\input{../.headers/cours.tex}
\newcommand{\Vetct}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\card}{\mathrm{card}}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Familles en dimension finie\subline}}
\end{center}

Dans tout le chapitre, $\K$ est un sous-corps de $\C$, et $E$ d\'esigne un $\K$-espace vectoriel.\\

\textsc{N.B.}~: le fait que $\K$ soit un corps est essentiel. On verra dans la suite que c'est toujours la m\^eme propri\'et\'e qui assure la plupart des r\'esultats, \`a savoir~: \textbf{on peut diviser par un scalaire non nul}.\subline


\newcommand{\Vetct}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\card}{\mathrm{card}}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}
\section{Espaces vectoriels de dimension finie}
\subsection{Extension et r\'eduction}
\Lemme[Principe de r\'eduction d'une famille g\'en\'eratrice]
Soit $\gc \sqcup (u)$ une famille g\'en\'eratrice de $E$. Si $u\in  \Vect{\gc}$, alors la sous-famille $\gc$ est g\'en\'eratrice de $E$.
\FinLemme
\Lemme[Principe d'extension d'une famille libre]
Soit $\lc$ une famille libre de $E$ et $u\in E$. Si $u\not\in\Vect{\lc}$ alors la famille $\lc \sqcup (u)$ est libre.
\FinLemme
\rmq On retrouve un cas particulier du th\'eor\`eme sur les bases adapt\'ees.
\qmr
\subsection{D\'efinition -- exemples}
\Definition
L'espace vectoriel $E$ est dit \newdef{de dimension finie} lorsqu'il admet une famille g\'en\'eratrice finie. Sinon, il est dit de \newdef{dimension infinie}.
\FinDefinition
\rmq
Si $E$ est un espace de dimension finie, il n'y a pas en g\'en\'eral unicit\'e d'une famille g\'en\'eratrice engendrant $E$. Par exemple, que les familles $\big(\ch,\sh\big)$ et $\big(\exp,t\mapsto\e^{-t}\big)$ engendrent le m\^eme espace vectoriel.
\qmr
\subsection{Existence de bases}
\Theoreme[de la base extraite]\index{th\'eor\`eme!de la base extraite}
On suppose que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $\gc$ une famille g\'en\'eratrice finie de E. Alors~:
\begin{enumerate}
\item $E$ a une base finie~:
\item toute sous-famille g\'en\'eratrice minimale de $\gc$ et toute sous-famille libre maximale de $\gc$ est\,une\,base\,de\,$E$.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\Theoreme[de la base incompl\`ete]
Soient $\lc$ une famille libre et $\gc=(v_1,\hdots,v_m)$ une famille g\'en\'eratrice de $E$. 
Alors on peut choisir certains vecteurs $v_{i_1},\hdots,v_{i_r}$ de $\gc$ de sorte que la famille $\lc \sqcup (v_{i_1},\hdots,v_{i_r})$ soit une base de $E$.
\FinTheoreme
\rmq\ \\[-0.75cm] Ce th\'eor\`eme indique qu'en dimension finie les familles libres sont des \og bases incompl\`etes\fg, \ie qu'on peut obtenir des bases en leur rajoutant convenablement des vecteurs (et de plus ces vecteurs peuvent \^etre choisis dans n'importe quelle famille g\'en\'eratrice de $E$).
\qmr
\subsection{Dimension}
\lem[Lemme d'\'echange (version simplifi\'ee).]
Supposons que $E$ soit de dimension finie. Soit $\bc_1=(u_i)_{i\in I}$ une base de $E$ et $\bc_2=(\eps_j)_{j\in \{1,\ldots,s\}}$ une base finie de $E$. Alors~:
$$\forall i_0\in I,\ \exists j_0\in \{1,\ldots,s\},\ (u_i)_{i\in I\setminus\{i_0\}} \sqcup (\eps_{j_0}) \text{ est une base de }E.$$
Autrement dit~: {\bf tout vecteur de $\pmb{\bc_1}$ peut \^etre \'echang\'e contre un vecteur de $\pmb{\bc_2}$}, si celui-ci est bien choisi, la famille obtenue restera une base.
\mel
\thm
Supposons $E$ de dimension finie. Alors toutes les bases de $E$ sont finies et de m\^eme cardinal.
\mht
\dfn
Si $E$ est de dimension finie, on appelle \newdef{dimension de $E$} et on note  $\dim(E)$ le cardinal d'une base de $E$.\\[0.15cm]
Si $E$ n'est pas de dimension finie, on dit qu'il est de dimension infinie et non note $\dim(E)=+\infty$.
\nfd
\rmq~\\[-1.2cm]\phantom{{\bf Remarque 3~}} On peut noter $\dim_\K(E)$ pour bien insister sur le fait que le corps de base est $\K$.
\qmr
\subsection{Morphisme de d\'ecomposition dans une base}
\Definition
Supposons que $E$ est de dimension finie $n$ et consid\'erons $\bc=(\eps_1,\hdots,\eps_n)$ une base de $E$. Pour tout vecteur $u\in E$, on appelle \newdef{d\'ecomposition de $u$ dans la base $\bc$} et on note $\decomp{u}{\!\!\!\!\bc}$ l'unique $n$-uplet $\vect{\lambda_1\\\vdots\\\lambda_n}\in\K^n$ tel qu'on ait $u=\lambda_1\eps_1+\cdots+\lambda_n\eps_n$.
\FinDefinition
\Proposition[Morphisme de d\'ecomposition]\label{IsomorphismeDeDecomposition}
Soient $E$ un $\K$\nobreakdash-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $\bc=(\eps_1,\hdots,\eps_n)$ une base de $E$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item L'application ${\footnotesize \defapp{E}{\K^n}{u}{\decomp{u}{\!\!\!\!\bc}}}$ de d\'ecomposition dans $\bc$ est bijective.
\item L'application ${\footnotesize \defapp{E}{\K^n}{u}{\decomp{u}{\!\!\!\!\bc}}}$ est lin\'eaire, \cad~:\\
$\forall (u,v)\in E^2,\ \forall (\lambda,\mu)\in\K^2,\ \decomp{\left(\lambda u+\mu v\right)}{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\bc}\phantom{est}=\lambda\cdot\decomp{u}{\!\!\!\!\bc}+\mu\cdot\decomp{v}{\!\!\!\!\bc}$.
\end{enumerate}
\FinProposition
\section{Applications du TBE et du TBI}
\subsection{Cardinal d'une famille en dimension $\pmb{n}$}
\lem\label{FamillesEnDimensionFinie}
Supposons que $E$ est un $\K$\nobreakdash-espace vectoriel de dimension finie $n$.
\begin{enumerate}
\item Toute famille g\'en\'eratrice de $E$ poss\`ede au moins $n$ \'el\'ements.
\item Toute famille libre de $E$ poss\`ede au plus $n$ \'el\'ements.
\end{enumerate}
\mel
\Corollaire
S'il existe une famille libre infinie de vecteurs de $E$, alors $\dim(E)=+\infty$.
\FinCorollaire
\thm
On contrapose le lemme \ref{FamillesEnDimensionFinie}-2 : si $\dim(E)=n$, toute famille de $n+1$ vecteurs (ou plus) est li\'ee.
\mht
\Theoreme
Supposons que $E$ est un $\K$\nobreakdash-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $\fc$ une famille \`a $n$ \'el\'ements de $E$. Alors les trois propositions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{enumerate}[i.]
\item $\fc$ est libre.
\item $\fc$ est g\'en\'eratrice.
\item $\fc$ est une base.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\subsection{Rang d'une famille de vecteurs}
\Definition
Soit $\fc$ une famille finie de vecteurs de $E$. On appelle \newdef{rang de $\fc$} et on note $\rg(\fc)$ la dimension de $\Vect{\fc}$.
\[
	\rg := \dim \circ \operatorname{Vect}
\] 
\FinDefinition
\rmq Le TBE se reformule comme suit~: le rang de $\fc$ est le cardinal maximal d'une sous-famille libre de $\fc$. 
\qmr
\Definition[Op\'erations \'el\'ementaires sur une famille de vecteurs]
Soit $\fc=(u_{1},\hdots,u_{m})$ une famille finie de vecteurs de $E$.\\
On appelle \newdef{op\'erations \'el\'ementaires} sur les vecteurs de la famille $\fc$ les op\'erations suivantes :
\begin{enumerate}
\item \'Echanger deux vecteurs de la famille.
\item Ajouter \`a un vecteur $u_{i}$ de $\fc$ un multiple d'un autre vecteur $u_{j}$ de $\fc$.
\item Multiplier un vecteur $u_{i}$ de $\fc$ par une constante non nulle.
\end{enumerate}
\FinDefinition
\Proposition Soit $\fc=(u_{1},\hdots,u_{m})$ une famille finie de vecteurs de $E$. Toute famille $\gc$ obtenue \`a partir de $\fc$ par op\'erations \'el\'ementaires, et en enlevant le vecteur nul lorsqu'il se pr\'esente, a le m\^eme rang que $\fc$.
\FinProposition
\subsection{Lien avec le rang d'une matrice}
\rmq\ \\[-1.2cm]\phantom{{\bf Remarque 6\,}}:~ {\bf Cas $\pmb{E=\K^p}$.}\\
Si $E=\K^p$ alors le rang de la famille $(u_1,\ldots,u_q)$ est le rang (par colonnes) de la matrice $\Bigg(\decomp{u_1}{}\cdots\decomp{u_q}{}\Bigg)\in\mpqk$.\\
C'est un corollaire imm\'ediat de la proposition pr\'ec\'edente.%\\[0.2cm]
\qmr
\rmq\ \\[-1.2cm]\phantom{{\bf Remarque 6\,}}:~ {\bf Cas g\'en\'eral.}\\[0.1cm]
Si $\dim(E)=p$ et que $\bc$ est une base {\bf quelconque} de $E$ alors le rang de la famille $(u_1,\ldots,u_q)$ est le rang (par colonnes) de la matrice $\Bigg(\decomp{u_1}{\!\!\!\!\bc}\cdots\decomp{u_q}{\!\!\!\!\bc}\Bigg)$.%\\[0.35cm]
\qmr
\dfn
Supposons que $E$ soit de dimension finie $p$. Soit $\bc$ une base de $E$. Soit $\fc=(u_1,\ldots,u_q)$ une famille finie de vecteurs de $E$. On appelle \newdef{matrice de $\fc$ dans $\bc$} la matrice $\Bigg(\decomp{u_1}{\!\!\!\!\bc}\cdots\decomp{u_q}{\!\!\!\!\bc}\Bigg)$.
\nfd
\section{Applications}
\subsection{Suites r\'ecurrentes lin\'eaires doubles}\label{SRLDcc}
\nota Dans la suite, pour $(a,b)\in\K^2$, on note $\sc_{a,b} = \bigg\{ \big(u_n\big)_{n\in\N}\in\K^\N,\ \forall n\in \N,\ u_{n+2}=au_{n+1}+bu_{n}\bigg\}$.\\
(Notation maison et conjoncturelle, c'est juste pour ne pas le r\'e\'ecrire \`a chaque fois.)
\aton
\Proposition
Soit $(a,b)\in \K^2$. Alors $\sc_{a,b}$ est un plan vectoriel.
\FinProposition
\Definition
On appelle \newdef{polyn\^ome caract\'eristique} d'une suite de $\sc_{a,b}$ 
le polyn\^ome $P_{a,b}=X^2-aX-b$.
\FinDefinition
\Theoreme[Cas de deux racines.]\label{SuitesRecurrentesDeux racines}
Si on a $\Delta \neq 0$ alors, en notant $r_{1}$ et $r_{2}$ les deux racines distinctes dans $\K$ de $P_{a,b}$, on a\\[-0.25cm] $$\sc_{a,b}=\left\{\Big(\lambda\, r_1^n\,+\,\mu\, r_2^n\Big)_{n\in\N},\ \mvect{\lambda\\\mu}\in\K^2\right\}.$$
\FinTheoreme
\Theoreme[Cas d'une racine double.]\label{SuitesRecurrentesUneRacine}
Si on a $\Delta=0$ alors, en notant $r_0$ l'unique racine double de $P_{a,b}$, on a~:\\[-0.25cm] $$\sc_{a,b}=\left\{\Big(\lambda\, r_0^n\,+\,\mu\, n\,r_0^{n-1}\Big)_{n\in\N},\ \mvect{\lambda\\\mu}\in\K^2\right\}$$\\[-0.35cm]
(en convenant que le premier terme de la suite $\Big(n\, r^{n-1}\Big)_{n\in\N}$ est nul, y compris pour $r=0$).\\
\FinTheoreme
\Theoreme[Cas sans racine.]\label{SuitesRecurrentesDoublesSansRacine}
{\bf On suppose ici $\pmb{\K=\R}$.}\\[0.1cm]
Si on a $\Delta<0$ alors, en notant $r\e^{\i\theta}$ et $r\e^{-\i\theta}$ les deux racines complexes conjugu\'ees de $P_{a,b}$, on a~:\\[-0.35cm]
$$\sc_{a,b}=\left\{\Big( r^n\big(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta)\big)\Big)_{n\in\N},\ \mvect{\lambda\\\mu}\in\K^2\right\}$$
\FinTheoreme
\subsection{Polyn\^omes de Lagrange}
\thd
La famille $\lc=(L_0,\ldots,L_n)$ est une base de $\K_n[X]$. 
On l'appelle \newdef{base de Lagrange} associ\'ee \`a $a_0,\ldots,a_n$.\\[0.1cm]
Les polyn\^omes $L_0$, $\ldots$, $L_n$ s'appellent les \newdef{polyn\^omes de Lagrange} associ\'es \`a $a_0,\ldots,a_n$.\subline
\dht
\rmq\ \\[-0.85cm]
D\'ecomposer dans la base de Lagrange est trop simple~! En effet, pour tout polyn\^ome $P\in\K_n[X]$ on a $\decomp{P}{\!\!\!\!\lc} = \mvect{P(a_0)\\P(a_1)\\\vdots\\P(a_n)}$.
\qmr
\rmq\ \\[-1.25cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'approximation lagrangienne est donc concurrente de l'approximation taylorienne. Elle est localement moins pr\'ecise mais permet de contr\^oler l'erreur globale.
\item L'approximation lagrangienne donne naturellement lieu a des m\'ethodes d'int\'egration num\'erique (le cas $n=0$ correspond \`a la m\'ethode des rectangles et le cas $n=1$ \`a la m\'ethode des trap\`ezes).\\
\end{enumerate}
\qmr
\subsection{Base de Taylor}
\thm
Soit $a\in \K$.

\[
	(1, X-a, (X-a)^2, \ldots, (X-a)^n) =: \mathcal{T}
\] 

est une base de $\K_n[X]$. \\
\mht
\rmq
C'est un corollaire du TRI\footnote{Taylor avec reste intégral}.

En effet c'est libre et pour tout polynôme $P \in \R_n[X]$, en notant $f = x\mapsto P(x)$

On a 


\begin{align*}
	\forall x\in \R, f(x) - T_n(x) &= \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t) \dt \\
	&= 0 \\
\end{align*}

car $f\in \cc^{n+1}([a, x], \R)$

Donc $\forall x\in \R, f(x) = f(a)+f'(a)(x-a) + \cdots + f^{(n)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ 

Donc 

\begin{align*}
	P = f(a) + f'(a)(X-a) + \cdots + \frac{f^{(n)(a)}}{n!}(X-a)^n
\end{align*}

Donc la famille est génératrice.

Or elle a le bon nombre de vecteurs, donc c'est une base et 

\begin{align*}
	\decomp{P}{\mathcal{T}} &= \begin{pmatrix} f(a) \\ f'(a) \\ \frac{1}{2}  f''(a) \\ \vdots \\ \frac{1}{n!} f^{(n)}(a) \end{pmatrix}  \\
\end{align*}
\qmr
\end{document}
