\input{../.headers/cours.tex}

\baselineskip15pt

\begin{center}


\includegraphics[width=14cm]{./purity.png}

\vspace{2cm}

\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Espaces et sous-espaces vectoriels\subline}}
\end{center}



\begin{center}
On connaît moults $\R$-espaces vectoriels~:
\end{center}
\begin{tabular*}{8cm}{r|l}
\begin{minipage}{4cm}
	$(\mc_{p,q}(\R), +, \cdot )$ \\
	$(\R^n, +, \cdot )$ \\
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
	$(\R[i], +,\cdot ) = (\C, +,\cdot )$
	$(\R[\sqrt{2}], +,\cdot ) = (\R, +,\cdot )$
	$(\R_n[X], +,\cdot )$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{4cm}
	$(\fc(I, \R), +,\cdot )$ \\
	$(\cc(I, \R), +,\cdot )$ \\
	$(\R[X], +, \cdot )$ \\
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
	$(DL_n(0), +,\cdot )$ \\
	$(\R^\N, +,\cdot )$
\end{minipage}
\end{tabular*}\\[0.1cm]
L'objectif~: identifier une banque de théorèmes qui s'appliquent (entre autres) \`a {\bf tous} les exemples précédents.\\

Dans toute la suite on fixe un sous-corps $\K$ de $\C$ (mais en vrai on ne regardera que $\K=\R$ ou $\C$ -- très\,éventuellement\,$\Q$).\\

Dans toute la suite, $(E,+,\cdot)$ désignera un \newdef{$\K$-espace vectoriel} (en abrégé $\K$-ev, c'est pas de moi). Rappel~: cela signifie\\[-0.3cm]
\begin{enumerate}[i/]
\item $(E, +)$ est un groupe \emph{commutatif} 
\item $\cdot $ est compatible avec $\times_\K$ et $1_\K$
\item $\cdot $ est distributive sur $+$
\end{enumerate}
Dans ce contexte, les éléments de $E$ sont appelés des {\bf vecteurs} et les éléments de $\K$ des {\bf scalaires}.\\

{\bf À comprendre tout de suite~:}
\begin{itemize}
\item Les trois opérations structurelles d'un $\K$-ev sont %donc
 le vecteur nul, l'addition des vecteurs  et la multiplication externe.
\item On voit tout de suite qu'on peut combiner les deux dernières opérations avec la notion de {\bf combinaison linéaire de deux vecteurs}. Une combinaison linéaire de deux vecteurs est une expression de la forme $\lambda u + \mu v$, o\`u $\lambda, \mu$ sont des scalaires et $u, v$ sont des vecteurs.
\item Plus généralement, on voit qu'on peut combiner les trois opérations avec la notion de {\bf combinaison linéaire}% générale
. Une combinaison linéaire est %plus généralement
 une expression de la forme $\dsp{\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i u_i}$ o\`u $r$ est un entier naturel, les $\lambda_i$ des scalaires et les $u_i$ des vecteurs.
\end{itemize}
On notera en abrégé \og CL\fg{} pour \og combinaison linéaire\fg{} (ce n'est pas de moi non plus).%\\

\smallskip


\section{Sous-espaces vectoriels}
\subsection{Caractérisations équivalentes}
\Definition %[Rappel]\ \\[-0.4cm]
On appelle \newdef{sous-espace vectoriel} de $(E,+,\cdot)$ (en abrégé \og sev\fg, toujours pas de moi) un ensemble $F$ inclus dans $E$ stable pour la structure d'espace vectoriel de $E$, \cad tel que~:\ \\[-0.5cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0_E\in F$,
\item $\forall (x,y) \in F^2,\ x+y\in F$,
\item $\forall x \in F,\ \forall \lambda \in \K,\ \lambda x \in F$.
\end{enumerate}
\FinDefinition
\thm[Utile à la \emph{démonstration}]\ \\[-0.4cm]
Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,\cdot)$ si et seulement s'il est non vide et stable par combinaisons linéaires de deux vecteurs, \cad $F\neq\emptyset \text{ et }\forall (\lambda,\mu)\in\K^2,\ \forall (x,y)\in F^2,\ \lambda x+\mu y \in F$.
\mht
\thm[Utile à l'\emph{exploitation} ]\ \\[-0.4cm]
Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,\cdot)$ si et seulement s'il est stable par combinaisons linéaires quelconques, \cad \ssi on a~:\ \\[-0.3cm]
$$\forall r\in\nobreak\N,\ \forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\in\K^r,\ \forall (u_1,\ldots,u_r)\in F^r,\ \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_r u_r \in F.$$
\mht
\subsection{Exemples et contre-exemples}
\rmq
Quand un pertie $F$ de $E$ est définie par un système d'équations linéaires \emph{homogènes}, c'est toujours un sev.
\qmr
\rmq
Quand on a une partie $F$ de $E$ définie par paramétrage linéaire, c'est toujours un sev de $E$.
\qmr
\subsection{Structure d'espace vectoriel}
\Theoreme %[Rappel]
Si $F$ est un sev de $E$, alors les lois de $E$ induisent des lois sur $F$, et $F$, muni des lois induites, forme un $\K$\nobreakdash-ev.
\FinTheoreme
\section{Opérations sur les sevs}
\subsection{Intersection de sevs}
\thm
Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sevs de $E$. Alors $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ est un sev de $E$.
\mht
\rmq
Ça marche pas pour $\cup $: Pour l'espace vectoriel $(\R^2, +,\cdot )$:

\[
	\left( \left\{\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix}, y\in R \right\} \cup \left\{\begin{pmatrix} x\\0, x\in R \end{pmatrix} \right\} , +,\cdot \right)
\] 

N'est pas un sev: par exemple, il est pas stable par somme.
\qmr
\subsection{Sommes de \sevs}
\Definition
Pour $n$ un entier naturel et $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$ des \sevs de $E$, on appelle \newdef{somme de $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$} l'ensemble $F_1+F_2+\cdots+F_n=\{u_1+u_2+\cdots+u_n,\ u_1\in F_1,\ u_2\in F_2,\ \hdots, u_n\in F_n\}$.
\FinDefinition
\thm
Pour $n$ un entier naturel et $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$ des sevs de $E$, $F_1+F_2+\cdots+F_n$ est un sev de $E$.
\mht
\rmq\ \\[-1.225cm] \phantom{\textbf{Remarque 1~:}} La somme des sevs est~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Idempotente~: pour tout sev $F$ de $E$, on a $F+F=F$~;
\item Commutative~: pour tous sevs $F$ et $G$ de $E$, on a $F+G=G+F$~;
\item Associative~: pour tous sevs $F$, $G$ et $H$ de $E$, on a $(F+G)+H=F+(G+H)=F+G+H$~;
\item Admet pour élément neutre le sous-espace nul~: pour tout sev $F$ de $E$, on a $F+\{0_E\}=\{0_E\}+F=F$.
\end{enumerate}
\qmr
\rmq
$(Ox)+(Oy)=F$
\qmr
\subsection{Sommes directes}
\Definition
Une somme $F=F_1+F_2+\cdots+F_n$ est dite \newdef{directe} lorsque tout vecteur $u$ de $F$ s'écrit {\bf de\,fa\c{c}on\,unique} sous\,la\,forme $u=u_1\!+u_2+\cdots+u_n$ o\`u\,l'on\,a $\forall i\in\{1,\ldots,n\},\ u_i\in F_i$. On note alors $F=F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_n$.
\FinDefinition
\rmq
Une somme de {\bf 2} sevs (et pas plus) et directe ssi leur intersection est le sev nul.
\qmr
\thm
Une somme $F=F_1+F_2+\cdots+F_n$ est dite directe \ssi l'unique décomposition du vecteur nul dans la somme est $0_E=0_{F_1}+\cdots+0_{F_n}$.
\mht
\subsection{Supplémentaires}
\Definition\index{sous-espaces vectoriels!supplémentaires}
Deux \sevs $F$ et $G$ de $E$ sont dit \newdef{supplémentaires} lorsqu'on a $F\oplus G=E$.
\FinDefinition
\Proposition[Caractérisation de supplémentarité]
Deux sevs $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires \ssi $\lect{F+G=E\\F\cap G=\{0_E\}}$.
\FinProposition
\section{D'autres méthodes pour obtenir des $\K$-evs}
\subsection{Produits de $\K$-espaces vectoriels}
\thm[Produit de $\K$-ev]\ \\[-0.4cm]
Soient $n\in\N$ et $E_1$, $E_2$, $\hdots$, $E_n$ des $\K$\nobreakdash-espaces vectoriels. L'ensemble $E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n$ est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel donnée par les opérations composante par composante~:\ \\[-0.5cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0_{E_1\times\cdots\times E_n}=(0_{E_1},\hdots,0_{E_n})$~;
\item $\forall (u_1,\hdots,u_n), (v_1,\hdots,v_n)\in E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n,\ (u_1,\hdots,u_n)+(v_1,\hdots,v_n)=(u_1+v_1,\hdots,u_n+v_n)$~;
\item $\forall \lambda\in\K,\ \forall (u_1,\hdots,u_n)\in E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n,\ \lambda\cdot(u_1,\hdots,u_n)=(\lambda u_1,\hdots,\lambda u_n)$.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Espaces vectoriels engendrés}
\Lemme[CL de CL]\label{CLdeCL}
Soit $(E,+,\cdot)$ un $\K$-ev et $P\subset E$. Si un vecteur $u$ de $E$ peut s'obtenir comme CL de vecteurs pouvant eux-m\^eme s'obtenir comme CL de vecteurs de $P$, alors $u$ est lui-m\^eme une CL de vecteurs de $P$.
\FinLemme
\Proposition[Propriétés fondamentales de $\mathrm{Vect}$]\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
	\item $\mathrm{Vect}$ est extensive, \cad~: $\forall P\subset E,\ \Vect{P} \supset P$
	\item $\mathrm{Vect}$ est croissante pour l'inclusion, \cad~:$\forall P, Q \subset E,\ Q \subset E, P \subset Q \implies \Vect{P} \subset \Vect{Q}$
\item $\mathrm{Vect}$ est idempotente, \cad~: $\text{Vect}\circ\text{Vect}=\text{Vect}$
\end{enumerate}
\FinProposition
\rmq
Pour $P\subset E$, $P=\Vect{P}\ \Leftrightarrow$ $P$ est un sev
\qmr
\subsection{$\K$-evs et sevs remarquables}
\dfn\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
\item On appelle \newdef{droite (vectorielle)} un sev de $E$ de la forme $\Vect{u}$ avec $u\neq 0_E$. %Autrement dit, une droite a une base formée d'un seul vecteur.
\item On appelle \newdef{plan (vectoriel)} un sev de $E$ de la forme $\Vect{u,v}$ avec $u$ et $v$ non colinéaires, \cad tel qu'aucun des deux n'est un multiple de l'autre. %Autrement dit, un plan a une base formée de deux vecteurs.
\end{enumerate}
\nfd
\Definition
On appelle \newdef{hyperplan de $E$} un sev de $E$ dont un supplémentaire est une droite.
\FinDefinition
\end{document}
