\input{../.headers/cours.tex}

\baselineskip15pt

\begin{center}


\includegraphics[width=14cm]{./purity.png}

\vspace{2cm}

\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Espaces et sous-espaces vectoriels\subline}}
\end{center}



\begin{center}
On connaît moults $\R$-espaces vectoriels~:
\end{center}
\begin{tabular*}{8cm}{r|l}
\begin{minipage}{4cm}
	$(\mc_{p,q}(\R), +, \cdot )$ \\
	$(\R^n, +, \cdot )$ \\
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
	$(\R[i], +,\cdot ) = (\C, +,\cdot )$
	$(\R[\sqrt{2}], +,\cdot ) = (\R, +,\cdot )$
	$(\R_n[X], +,\cdot )$
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{4cm}
	$(\fc(I, \R), +,\cdot )$ \\
	$(\cc(I, \R), +,\cdot )$ \\
	$(\R[X], +, \cdot )$ \\
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
	$(DL_n(0), +,\cdot )$ \\
	$(\R^\N, +,\cdot )$
\end{minipage}
\end{tabular*}\\[0.1cm]
L'objectif~: identifier une banque de théorèmes qui s'appliquent (entre autres) \`a {\bf tous} les exemples précédents.\\

Dans toute la suite on fixe un sous-corps $\K$ de $\C$ (mais en vrai on ne regardera que $\K=\R$ ou $\C$ -- très\,éventuellement\,$\Q$).\\

Dans toute la suite, $(E,+,\cdot)$ désignera un \newdef{$\K$-espace vectoriel} (en abrégé $\K$-ev, c'est pas de moi). Rappel~: cela signifie\\[-0.3cm]
\begin{enumerate}[i/]
\item $(E, +)$ est un groupe \emph{commutatif} 
\item $\cdot $ est compatible avec $\times_\K$ et $1_\K$
\item $\cdot $ est distributive sur $+$
\end{enumerate}
Dans ce contexte, les éléments de $E$ sont appelés des {\bf vecteurs} et les éléments de $\K$ des {\bf scalaires}.\\

{\bf À comprendre tout de suite~:}
\begin{itemize}
\item Les trois opérations structurelles d'un $\K$-ev sont %donc
 le vecteur nul, l'addition des vecteurs  et la multiplication externe.
\item On voit tout de suite qu'on peut combiner les deux dernières opérations avec la notion de {\bf combinaison linéaire de deux vecteurs}. Une combinaison linéaire de deux vecteurs est une expression de la forme $\lambda u + \mu v$, o\`u $\lambda, \mu$ sont des scalaires et $u, v$ sont des vecteurs.
\item Plus généralement, on voit qu'on peut combiner les trois opérations avec la notion de {\bf combinaison linéaire}% générale
. Une combinaison linéaire est %plus généralement
 une expression de la forme $\dsp{\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i u_i}$ o\`u $r$ est un entier naturel, les $\lambda_i$ des scalaires et les $u_i$ des vecteurs.
\end{itemize}
On notera en abrégé \og CL\fg{} pour \og combinaison linéaire\fg{} (ce n'est pas de moi non plus).%\\

%Dans ce premier chapitre, on va se concentrer sur les {\bf opérations} que l'on peut effectuer sur les $\K$-espaces vectoriels.
\smallskip


\section{Sous-espaces vectoriels}


\subsection{Caractérisations équivalentes}

\Definition %[Rappel]\ \\[-0.4cm]
On appelle \newdef{sous-espace vectoriel} de $(E,+,\cdot)$ (en abrégé \og sev\fg, toujours pas de moi) un ensemble $F$ inclus dans $E$ stable pour la structure d'espace vectoriel de $E$, \cad tel que~:\ \\[-0.5cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0_E\in F$,
\item $\forall (x,y) \in F^2,\ x+y\in F$,
\item $\forall x \in F,\ \forall \lambda \in \K,\ \lambda x \in F$.
\end{enumerate}
\FinDefinition

On a vu que les opérations \og addition\fg{} et \og multiplication externe\fg peuvent se synthétiser par l'opération \og combinaison linéaire de deux vecteurs\fg. Cela donne immédiatement la caractérisation équivalente suivante.

\thm[Utile à la \emph{démonstration}]\ \\[-0.4cm]
Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,\cdot)$ si et seulement s'il est non vide et stable par combinaisons linéaires de deux vecteurs, \cad $F\neq\emptyset \text{ et }\forall (\lambda,\mu)\in\K^2,\ \forall (x,y)\in F^2,\ \lambda x+\mu y \in F$.
\mht

\demo 
Soit $F\subset E$. Raisonnons par double implication.\\
\fbox{$\Rightarrow$} Supposons que $F$ soit un \sev de $E$.\\
Alors $0_E\in F$ donc $F$ est non vide. Soient $(\lambda,\mu)\in\K^2$ et $(x,y)\in F^2$. Comme $F$ est un sous-espace vectoriel, il est stable par multiplication externe, on a donc $\lambda x \in F$ et $\mu y \in F$. Comme $F$ est un sous-espace vectoriel, il est stable par somme, on a donc $\lambda x +\mu y \in F$.\\
\fbox{$\Leftarrow$} Supposons avoir $F$ non vide et stable par CL de deux vecteurs. %La partie
 $F$ étant non vide, il existe un élément $x_0\in F$.
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item Comme $F$ est stable par CL, on a $0_E=1 x_0 + (-1)x_0 \in F$.
\item Soient $x\in F$ et $y\in F$. Par stabilité par CL, on a $\forall (\lambda,\mu)\in\K^2,\ \lambda x+\mu y \in F$. Pour $\lambda=\mu=1$, on obtient $x+y\in F$. On a donc bien la stabilité par somme de $F$.
\item Soient $x\in F$ et $\lambda\in F$. Par stabilité par CL, on a $\forall (y,\mu)\in F\times\K,\ \lambda x+\mu y \in F$. Pour $y=x_0$ et $\mu=0_E$, on obtient $\lambda x\in F$. On a donc bien la stabilité par multiplication externe de $F$.
\end{itemize}\ \\[-1cm]
\cqfd


On a vu que les trois opérations structurelles peuvent se synthétiser par l'opération \og combinaison linéaire\fg. Cela donne immédiatement la caractérisation équivalente suivante.

\thm[Utile à l'\emph{exploitation} ]\ \\[-0.4cm]
Un sous-ensemble $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $(E,+,\cdot)$ si et seulement s'il est stable par combinaisons linéaires quelconques, \cad \ssi on a~:\ \\[-0.3cm]
$$\forall r\in\nobreak\N,\ \forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\in\K^r,\ \forall (u_1,\ldots,u_r)\in F^r,\ \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_r u_r \in F.$$
\mht

\demo 
Le sens réciproque est \trivial, le sens direct se traite par récurrence sur la \\ longueur de la CL.~\\[-0.475cm]\cqfd


L'idée~: la définition\,1 ou le théorème\,1 sont plut\^ot utiles pour {\bf montrer} qu'une partie est un sev, alors que le théorème\,2 est plut\^ot utile pour {\bf utiliser} qu'une partie est un sev.

\subsection{Exemples et contre-exemples}

\exx On se place dans $E=\R^3$, muni des lois usuelles. La partie $F=\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ x-2y+z=0\bigg\}$ est-elle un sev~?

\paragraph{Non-vide}
On a $\vec 0 = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \in F \impliedby 0-2\cdot 0+0=0$

\paragraph{Stabilité par combinaison linéaire}

Soient $\lambda, \mu\in \R$. Soient $\vec u, \vec v\in F$.

Notons $\begin{cases}
	\vec u &= (x_1;y_1;z_1) \\
	\vec v &= (x_2;y_2;z_2) \\
\end{cases}$.

On a $\begin{cases}
	x_1-2y_1+z_1&= 0 \\
	x_2-2y_2+z_2&= 0 \\
\end{cases}$.


\begin{align*}
	\lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \lambda x_1 + \mu x_2 \\ \lambda y_1 + \mu y_2 \\ \lambda z_1 + \mu z_2 \\ \end{pmatrix}  \\
\end{align*}

\begin{align*}
	\lambda x_1 + \mu x_2 - 2(\lambda y_1+\mu y_2) + \lambda z_1 + \mu z_2 &= \lambda (x_1 - 2y_1 + z_1) + \mu (x_2 -2y_2+z_2) \\
	&= \lambda\cdot 0+\mu\cdot 0 \qquad\text{par hypothèse}\\
	&= 0 \qquad\qquad\qquad\text{car $(\R,+,\times )$ est un anneau}\\
	&\implies \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{pmatrix} \in F\\
	&\implies \boxed{\text{c'est bien un sev}}
.\end{align*}

\xxe

\exx On se place dans $E=\R^3$, muni des lois usuelles. La partie $W=\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ x-2y+z=1\bigg\}$ est-elle un sev~?

On a $0-2\cdot 0+0\neq 1$ donc $0_{\R} \not\in W$ donc \boxed{\text{c'est pas un sev}}.

\xxe

\rmq
Quand un pertie $F$ de $E$ est définie par un système d'équations linéaires \emph{homogènes}, c'est toujours un sev.
\qmr


\exx On se place dans $E=\R^3$, muni des lois usuelles. La partie $G=\bigg\{\mvect{a+b\\2a-b\\a+2b},\ \mvect{a\\b}\in\R^2\bigg\}$ est-elle un sev~?

\paragraph{Non-nullité}

On a bien $\begin{pmatrix} 0+0\\2\cdot 0-0\\0+2\cdot 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$ donc $\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \in G$ d'où $G\neq \emptyset$

\paragraph{Stabilité par combinaison linéaire}

Soient $\lambda, \mu\in \R$. Soient $\vec u, \vec v\in F$.

Notons $\begin{cases}
	\vec u &= (a_1+b_1;2a_1-b_1;a_1+2b_1) \\
	\vec v &= (a_2+b_2;2a_2-b_2;a_2+2b_2) \\
\end{cases}$.


\begin{align*}
	\lambda \vec u + \mu \vec v &= \begin{pmatrix} \lambda a_1 + \lambda b_1+ \mu a_2 + \mu b_2 \\ 2\lambda a_1-\lambda b_1 + 2\mu a_2-\mu b_2 \\ \lambda a_1 + 2\lambda b_1 + \mu a_2+2\mu b_2 \end{pmatrix}  \\
	&= \begin{pmatrix} (\lambda a_1+\mu a_2) + (\lambda b_1 + \mu b_2) \\ 2(\lambda a_1 + \mu a_2) - (\lambda b_1 + \mu b_2) \\ (\lambda a_1 + \mu a_2) + 2(\lambda b_1 + \mu b_2) \end{pmatrix}  \\
.\end{align*}

On a bien $\begin{pmatrix}  \lambda a_1 + \mu a_2 \\ \lambda b_1 + \mu b_2 \end{pmatrix} \in \R^2$ (car $(\R, +, \times )$ est un anneau), d'où $F$ stable par combinaison linéaire.

\xxe

\rmq
Quand on a une partie $F$ de $E$ définie par paramétrage linéaire, c'est toujours un sev de $E$.
\qmr

\exx On se place dans $E=\R^3$, muni des lois usuelles. La partie $B=\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ x^2+y^2+z^2\leq 1\bigg\}$ est-elle un sev~?

\begin{align*}
	\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}
.\end{align*}

Or $1^2+1^2+0^2 = 2$ et $\lnot(2 \le 1)$. Donc $B$ n'est pas stable par $+$, donc $B$ n'est pas un sev de $E$.
\xxe

\exx On se place dans $E=\mnr$, muni des lois usuelles.\\
L'ensemble des matrices triangulaires supérieures forme-t-il un sev~?

\begin{itemize}
	\item La matrice nulle est triangulaire supérieure
	\item Une somme de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure car $0+0=0$
	\item $0$ est absorbant pour $\times_\R$ donc une matrice triangulaire supérieure multipliée par un scalaire réel reste triangulaire supérieure.
\end{itemize}

\xxe

\exx On\,se\,place\,dans\,$E=\mnr$,\,muni\,des\,lois\,usuelles. L'ensemble\,des\,matrices\,inversibles $GL_n(\R)$ forme-t-il un sev~?

$(0)\not\in GL_n(\R)$ donc $GL_n(\R)$ n'est pas un sev.

\xxe

\exx On\,se\,place\,dans\,$E=\mc_3(\R)$,\,muni\,des\,lois\,usuelles. L'ensemble\,des\,matrices\,de\,rang\,$\leq\!2$ forme-t-il\,un\,sev~?

\begin{align*}
	A &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}  \qquad\text{est de rang 2}\\
	B &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}  \qquad\text{est de rang $1\le 2$}\\
.\end{align*}

Mais $A+B=I_3$ n'est pas de rang inférieur à $2$.

\xxe

\exx Soit $I$ une réunion d'intervalles non triviaux et $E=\R^I$, que l'on muni des lois usuelles. Soit $n\in\N$. L'ensemble $\dc^n(\R,\R)$ est-il un sev de $E$~?

\begin{itemize}
	\item $t\mapsto 0\in F$, donc $F\neq \emptyset$
	\item Soient $f, g\in F=\dc^n(I, \R), \lambda, \mu \in \R$.
		D'après le cours, $\lambda f + \mu g\in \dc^n(I,\R)$ et $(\lambda f + \mu g)^{(n)} = \lambda f^{(n)} + \mu g^{(n)}$: "$F$ est stable par CL par théorèmes généraux".
\end{itemize}

\xxe

\subsection{Structure d'espace vectoriel}

\Theoreme %[Rappel]
Si $F$ est un sev de $E$, alors les lois de $E$ induisent des lois sur $F$, et $F$, muni des lois induites, forme un $\K$\nobreakdash-ev.
\FinTheoreme

\demo
$\bullet$ Voyons que les lois de $E$ induisent des lois sur $F$.\\
Tout d'abord on a bien $0_E\in F$ par définition d'un sous-espace vectoriel.\\
Comme un sous-espace vectoriel est stable par somme, on a $\forall (x,y)\in F^2,\ x+y\in F$. Ainsi, en restreignant la loi $+$ \`a $F\times F$, on obtient une application $+ : F\times F \too E$ que l'on peut corestreindre en une application $+ : F\times F \too F$.\\
Un sous-espace vectoriel est stable par multiplication externe, \cad qu'on a\\ $\forall (\lambda,x)\in \K\times F,\ \lambda\cdot x\in F$. Ainsi, en restreignant la loi $\cdot$ \`a $\K\times F$, on obtient une application $\cdot : \K\times F \too E$ que l'on peut corestreindre en une application $\cdot : \K\times F \too F$.\\
$\bullet$ Les axiomes d'espace vectoriel sont vérifiés pour tous les éléments de $E$, donc {\it a fortiori} pour les éléments de $F$.
\cqfd

\bigskip

\begin{appl}
Ceci permet de voir, pour ne reprendre que le dernier des exemples précédents, que $(\dc^n(I,\R),+,\cdot)$ (pour $I$ une réunion d'intervalles non triviaux) est un $\R$-espace vectoriel.
\end{appl}


\newpage\ \\[-2.15cm]
\section{Opérations sur les sevs}

\subsection{Intersection de sevs}

\thm
Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sevs de $E$. Alors $\bigcap\limits_{i\in I} F_i$ est un sev de $E$.
\mht

\demo
%Soit $(F_i)_{i\in I}$ une famille de \sevs de $E$.\\
Notons $F=\bigcap\limits_{i\in I} F_i$. Montrons que $F$ est un \sev de $E$.\\[0.1cm]
$\bullet$ Pour tout indice $i\in I$, $F_i$ est un \sev et comprend donc $0_E$. Le vecteur nul appartient donc \`a tous les $F_i$, ce qui équivaut \`a dire qu'il appartient \`a leur intersection.\\[0.1cm]
$\bullet$ Soient $(u,v)\in F^2$ et $(\lambda,\mu)\in\K^2$. Pour tout indice $i$, on a $u\in F_i$ et $v\in F_i$ par définition de l'intersection. On a donc $\lambda u + \mu v\in F_i$ puisque $F_i$ est un \sev de E. Ainsi, le vecteur $\lambda u + \mu v$ appartient \`a tous les $F_i$, ce qui équivaut \`a dire qu'il appartient \`a leur intersection.
\cqfd


\begin{appl}%\label{SevCinfini}
$\cc^{\infty}(I,\R)$ (pour $I$ une réunion d'intervalles non triviaux) est un \sev de $\R^\R$.\\[0.25cm]
En effet~: $\cc^{\infty}(I, \R) = \bigcap\limits_{n\in \N^\times } \dc^n(I,\R)$
\end{appl}

\rmq
Ça marche pas pour $\cup $: Pour l'espace vectoriel $(\R^2, +,\cdot )$:

\[
	\left( \left\{\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix}, y\in R \right\} \cup \left\{\begin{pmatrix} x\\0, x\in R \end{pmatrix} \right\} , +,\cdot \right)
\] 

N'est pas un sev: par exemple, il est pas stable par somme.
\qmr

\subsection{Sommes de \sevs}

\Definition
Pour $n$ un entier naturel et $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$ des \sevs de $E$, on appelle \newdef{somme de $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$} l'ensemble $F_1+F_2+\cdots+F_n=\{u_1+u_2+\cdots+u_n,\ u_1\in F_1,\ u_2\in F_2,\ \hdots, u_n\in F_n\}$.
\FinDefinition
%TODO: environemnt exemple
\[
F+G = \{f+g, \begin{pmatrix} f\\g \end{pmatrix} \in F\times G\} 
.\] 

\thm
Pour $n$ un entier naturel et $F_1$, $F_2$, $\hdots$, $F_n$ des sevs de $E$, $F_1+F_2+\cdots+F_n$ est un sev de $E$.
\mht

\demo Pour $n=2$ pour faire simple (mais la preuve est la m\^eme).\\[0.1cm]
$\bullet$ On a $0_E\in F_1$ car $F_1$ est un \sev de $E$, et $0_E\in F_2$ car $F_2$ est un \sev de $E$, donc $0_E = 0_E+0_E \in F_1+F_2$.\\[0.1cm]
$\bullet$ Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de $F_1+F_2$ et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires. Par définition, il existe $u_1$ et $v_1$ dans $F_1$, et $u_2$ et $v_2$ dans $F_2$ tels qu'on ait $u=u_1+u_2$ et $v=v_1+v_2$. Comme $F_1$ est un \sev on a $\lambda u_1 + \mu v_1 \in F_1$~; comme $F_2$ est un \sev on a $\lambda u_2 + \mu v_2 \in F_2$. Finalement on a $\lambda u + \mu v = (\lambda u_1 + \mu v_1)+(\lambda u_2 + \mu v_2) \in F_1+F_2$ par définition.\cqfd



%\newpage
\rmq\ \\[-1.225cm] \phantom{\textbf{Remarque 1~:}} La somme des sevs est~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Idempotente~: pour tout sev $F$ de $E$, on a $F+F=F$~;
\item Commutative~: pour tous sevs $F$ et $G$ de $E$, on a $F+G=G+F$~;
\item Associative~: pour tous sevs $F$, $G$ et $H$ de $E$, on a $(F+G)+H=F+(G+H)=F+G+H$~;
\item Admet pour élément neutre le sous-espace nul~: pour tout sev $F$ de $E$, on a $F+\{0_E\}=\{0_E\}+F=F$.
\end{enumerate}
\qmr

\demo Tout est \trivial. Exercice, si tu y tiens. \cqfd

\exx
\\
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
	\draw[->] (0,0) -- (0,12) node[above]{$(Oz)$}; 
	\draw[->] (0,0) -- (12,0) node[right]{$(Oy)$};
	\draw[->] (0,0) -- (-7,-7) node[left]{$(Ox)$};
	\draw[pattern=north west lines] (0,0) rectangle (10,10) node[midway, fill=white]{$F$};
	\draw[pattern=north west lines] (0,0)--(-5,-5)--(5,-5)--(10,0) node[midway, fill=white]{$G$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\\
Montrons que $F+G=\R^3$.

\begin{align*}
	F+G &= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} , (x, y)\in \R^2\right\} + \left\{\begin{pmatrix} 0\\y'\\z' \end{pmatrix} , (y', z')\in \R^2\right\} \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y+y'\\z' \end{pmatrix}, (x, y, y', z')\in \R^4 \right\}  \\
	&\supset \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, (x, y, z)\in \R^3\right\} \qquad \text{cas particulier $y'=0$} \\
	&= \R^3 \\
.\end{align*}

Par ailleurs, $F+G \subset \R^3$ est \emph{toujours vrai}. (car c'est un sev de $\R^3$)

Par double inclusion, $F+G=R^3$.

\rmq
$(Ox)+(Oy)=F$
\qmr

\xxe



\newpage\ \\[-2.15cm]
\subsection{Sommes directes}

\Definition
Une somme $F=F_1+F_2+\cdots+F_n$ est dite \newdef{directe} lorsque tout vecteur $u$ de $F$ s'écrit {\bf de\,fa\c{c}on\,unique} sous\,la\,forme $u=u_1\!+u_2+\cdots+u_n$ o\`u\,l'on\,a $\forall i\in\{1,\ldots,n\},\ u_i\in F_i$. On note alors $F=F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_n$.
\FinDefinition

Ainsi, lorsqu'on écrit une expression de la forme $F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_n$ , on décrit un objet (la somme des \sevs $F_i$), {\bf et}, simultanément, on donne une information sur cet objet (le fait que cette somme est directe). On a rencontré une situation totalement analogue avec l'exemple des réunions disjointes, entre autres.

\exs ~{\it Reprenons l'exemple de somme vue précédemment.}

$F+G = \R^3$ n'est pas une somme directe.

En effet, $\displaystyle\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} $.

\rmq
Une somme de {\bf 2} sevs (et pas plus) et directe ssi leur intersection est le sev nul.
\qmr
\sxe

Un autre exemple~: \\
\exx
\\\
$(Ox) + (Oy) = F$ est directe:

Soit $\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}  \in F$.
Considérons une décomposition de $\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} $ dans la somme:
\begin{align*}
	\begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} &= \underbrace{\begin{pmatrix} a\\0\\0 \end{pmatrix}}_{\in (Ox)} + \underbrace{\begin{pmatrix} 0\\b\\0 \end{pmatrix}}_{\in (Oy)} \\
	&\iff \left( \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a\\b\\0 \end{pmatrix} \iff \begin{cases}
		x&= a \\
		y&= b \\
	\end{cases} \right) 
.\end{align*}
D'où l'unicité du couple $(a, b)$


$(Ox) + (Oy) + (Oz) = \R^3$ est directe, par raisonnement analogue.

$\R_n[x] = \R \cdot 1 \oplus \R \cdot X \oplus \ldots \oplus \R \cdot X^n$

$\R[X] = \R_n[X] \oplus X^{n+1}\R[X]$\\
$P(X) = \underbrace{a_0+a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_n X^n}_{\R_n[X]} + \underbrace{a_{n+1}X^{n+1} + \ldots + a_d X^d}_{X^{n+1}\R[X]}$

\xxe


\thm
Une somme $F=F_1+F_2+\cdots+F_n$ est dite directe \ssi l'unique décomposition du vecteur nul dans la somme est $0_E=0_{F_1}+\cdots+0_{F_n}$.
\mht


\demo
\fbox{$\Rightarrow$} Supposons que la somme $F_1+F_2+\cdots+F_n$ soit directe. On a évidemment $0_E=0_E+0_E+\cdots+0_E$ et donc, par unicité d'une décomposition, si on a $0_E=u_1+u_2+\cdots+u_n$ on a $u_1=u_2=\cdots=0_E$.\\
\fbox{$\Leftarrow$} Supposons avoir~: $\forall (u_1,u_2,\ldots,u_n)\in F_1\times F_2\times \cdots\times F_n,%\\
0_E=u_1+u_2+\cdots+u_n \Rightarrow u_1=u_2=\cdots=0_E$. Montrons que la somme $F_1+F_2+\cdots+F_n$ est directe. Soit $x\in F_1+F_2+\cdots+F_n$. Supposons avoir deux décompositions $x=x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n$ de $x$, avec pour tout $i\in\{1,\hdots,n\}$ $x_i\in F_i$ et $y_i\in F_i$. On a $0_E=x-x=(x_1-y_1)+\cdots+(x_n-y_n)$ par associativité. Par hypothèse, on a donc $x_1-y_1=\cdots=x_n-y_n=0_E$, \cad $\forall i\in\{1,\hdots,n\},\ x_i=y_i$. On vient de voir que pour tout élément de $F_1+F_2+\cdots+F_n$ on avait unicité d'une décomposition, \cad que la somme est directe.
\cqfd

\subsection{Supplémentaires}

\Definition\index{sous-espaces vectoriels!supplémentaires}
Deux \sevs $F$ et $G$ de $E$ sont dit \newdef{supplémentaires} lorsqu'on a $F\oplus G=E$.
\FinDefinition

\attention{Confonds \og supplémentaires\fg{} et \og complémentaires\fg{} et je te mort-subite: y'a pas le neutre dans le complémentaire, c'est \emph{pas un sev}.}\\

\exx\label{OxOy} On admet (exercice bonus) que $F=\Big\{\mvect{x\\0},\ x\in\R\Big\}$ est un sev de $E=\R^2$, muni de ses lois usuelles.\\
Déterminons un supplémentaire de $F$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\draw[->] (-1,0) -- (5,0) node[below]{$F=\{ (x; 0), x \in \R \}$};
		\draw[->] (0,-1) -- (0,5);
		\draw (-1, -1) -- (5, 5) node[right]{$\Delta$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
Montrons $F\oplus\Delta=\R^2$
On veut montrer:

\[
	\forall (x, y)\in \R^2, \exists ! (u, v)\in F\times \Delta, \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = u+v
.\] 

{\bf L'existance correspond au fait que la somme fait $\R^2$, l'unicité correspond au fait que la somme est directe.}

Soit $(x, y)\in \R^2$

Montrons que $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $ peut s'écrire de façon unique sous la forme
\begin{align*}
	\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix} }_{\in F} + \underbrace{\begin{pmatrix} b\\b \end{pmatrix} }_{\in \Delta} \\
	&\iff \begin{cases}
		a+b&= x \\
		0+b&= y \\
	\end{cases}\\
	&\iff \begin{cases}
		a &= x-y \\
		b&= y \\
	\end{cases}
\end{align*}

Donc $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $ a bien une unique décomposition qui est $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} x-y\\0 \end{pmatrix}}_{\in F}+\underbrace{\begin{pmatrix} y\\y \end{pmatrix} }_{\in \Delta}$.

Un autre supplémentaire est $\left\{\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix} , y\in \R\right\}$ 
\xxe

\attention{En général, un supplémentaire n'est pas unique~!}

La méthode naturelle pour montrer que deux \sevs $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E$ sont supplémentaires consiste \`a procéder par analyse-synthèse. Il s'agit en effet de montrer que tout vecteur $x\in E$ peut se décomposer de fa\c{c}on unique comme somme d'un vecteur $y\in F$ et d'un vecteur $z\in G$. Dans la partie analyse, on montre qu'on a un unique candidat pour le couple $(y,z)$. Dans la partie synthèse, on vérifie que ce couple convient bien.

\exx Dans $E=\R^\R$, muni de ses lois usuelles, les ensembles $P=\big\{f\in E,\ \forall x\in\R,\ f(-x)=f(x)\big\}$ et $I=\big\{f\in E,\ \forall x\in\R,\ f(-x)=-f(x)\big\}$ sont des sevs, et ils sont supplémentaires.\\ {\bf On a déj\`a essentiellement montré ce résultat~!} Recommen\c{c}ons.
Soit $f \in \R^2$.

\paragraph{Analyse} Considérons un couple $(f_p, f_i) \in P \times I$ convenable, ie tel que $f=f_p+f_i$ ie tq $\forall x \in \R, f(x) = f_p(x) + f_i(x)$

Soit $x\in \R$, on a
\begin{align*}
&\begin{cases}
	f(x)&= f_p(x)+f_i(x) = f_p(x)+f_i(x) \\
	f(-x)&= f_p(-x)+f_i(x)=f_p(x)-f_i(x) \\
\end{cases} \\
&\iff \begin{cases}
	f(x)+f(-x) &= 2 f_p(x) \\
	f(x)-f(-x) &= 2 f_i(x) \\
\end{cases} \\
&\implies \begin{cases}
	f_p(x) &= \frac{f(x)+f(-x)}{2} \\
	f_i(x) &= \frac{f(x)-f(-x)}{2} \\
\end{cases}
\end{align*}
\paragraph{Synthèse}
On veut montrer:
\begin{itemize}
	\item $f = f_p + f_i$: OK!
	\item $f_p \in P$
	\item $f_i \in I$
\end{itemize}

\begin{align*}
	f_p(-x) &= \frac{f(-x)+f(--x)}{2} \\
		&= \frac{f(x)+f(-x)}{2} \\
		&= f_p(x) \\
	\implies f_p &\in P \\
	f_i(-x) &= \frac{f(-x)-f(--x)}{2} \\
		&= -\frac{f(x)-f(-x)}{2} \\
		&= -f_i(x) \\
	\implies f_i&\in I
.\end{align*}

\paragraph{Conclusion}
Tout $f\in \R^{\R}$ peut s'écrire de façon unique sous la forme $f = f_p + f_i$ avec $\begin{cases}
	f_p &\in P \\
	f_i &\in I
\end{cases}$ donc $P\oplus I = \R^{\R}$ ie $P$ et $I$ sont \emph{supplémentaires} .

\xxe

\exx On se place dans $E=\cc([0,1],\R)$ muni des lois usuelles. Montrons que $\dsp{F= \Big\{f\in E,\ \int_0^1 f = 0\Big\}}$ et $\dsp{G= \Big\{x\mapsto K,\ K\in\R\Big\}}$ sont des sous-espaces vectoriels, et qu'ils sont supplémentaires.

\paragraph{$F$ est un sev}

\begin{itemize}
	\item $\int_0^1 f = \int_0^1 0 = 0 \implies 0 \in F \implies F\neq \emptyset$
	\item Soient $\lambda, \mu\in \R$. $ \int_0^1 \lambda f + \mu g = \lambda \int_0^1 f + \mu \int_0^1 g = \lambda 0 + \mu 0 = 0 \in F$
\end{itemize}

\paragraph{$G$ est un sev}

\begin{itemize}
	\item $x\mapsto 0\in G \implies G\neq \emptyset$ 
	\item Soient $\lambda, \mu\in \R$. $\lambda (x\mapsto K_2) + \mu (x\mapsto K_2) = x\mapsto \lambda K_2 + \mu K_2 \in G$
\end{itemize}

\paragraph{Montrer $F$ et $G$ supplémentaires}
Par analyse-synthèse. Soit $h\in E$.\\
\emph{Analyse} Considérons une décomposition de $h$ sous la forme $h = f+g$ avec $\begin{cases}
	f\in F\\
	g\in G
\end{cases}$ ie $\begin{cases}
	\int_0^1 f &= 0 \\
	\text{il existe}\ K\in \R,\ g &= x\mapsto K \\
\end{cases}$.

\begin{align*}
	h &= f+g = f + K \\
	\implies \int_0^1 h &= {\int_0^1 f} + \int_0^1 K \\
	&= K \\
	\iff g &= x\mapsto \int_0^1 h \\
	\implies f&= h-g \\
		  &= x\mapsto h(x) - \int_0^1 h
\end{align*}

\emph{Synthèse} Testons notre candidat $\begin{cases}
	f&= x\mapsto h(x)-\int_0^1 h \\
	g&=  x\mapsto \int_0^1 h\\
\end{cases}$. On devrait montrer

\begin{itemize}
	\item $f+g=h$
	\item $g\in G$ ie $g$ constante
	\item $f\in F$ ie $\int_0^1 f = 0$
\end{itemize}

\begin{align*}
	f+g&= x\mapsto h(x)-\int_0^1h+\int_0^1 h \\
	   &= x\mapsto h(x) \\
	   &= h \\
.\end{align*}


\begin{align*}
	g&= x\mapsto \int_0^1 h \\
	 &\text{c'est une constante}
.\end{align*}

\begin{align*}
	\int_0^1 f &= \int_0^1 \left( h(x) - \int_0^1 h \right) \dx \\
		   &= \int_0^1 h(x)\dx - \int_0^1 \left( \int_0^1 h \right) \dx \\
		   &= \int_0^1 h - \int_0^1 h \\
		   &= 0 \\
.\end{align*}

\emph{Conclusion} $F \oplus G = E$

\xxe

On peut aussi faire \c{c}a~:

\Proposition[Caractérisation de supplémentarité]
Deux sevs $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires \ssi $\lect{F+G=E\\F\cap G=\{0_E\}}$.
\FinProposition

\exx Reprenons l'exemple \ref{OxOy}.
On prend $G=\left\{\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix} , y\in \R\right\} $.

\begin{align*}
	F+G &= \left\{\begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix} , x\in R\right\} + \left\{\begin{pmatrix} 0\\y \end{pmatrix} , y\in \R\right\}  \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , (x, y)\in \R^2\right\}  \\
.\end{align*}

De plus,

\begin{align*}
	F \cap G &= \left\{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \R^2, \begin{cases}
		(x, y)\in F \\
		(x, y)\in G
	\end{cases}\right\}  \\
		 &= \left\{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in \R^2, \begin{cases}
		 	x&= 0 \\
			y&= 0 \\
		 \end{cases}\right\}  \\
		 &= \left\{\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \right\}  \\
.\end{align*}
\xxe



\section{D'autres méthodes pour obtenir des $\K$-evs}

La notion de sous-espace vectoriel et les opérations sur les sous-espaces vectoriels permettent d'obtenir des espaces vectoriels \og plus petits \fg \`a partir d'espaces vectoriels déj\`a connus. Voyons maintenant comment obtenir des espaces vectoriels \og plus gros \fg.

\subsection{Produits de $\K$-espaces vectoriels}

\thm[Produit de $\K$-ev]\ \\[-0.4cm]
Soient $n\in\N$ et $E_1$, $E_2$, $\hdots$, $E_n$ des $\K$\nobreakdash-espaces vectoriels. L'ensemble $E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n$ est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel donnée par les opérations composante par composante~:\ \\[-0.5cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0_{E_1\times\cdots\times E_n}=(0_{E_1},\hdots,0_{E_n})$~;
\item $\forall (u_1,\hdots,u_n), (v_1,\hdots,v_n)\in E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n,\ (u_1,\hdots,u_n)+(v_1,\hdots,v_n)=(u_1+v_1,\hdots,u_n+v_n)$~;
\item $\forall \lambda\in\K,\ \forall (u_1,\hdots,u_n)\in E_1\times E_2 \times \cdots \times E_n,\ \lambda\cdot(u_1,\hdots,u_n)=(\lambda u_1,\hdots,\lambda u_n)$.
\end{enumerate}
\mht

\demo $\mathbb{T\ R\ I\ V\ I\ A\ L}$. \cqfd

\exx\ \\
\[
\K^{n} = \K\times \ldots\times \K \\
.\] 
\xxe

\subsection{Espaces vectoriels engendrés}


\Lemme[CL de CL]\label{CLdeCL}
Soit $(E,+,\cdot)$ un $\K$-ev et $P\subset E$. Si un vecteur $u$ de $E$ peut s'obtenir comme CL de vecteurs pouvant eux-m\^eme s'obtenir comme CL de vecteurs de $P$, alors $u$ est lui-m\^eme une CL de vecteurs de $P$.
\FinLemme
En abrégé~: \og une CL de CL est une CL\fg.

\demo
Soient $v_1$, $\ldots$, $v_r$ des vecteurs obtenus comme CL des vecteurs de $P$ et $u$ un vecteur obtenu comme CL des $v_j$ (qu'on a supposé en nombre fini puisqu'une CL est toujours une somme finie).\\[0.15cm]
Comme une CL est toujours une somme finie, chaque $v_j$ est lui-m\^eme obtenu en ne considérant qu'un nombre fini de vecteurs de $P$, et comme il n'y a qu'un nombre fini de vecteurs $v_j$, seulement un nombre fini de vecteurs de $P$ interviennent dans toutes les CL considérées. Notons-les $u_1$, $\ldots$, $u_n$.\\[0.15cm]
L'hypothèse exprime que pour tout $j\in \{1,\ldots,m\}$, il existe des scalaires $\alpha_{j,1}$, $\hdots$, $\alpha_{j,n}$ tels que $v_j=\alpha_{j,1} u_{1} + \cdots + \alpha_{j,n} u_{n}$.\\
De m\^eme, il existe un $r$-uplet de scalaires $(\lambda_1,\hdots,\lambda_r)$ tel que $u=\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_r v_r$. On a donc~:\\[0.15cm]
$\begin{array}{llcl}
u & = & \lambda_1 (\alpha_{1,1} u_{1} + \cdots + \alpha_{1,n} u_{n}) + \cdots + \lambda_r (\alpha_{r,1} u_{1} + \cdots + \alpha_{r,n} u_{n})\\
  & = & (\lambda_1 \alpha_{1,1} + \cdots + \lambda_r \alpha_{r,1}) u_{1} + \cdots + (\lambda_1 \alpha_{1,n} + \cdots + \lambda_r\alpha_{r,n}) u_{n}\\
  & = & \gamma_1 u_{1} + \cdots + \gamma_n u_{n},\end{array}$\\[0.15cm]
en notant, pour tout $i\in\{1,\hdots,n\},\ \gamma_i=(\lambda_1 \alpha_{1,i} + \cdots + \lambda_r\alpha_{r,i}) \text{.}$\\
Si bien que $w$ est une CL des vecteurs de $\fc$.
\cqfd


\begin{_thdef}[Sous-espace vectoriel engendré]
Soit $P\subset E$ et $F$ un \sev de $E$. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes~:
\begin{itemize}
\item $F$ est le plus petit \sev (pour l'inclusion) contenant $P$.
\item $F$ est l'intersection de tous les \sevs contenant $P$.
\item $F$ est l'ensemble des CL des vecteurs de $P$.
\end{itemize}
Lorsqu'elles sont vérifiées, on dit que $F$ est le \newdef{sous-espace vectoriel engendré par $P$} et on note $F=\Vect{P}$.
\end{_thdef}

La première caractérisation est une caractérisation \og par le haut\fg. On voit $F$ \`a l'aide d'objets \og plus gros\fg{} que $F$. La seconde caractérisation est aussi une caractérisation \og par le haut\fg, mais plus explicite~: $F$ y est construit. La troisième caractérisation est aussi une caractérisation explicite, mais \og par le bas\fg~: on construit $F$ \`a l'aide d'objets \og plus petits\fg{} que $F$.

%\rmq
%L'existence d'un plus petit \sev de $E$ contenant $F$ n'est pas évidente {\it a priori}. La proposition précédente assure en particulier cette existence.
%\qmr

\demo
Commen\c{c}ons par noter $G$ l'ensemble des CL des vecteurs de $P$. On va montrer que $G$ est simultanément l'intersection de tous les \sevs contenant $P$ et le plus petit \sev contenant $P$, ce qui établira les équivalences proposées.\\[0.2cm]
Montrons tout d'abord que $G$ est bien un sous-espace vectoriel~: il suffit pour cela d'établir que $G$ est stable par CL quelconque de vecteurs de $G$. Or, une CL de vecteurs de $G$ est une CL de CL de vecteurs de $P$, c'est donc une CL de vecteurs de $P$ d'après le lemme sur les CL de CL (lemme \ref{CLdeCL}), \cad un élément de $G$. Ainsi $G$ est bien stable par CL quelconques, c'est donc bien un \sev de $E$. Remarquons également que $G$ contient $P$ (il suffit de considérer des CL de la forme $1\cdot u$).\\[0.2cm]
Montrons maintenant que $G$ est le plus petit \sev contenant $P$. Comme on a déj\`a vu que $G$ est un \sev contenant $P$, il ne reste qu'\`a montrer que $G$ est inclus dans tout \sev contenant $P$. Tout \sev contenant $P$ étant stable par CL quelconque, un tel \sev contient toute CL des vecteurs de $P$. Autrement dit, un tel \sev contient $G$, \cad que $G$ est bien inclus dans tout \sev contenant $P$.\\[0.2cm]
Montrons enfin que $G$ est l'intersection des \sevs contenant $P$. On a déj\`a vu que $G$ est inclus dans tout \sev contenant $P$, il est donc inclus dans l'intersection de tous ces sous-espaces vectoriels. Comme $G$ est lui-m\^eme un \sev de $E$ contenant $P$, l'intersection de tous les \sevs contenant $P$ est incluse dans $G$. Finalement, par double inclusion, $G$ est égal \`a l'intersection de tous les \sevs de $E$ contenant $P$.
\cqfd

\exs
\begin{enumerate}
\item On a admis plus haut que $F=\Big\{\mvect{x\\0},\ x\in\R\Big\}$ est un sev de $(\R^2,+,\cdot)$. C'est maintenant évident.\\
	En effet, $F$ est $\left\{ \begin{pmatrix} x\\0 \end{pmatrix} , x\in \R\right\} = \{x\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , x\in \R\} = \{xe_1, x\in \R\} = \{ \text{CL des vecteurs de $ \{e_1\}  $} \} = \vect{\{e_1\}}  $.
\item On a admis plus haut que $G=\Big\{x\mapsto K,\ K\in\R\Big\}$ est un sev de $\cc([0,1],\R),+,\cdot)$. C'est maintenant évident.\\
	En effet, $G$ est $ \{x\mapsto K, K\in \R\} = \vect{\{x\mapsto 1\} } $.
\item On a vu plus haut la partie $B=\bigg\{\mvect{x\\y\\z},\ x^2+y^2+z^2\leq 1\bigg\}$ de $(\R^3,+,\cdot)$. Quel est le sev engendré par $B$~?
\[
	\Vect{B} = \Vect{\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ,x^2+y^2+z^2\le 1 \}} = \R^3
.\] 

\begin{itemize}
	\item $\Vect{B} \subset \R^3$ par définition
		\item Soit $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3$.
	On a 
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} +z\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \\
		&\in \{\text{CL de Vecteurs de $B$}\} \\
		&= \Vect{B} \\
	.\end{align*}
	D'où $\R^3 \subset \Vect{B}$
\end{itemize}
\item $\Vect{\{x\mapsto 1, \id\} } = \{\text{fonctions affines}\} $
\end{enumerate}

\sxe

\medskip

\Proposition[Propriétés fondamentales de $\mathrm{Vect}$]\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
	\item $\mathrm{Vect}$ est extensive, \cad~: $\forall P\subset E,\ \Vect{P} \supset P$
	\item $\mathrm{Vect}$ est croissante pour l'inclusion, \cad~:$\forall P, Q \subset E,\ Q \subset E, P \subset Q \implies \Vect{P} \subset \Vect{Q}$
\item $\mathrm{Vect}$ est idempotente, \cad~: $\text{Vect}\circ\text{Vect}=\text{Vect}$
\end{enumerate}
\FinProposition

\demo
\begin{enumerate}[1.]
\item Supposons $P\subset P'$.  Tout vecteur de $P$ est un vecteur de $P'$, donc toute CL des vecteurs de $P$ est une CL des vecteurs de $P'$, \cad que tout vecteur de $\Vect{P}$ est un vecteur de $\Vect{P'}$
\item L'ensemble $\Vect{P}$ est un sous-espace vectoriel. L'ensemble $\mathrm{Vect}\big(\Vect{P}\big)$ est le plus petit \sev de $E$ contenant $\Vect{P}$, c'est donc $\Vect{P}$.
\item L'ensemble $\Vect{P}$ est un sous-espace vectoriel, il est donc le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ se contenant lui-m\^eme. Donc $\Vect{\Vect{P}}=\Vect{P}$.
\end{enumerate}\ \\[-1cm]
\cqfd

\newpage\ \\[-1.75cm]


\rmq
Pour $P\subset E$, $P=\Vect{P}\ \Leftrightarrow$ $P$ est un sev
\qmr

\bigskip

\exo Montrons qu'on a, pour tous sevs $F_1$ et $F_2$ de $E$, $F_1+F_2=\Vect{F_1\cup F_2}$.% Le résultat se généralise évidemment pour $n$ sevs.

\fbox{$\subset $} Soit $u \in F_1+F_2$

Par définition $u$ est de la forme

\begin{align*}
	u&= \underbrace{u_1}_{\in F_1} + \underbrace{u_2}_{\in F_2} \qquad\text{avec}\ \begin{cases}
		v_1\in F_1\\
		v_2\in F_2
	\end{cases}\\
.\end{align*}

En particulier $\begin{cases}
	u_1\in F_1 \cup F_2 \\
	u_2\in F_1 \cup F_2 \\
\end{cases}$.

Donc $u = \underbrace{1}_{\in \K}\cdot \underbrace{u_1}_{\in F_1\cup F_2}+\underbrace{1}_{\in \K}\cdot \underbrace{u_2}_{\in F_1\cup F_2}$ est une CL de vecteurs de $F_1\cup F_2$, donc $u\in \Vect{F_1\cup F_2}$.

\fbox{$\supset $}

Soit $u\in \Vect{F_1\cup F_2}$

Ainsi $u = \alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \ldots + \alpha_n u_n$

À renommage près, $u_1, \ldots, u_r \in F_1$ et $u_{r+1}, \ldots, u_n \in F_2$

On a alors $u = v_1+v_2$ avec $\begin{cases}
	v_1 &= \alpha_1 u_1 +\ldots+\alpha_r u_r \in F_1 \qquad \text{car $F_1$ est un sev donc stable par CL} \\
	v_2&= \alpha_{r+1}u_{r+1}+\ldots+\alpha_n u_n \in F_2 \qquad\text{de même} \\
\end{cases}$ 

donc $u \in F_1+F_2$
\subsection{$\K$-evs et sevs remarquables}

\dfn\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
\item On appelle \newdef{droite (vectorielle)} un sev de $E$ de la forme $\Vect{u}$ avec $u\neq 0_E$. %Autrement dit, une droite a une base formée d'un seul vecteur.
\item On appelle \newdef{plan (vectoriel)} un sev de $E$ de la forme $\Vect{u,v}$ avec $u$ et $v$ non colinéaires, \cad tel qu'aucun des deux n'est un multiple de l'autre. %Autrement dit, un plan a une base formée de deux vecteurs.
\end{enumerate}
\nfd

\exs
\begin{itemize}
	\item $(Ox) = \Vect{e_1}$
	\item $(Oy) = \Vect{e_2}$
	\item $\Delta = \Vect{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} }$
	\item $ \{t\mapsto K,\ K\in \R\} = \Vect{x\mapsto 1} $
	\item $\Vect{\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&0\\0&1 \end{pmatrix} } = \left\{\begin{pmatrix} a&0\\0&b \end{pmatrix} , (a, d)\in \K\right\} = \left\{\text{matrices $2\times 2$ diagonales}\right\} $ est un plan (vectoriel)
\end{itemize}


\begin{align*}
	G &= \left\{\begin{pmatrix} a+b\\2a-b\\a+2b \end{pmatrix}, (a, b)\in \R^2 \right\}  \\
	&= \left\{ a\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} , (a, b)\in \R^2\right\}  \\
	&= \Vect{\underbrace{\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix} }_{\text{non colinéaires}}} \qquad\text{c'est un plan vectoriel}\\
.\end{align*}

\begin{align*}
	F &= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , x-2y+z=0\right\}  \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , z=-x+2y\right\}  \\
	&= \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\-x+2y \end{pmatrix} , (x, y)\in \R^2\right\}  \\
	&= \left\{x\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix} , (x, y)\in \R^2\right\}  \\
	&= \Vect{\underbrace{\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}}_{\text{non $//$}} } \qquad\text{c'est un plan vectoriel}\\
.\end{align*}
\sxe

\Definition
On appelle \newdef{hyperplan de $E$} un sev de $E$ dont un supplémentaire est une droite.
\FinDefinition

\exs
Dans $E=\R_2[X]$, $\underbrace{\Vect{1, X}}_{\R_1[X]}$ est un hyperplan car un supplémentaire de ce sev est $\Vect{X^2}$

Montrons-le avec la Proposition 1.

\begin{align*}
	\Vect{1, X} + \Vect{X^2} &= \left\{a+bX, (a, b)\in \R^2\right\} + \left\{cX^2, c\in \R\right\}   \\
	&= \left\{cX^2+bX+a,\ \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \in \R^3\right\}  \\
	&= \R_2[X] \\
.\end{align*}

\begin{align*}
	\Vect{1, X} \cap \Vect{X^2} &=  ? \\
.\end{align*}

Soit $P \in \Vect{1, X} \cap \Vect{X^2}$

On a $P \in \Vect{1, X}$ donc il existe $a, b \in \R$ tel que $P = aX+b$
On a $P \in \Vect{X^2}$ donc il existe $c \in \R$ tel que $P = cX^2$

Donc 
\begin{align*}
	cX^2 &= aX + b \\
	\iff cX^2+aX+b &= 0 \\
	\iff \begin{cases}
		c&= 0 \\
		-a&= 0 \\
		-b&= 0 \\
	\end{cases} \\
	\implies P&= 0 \\
.\end{align*}

Donc $\Vect{1, X} \cap \Vect{X^2} = \{0_{\R_2[X]}\} $



\sxe

$\square$
\end{document}
