famille. On appelle \newdef{sous-famille} de $\fc=\left(v_i\right)_{i\in I}$ une famille obtenue en \og retirant certains vecteurs \`a $\fc$\fg, \cad une famille de la forme $\left(v_i\right)_{i\in J}$ avec $J\subset I$.
\nfd
\subsection{Combinaisons lin\'eaires}
\Definition[Rappel]\ \\[-0.4cm]
On appelle \newdef{combinaison lin\'eaire} des vecteurs d'une famille $\fc=\left(v_i\right)_{i\in I}$ toute expression de la forme suivante~: $\alpha_{1} v_{i_1}+\alpha_{2} v_{i_2}+\cdots+\alpha_{r} v_{i_r}$ o\`u les $\alpha_k$ sont des scalaires et les $i_k$ des \'el\'ements de $I$.
\FinDefinition
\rmq\ \\[-0.7cm]
Cons\'equence des deux identifications pr\'ec\'edentes~: une CL de $(v_1,\ldots,v_n)$ est toujours de la forme $\lambda_1v_1\!+\!\lambda_2v_2\!+\cdots+\!\lambda_nv_n$.
\qmr
\rmq\ \\[-0.65cm]
\`A toute partie $P\subset E$, on peut canoniquement 
associer une famille~:
 la famille $(v)_{v\in P}$. On %pourra
 peut donc sans difficult\'e
 parler de CL des vecteurs d'une partie de $E$. On retrouve alors la notion vue dans le chapitre pr\'ec\'edent. En particulier, on peut parler du sous-espace vectoriel engendr\'e par une famille.
\qmr
\section{Familles remarquables}
\subsection{Libert\'e}
\Definition %[Rappel]\ \\[-0.4cm]
\'Etant donn\'ee une famille $\fc$ de vecteurs de $E$, on appelle \newdef{CL triviale} des vecteurs de $\fc$ la CL obtenue en prenant tous les $\alpha_k$ nuls. La CL triviale est nulle, au sens o\`u elle s'\'evalue en $0_E$, le vecteur nul de $E$.
C'est une CL $(\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k)$ où $\begin{cases}
	(\alpha_i) \in \K \\
	(x_i) \in E
\end{cases}$
\FinDefinition
\Definition[Libert\'e]\ \\[-0.4cm]
Une famille est dite \newdef{libre} lorsque sa seule CL nulle est la CL triviale. Dans le cas contraire, elle est dite \newdef{li\'ee}.
\FinDefinition
\rmq
Pour tout $\begin{cases}
	(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \in \K^k \\
	(x_1, \ldots, x_k) \in E^k
\end{cases}$ tels que $\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k = 0$ alors $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_k = 0$
\paragraph{Pour montrer qu'une famille est liée}
$\exists (\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ non tous nuls, $\exists (x_1,\ldots,x_k)$ tel que 
\[
\alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_k x_k = 0
.\] 
\qmr
\rmq\ \\[-0.65cm]
Par d\'efinition, une sous-famille d'une famille libre est libre. En contraposant, on obtient que si $\fc$ a une sous-famille li\'ee, alors $\fc$ est li\'ee. Par contre, une sous-famille d'une famille li\'ee peut tr\`es bien \^etre libre.

Soient $(j_1, \ldots, j_k) \in J$.
Soient $(\alpha_1, \ldots, \alpha_k) \in \K^k$ et $(x_{j_1}, \ldots, x_{j_k}) \in E^k$
tels que $\alpha_1, x_{j_1} + \cdots + \alpha_k x_{j_k} = 0$.

On a $J \subset I$, donc $(j_1, \ldots, j_k) \subset I$.
Comme $(x_k)_{k\in I}$ est libre.

Donc $\alpha_1 = \cdots = \alpha_k = 0$ Donc $(x_k)_{k\in J}$ est libre.

\attention{Une surfamille d'une famille liée est liée {\bf mais} une sous-famille d'une famille liée peut être libre!}

Par exemple, $(e_1, e_2, e_3)$ est libre mais $(e_1, e_2, e_2, e_1)$ est liée
\qmr
\rmq\ \\[-0.65cm]
La libert\'e est une notion intrins\`eque, elle ne d\'epend pas de $E$.\\
Par exemple, la famille $\big(f_\lambda\big)_{\lambda\in\R}$ est aussi libre vue comme famille de vecteurs de $\R^\R$.
\qmr
\Definition\ \\[-0.4cm]
On dit que deux vecteurs $u$ et $v$ de $E$ sont \newdef{colin\'eaires}, et on note $u \sslash v$, lorsqu'on a~:\\ $\exists k\in\K, u=k v$ ou $\exists k\in\K, v=k u$.
\FinDefinition
\rmq\label{Liberte012}\ \\[-1.2cm]
\begin{enumerate}
\item[0.] La famille $\emptyset$ est libre. \trivial
\item[1.] Pour $u\in E$, la famille $(u)$ est libre \ssi on a $u\neq 0_E$.
\item[2.] Pour $(u,v)\in E^2$, la famille $(u,v)$ est libre \ssi $u$ et $v$ sont non colin\'eaires.
\end{enumerate}
\qmr
\subsection{Caract\`ere g\'en\'erateur}
\Definition\ \\[-0.4cm]
Une famille $\fc$ de vecteurs de $E$ est dite \newdef{g\'en\'eratrice} de $E$ lorsque tout vecteur de $E$ peut s'\'ecrire comme CL des vecteurs de $\fc$.
\FinDefinition
\rmq\ \\[-0.65cm]
La notion de famille g\'en\'eratrice n'est pas une notion intrins\`eque, elle d\'epend de $E$.\\
Plus pr\'ecis\'ement, \og $\fc$ est g\'en\'eratrice de $E$\fg{} peut se reformuler \og$E=\Vect{\fc}$\fg. En particulier, toute famille $\fc$ est toujours g\'en\'eratrice d'un $\K$-ev~: le $\K$-ev $\Vect{\fc}$~!
\qmr
\rmq
Toute famille $\fc$ est génératrice de $\Vect \fc$
\qmr
\subsection{Bases}
\Definition\ \\[-0.4cm]
On dit d'une famille $\bc$ de vecteurs de $E$ que c'est une \newdef{base de $E$} lorsque tout vecteur de $E$ peut s'\'ecrire de fa\c{c}on unique comme CL des vecteurs de $\bc$.
\FinDefinition
\Proposition[Reformulation de la d\'efinition]\ \\[-0.4cm]
Une famille $\bc$ de vecteurs de $E$ est une base \ssi elle est libre et g\'en\'eratrice de $E$.
\FinProposition
\Definition[(informelle)]\ \\[-0.35cm]
Lorsqu'un espace vectoriel $E$ est livr\'e en kit avec une base, c'est-\`a-dire lorsque les vecteurs de cet espace sont, par d\'efinition, des CL uniques des vecteurs d'une famille $\cc$, cette famille est une base de $E$ et on l'appelle la \newdef{base canonique} de $E$.
\FinDefinition
\rmq
$((1, 0, \ldots, 0, \ldots), (0, 1, 0, \ldots), \ldots)$ est une base de l'espace vectoriel des suites de la forme $(u_0, u_1, u_2, \ldots, u_n, 0, 0, 0, \ldots)$ ie $\{\text{suites qui stationnent sur 0}\} $
\qmr
\rmq
\`A l'aide de la remarque \ref{Liberte012}, on peut reformuler la d\'efinition 5 du chapitre pr\'ec\'edent~:
\begin{enumerate}
\item Une \newdef{droite (vectorielle)} est un sev de $E$ ayant une base form\'ee d'un seul vecteur.
\item Un \newdef{plan (vectoriel)} est un sev de $E$ ayant une base form\'ee de deux vecteurs.
\end{enumerate}
\qmr
\subsection{Bases adapt\'ees}
\Definition
\'Etant donn\'ees deux familles $\fc=(u_i)_{i\in I}$ et $\gc=(v_j)_{j\in J}$, on notera (notation maison) $\fc \sqcup \gc$ la famille obtenue en concat\'enant $\fc$ et $\gc$, qu'on peut, par exemple, formellement d\'efinir par $\fc \sqcup \gc = (w_k)_{k\in K}$ o\`u $K=I\times\{0\}\cup J\times\{1\}$ et $w_k=\lect{u_i \text{ si $k$ est de la forme $(i,0)$}\\v_j \text{ si $k$ est de la forme $(j,1)$.}}$
\FinDefinition
\end{document}
