\input{../.headers/cours.tex}
\newcommand{\Vetct}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\card}{\mathrm{card}}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Sous-espaces vectoriels en dimension finie\subline}}
\end{center}

Dans tout le chapitre, $\K$ est un sous-corps de $\C$, et $E$ d\'esigne un $\K$-espace vectoriel.

\newcommand{\Vetct}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\card}{\mathrm{card}}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}
\section{Sevs en dimension finie}
\subsection{Propri\'et\'e fondamentale}
\Theoreme[Propri\'et\'e fondamentale des sevs en dimension finie] \label{DimensionSousEspace}  Supposons que $E$ soit de dimension finie $n$, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. 
Alors~:
\begin{enumerate}
\item $F$ est un $\K$\nobreakdash-espace vectoriel de dimension finie et $\dim F\leq\dim E$~;
\item $\dim F=n$ \ssi $F=E$.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\rmq Ce th\'eor\`eme a un {\bf analogue ensembliste}~: si $A$ est un ensemble fini et $B$ un ensemble tel que $B\subset A$ alors $B$ est fini et $|B|\leq|A|$, avec \'egalit\'e \ssi $A=B$.
\qmr
\begin{rem}$\bullet$ L'application "dimension"
$\dsp{\mathrm{dim} : \{\textrm{sous-espaces vectoriels de }E\}\too \N\cup\{+\infty\}}$ est donc croissante (pour l'inclusion).\\
$\bullet$ L'application "rang" $\dsp{\mathrm{rg} : \{\textrm{familles de vecteurs de }E\}\too \N\cup\{+\infty\}}$ est donc une application croissante (pour la relation \og\^etre un sous-famille de\fg) puisque c'est $\dim \circ \mathrm{Vect}$.
\end{rem}
\subsection{Application aux suppl\'ementaires}
\thm
Supposons que $E$ soit de dimension finie, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. 
Alors~:
\begin{enumerate}
\item $F$ a un suppl\'ementaire~;
\item pour tout suppl\'ementaire $G$ de $F$ on a $\dim G=\dim E-\dim F$.
\end{enumerate}
\mht
\rmq Ce th\'eor\`eme a aussi un {\bf analogue ensembliste}~: si $B\amalg C=A$ avec $A$ fini, alors $|B|+|C|=|A|$.
\qmr
\section{Applications de la formule de Grassmann}
\subsection{Formule de Grassmann}
\thm[Formule de Grassmann]
Supposons $E$ de dimension finie. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors on a~: $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).\megasublined$$
\mht
\rmq On a l\`a encore un {\bf analogue ensembliste}~: si $B,C \subset A$ avec $A$ fini alors $|B\cup C|=|B|+|C|-|B\cap C|$.
\qmr
\rmq
On retrouve qu'on a $\dim(F\oplus G)=\dim(F)+\dim(G)$.
\qmr
\subsection{Applications}
\thm
Soient $E_1$ et $E_2$ deux $\K$-espaces vectoriels de dimensions finies. Alors $\dim(E_1\times E_2)=\dim(E_1)+\dim(E_2)$.
\mht
\thm[Caract\'erisation des suppl\'ementaires en dimension finie]\label{SommesDirectesEnDimensionFinie}
Supposons que $E$ soit de dimension finie $n$. Soient $F$, $G$ deux sevs de $E$. \\[0.15cm]Les propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $F\oplus G = E$ ;
\item $F\cap G=\{0_{E}\}$ et $\dim(F)+\dim(G)=n$~;
\item $F+G=E$ et $\dim(F)+\dim(G)=n$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Dimension d'une somme de $m$ sevs]
Soient $F_{1},\hdots,F_{m}$ des sous-espaces vectoriels de $E$, suppos\'e de dimension finie. \\Alors on a :
$\dsp{\dim\left(\sum_{i=1}^m F_{i}\right)\leq \sum_{i=1}^m \dim(F_{i})}$,
avec \'egalit\'e \ssi la somme est directe.
\mht
\subsection{Hyperplans en dimension finie}
\thm
Supposons $\dim(E)=n<+\infty$. Alors un hyperplan de $E$ est exactement un sev de $E$ de dimension $n-1$.
\mht
\thm
Supposons $E$ de dimension finie $n$. Soient $H_1,H_2,\ldots,H_m$ des hyperplans de $E$.\subline\\
Alors on a $\dim(H_1 \cap H_2 \cap \cdots \cap H_m) \geq n-m$.
\mht
\rmq
Soit $\mvect{a_1\\\vdots\\a_n}\in\K^n\setminus\{\vnul\}$. Alors $H=\left\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n},\ a_1x_1+\cdots+a_nx_n = 0\right\}$ est un hyperplan de $\K^n$.
\qmr
\thm
L'ensemble des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene $\left\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}\in\K^n,\ \left\|\begin{array}{c}a_{1,1}x_1+\cdots+a_{1,n}x_n=0\\\vdots\\a_{m,1}x_1+\cdots+a_{m,n}x_n=0\end{array}\right.\right\}$ forme un sev de $\K^n$ de dimension sup\'erieure \`a $n-m$.\subline
\mht
\end{document}
