\input{../.headers/cours.tex}
\newcommand{\Vetct}{\mathrm{Vect}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\newcommand{\card}{\mathrm{card}}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline Sous-espaces vectoriels en dimension finie\subline}}
\end{center}

Dans tout le chapitre, $\K$ est un sous-corps de $\C$, et $E$ d\'esigne un $\K$-espace vectoriel.

\section{Sevs en dimension finie}

\smallskip

\subsection{Propri\'et\'e fondamentale}

\smallskip

\Theoreme[Propri\'et\'e fondamentale des sevs en dimension finie] \label{DimensionSousEspace}  Supposons que $E$ soit de dimension finie $n$, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. 
Alors~:
\begin{enumerate}
\item $F$ est un $\K$\nobreakdash-espace vectoriel de dimension finie et $\dim F\leq\dim E$~;
\item $\dim F=n$ \ssi $F=E$.
\end{enumerate}
\FinTheoreme

\rmq Ce th\'eor\`eme a un {\bf analogue ensembliste}~: si $A$ est un ensemble fini et $B$ un ensemble tel que $B\subset A$ alors $B$ est fini et $|B|\leq|A|$, avec \'egalit\'e \ssi $A=B$.
\qmr

\demo
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
	\item S'il n'y a pas d'autre vecteur dans $F$ que le vecteur nul alors $F=\{0_{E}\}$ admet pour seule base la famille vide. Ainsi $F$ est de dimension finie et $\dim(F)=0$. En particulier, comme la dimension est un entier naturel, $\dim(F)=0\leq \dim(E)$.\\
	\item 
Si $F$ poss\`ede au moins un vecteur non nul, alors on en choisit un, que l'on note $f_{1}$.\\
\begin{itemize}
	\item 
Si $F=\Vetct(f_1)$, alors $(f_{1})$ est une base de $F$ et on arr\^ete le processus (on a alors $\dim(F)=1$). Sinon on prend $f_2\in F$ de sorte que $(f_1,f_2)$ soit libre. \\
\item 
Si $F=\Vetct(f_1,f_2)$, on arr\^ete le processus~; sinon on prend $f_3\in F$ tel que $(f_1,f_2,f_3)$ soit libre, etc.\\
\end{itemize}
Ce processus s'arr\^ete au plus tard au bout de $n$ \'etapes puisque dans $E$ il n'y a pas de famille libre de cardinal $n+1$.  Et donc  $\dim F\leq n=\dim E$.\\
Si on est all\'e au bout des $n$ \'etapes, c'est qu'on a trouv\'e une famille libre d'\'el\'ements de $F$ de cardinal $n$, donc une base de $E$. On a alors $F=E$.
\end{itemize}
\item Comme le montre la fin du raisonnement, on a $\dim(F)=n$ \ssi $F=E$.
\end{enumerate}\ \\[-1cm]
\cqfd

\smallskip

\begin{rem}$\bullet$ L'application "dimension"
$\dsp{\mathrm{dim} : \{\textrm{sous-espaces vectoriels de }E\}\too \N\cup\{+\infty\}}$ est donc croissante (pour l'inclusion).\\
$\bullet$ L'application "rang" $\dsp{\mathrm{rg} : \{\textrm{familles de vecteurs de }E\}\too \N\cup\{+\infty\}}$ est donc une application croissante (pour la relation \og\^etre un sous-famille de\fg) puisque c'est $\dim \circ \mathrm{Vect}$.
\end{rem}

\medskip

\subsection{Application aux suppl\'ementaires}

\smallskip

\thm
Supposons que $E$ soit de dimension finie, et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. 
Alors~:
\begin{enumerate}
\item $F$ a un suppl\'ementaire~;
\item pour tout suppl\'ementaire $G$ de $F$ on a $\dim G=\dim E-\dim F$.
\end{enumerate}
\mht

Autrement dit, en dimension finie, un suppl\'ementaire existe toujours et, s'il n'est pas unique, on peut tout de m\^eme dire que sa dimension est unique.

\rmq Ce th\'eor\`eme a aussi un {\bf analogue ensembliste}~: si $B\amalg C=A$ avec $A$ fini, alors $|B|+|C|=|A|$.
\qmr

\demo D'apr\`es la propri\'et\'e fondamentale, $F$ est de dimension finie $p\leq n$. On prend une base $\bc_F$ de $F$\bigsubline\break et on la compl\`ete par TBI en base $\bc_F\sqcup\bc_G$ de $E$. D'apr\`es le th\'eor\`eme sur les bases adapt\'ees $\bc_G$ est une base d'un suppl\'ementaire de $F$ et $\bc_G$ a pour cardinal $\dim(E)-\card(\bc_F)=n-p$.

\cqfd


\section{Applications de la formule de Grassmann}

\smallskip

\subsection{Formule de Grassmann}

\medskip

\thm[Formule de Grassmann]
Supposons $E$ de dimension finie. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors on a~: $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).\megasublined$$
\mht

\rmq On a l\`a encore un {\bf analogue ensembliste}~: si $B,C \subset A$ avec $A$ fini alors $|B\cup C|=|B|+|C|-|B\cap C|$.
\qmr

\demo

$F\cap G$ est un sev de $E$ donc est de dimension finie $m < n$.

Considérons une base  $(u_1, \ldots, u_m)$ de $F\cap G$.

\begin{itemize}
	\item Par TBI, on peut compléter en base de $F = (u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_r)$ et aussi en base de $G = (u_1, \ldots, u_m, w_1, \ldots, w_s)$
	\item Montrons que $(u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_r, w_1, \ldots, w_s)$ est une base de $F+G$.
		\paragraph{Caractère générateur}
		Soit $x\in F+G$.
		Ainsi il existe $(\vec f, \vec g)\in F \times G$ tel que $x=f+g$
		Par hypothèse,  $f$ peut s'écrire sous la forme \[
			f = \alpha u_1 + \cdots + \alpha_m u_m + \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_s v_s
		\]

		De même, \[
			g = \lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_m u_m + \mu_1 w_1 + \cdots + \mu_s w_s
		\]

		Donc
		\begin{align*}
			f+g &= (\alpha_1+\lambda_1)u_1 + \cdots + (\alpha_m +\lambda_m) u_m + \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_r v_r + \mu_1 w_1 + \cdots + \mu_s w_s \\
			&\in \Vect{u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_r, w_1, \ldots, w_s}
		\end{align*}
		\paragraph{Liberté}

		Considérons une CL nulle 
		\begin{align*}
			\alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_p u_p + \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_r v_r + \lambda_1 w_1 + \cdots \lambda_s w_s &= 0_E \\
			\ie \underbrace{\alpha_1 u_1 + \cdots + \alpha_p u_p + \beta_1 v_1 + \cdots \beta_r v_r}_{\in F} &= \underbrace{-\lambda_1 w_1 - \cdots - \lambda_s w_s}_{\in G} \\
		\end{align*}

		Donc cette quantité est dans $F\cap G = \Vect{u_1, \ldots, u_p}$

		Donc il existe $\gamma_1, \ldots, \gamma_p$ tel que
		\begin{align*}
			-\lambda_1 w_1 - \cdots - \lambda_s w_s &= \gamma_1 u_1 + \cdots + \gamma_p u_p \\
			\ie \underbrace{\sum_{k=1}^{p} \gamma_k u_k + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k w_k}_{\text{CL des vecteurs d'une base de $G$ docn libre}} &= 0_E
		\end{align*}

		Par liberté $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_s = 0$ (et les $\gamma$ aussi). Or  \begin{align*}
		\underbrace{\sum_{k=1}^{p} \alpha_k u_k + \sum_{k=1}^{r} \beta_k v_k}_{\text{CL de vecteurs d'une base de $F$ donc libre}} &= 0_E \\
		\end{align*}

		Donc par liberté 

		\begin{align*}
			\alpha_1 = \cdots = \alpha_p = \beta_1 = \cdots = \beta_r = 0
		\end{align*}

		\paragraph{Bilan}

		\begin{align*}
			\begin{cases}
			\dim F+G &= p+r+s \\
			\dim F\cap G &= p \\
			\dim F &= p+r \\
			\dim G &= p+r \\
			\end{cases}
		\end{align*}

		Donc \begin{align*}
			\dim F + \dim G - \dim(F\cap G) &= p+r+p+r-p \\
			&= p+r+s \\
			&= \dim(F+G) \\
		\end{align*}
		
\end{itemize}

%%% Celle-là est moche~:
%Comme intersection de sous-espaces vectoriels de $E$, $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Mais on a $F\cap G\subset F$ donc $F\cap G$ est aussi un sous-espace vectoriel de $F$.\\
%Comme $E$ est de dimension finie, $F$ est de dimension finie. Par cons\'equent, $F\cap G$ admet un suppl\'ementaire dans $F$. Notons $H$ un tel suppl\'ementaire, on a : $\dim(F)=\dim (F\cap G)+\dim(H)$.\\
%Montrons que $H$ et $G$ sont suppl\'ementaires dans $F+G$.
%\begin{itemize}
%\item[]$\bullet$ Pour commencer, comme $H\subset F$, il est clair que $H\subset F+G$. On a aussi bien s\^ur $G\subset F+G$. Donc $H+G\subset F+G$.\\
%Montrons qu'on a l'inclusion r\'eciproque. Soit $u\in F+G$. Il existe $(u_{F},u_{G})\in F\times G$ tel que $u=u_{F}+u_{G}$. \\
%Or $F=(F\cap G)\oplus H$ donc il existe $(v_{F\cap G},v_{H})\in (F\cap G)\times H$ tel que $u_{F}=v_{F\cap G}+v_{H}$.\\
%Ainsi $u=u_{F}+u_{G}=v_{F\cap G}+v_{H}+u_{G}=v_{H}+(v_{F\cap G}+u_{G})$, o\`u $v_{H}\in H$ et $v_{F\cap G}+u_{G}\in G$, donc $u\in H+G$.\\
%Ainsi on a d\'emontr\'e que $F+G\subset H+G$. %\\
% On a donc \'etabli, par double inclusion, que $F+G=H+G$.
%\item[]$\bullet$ Soit $u\in H\cap G$. On a $u\in H\subset F$ donc $u\in F\cap G$. Or $F=(F\cap G)\oplus H$ et $u\in (F\cap G)\cap H$ donc $u=0_{E}$.\\
%Ainsi $H\cap G\subset \{0_{E}\}$.
%L'inclusion r\'eciproque \'etant \'evidente, on a
% $H\cap G=\{0_{E}\}$.
%\end{itemize}
%Par cons\'equent $H$ et $G$ sont suppl\'ementaires dans $F+G$. On en d\'eduit~: $\dim(F+G)=\dim(H)+\dim(G)$.\\
%Or on a \'etabli en pr\'eambule la relation $\dim (F)=\dim (F\cap G)+\dim (H)$, d'o\`u $\dim(H)=\dim(F)-\dim(F\cap G)$. En rempla\c{c}ant, on trouve donc~: $\dim(F+G)=\big(\dim(F)-\dim(F\cap G)\big)+\dim(G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$.
\cqfd

\smallskip

\rmq
On retrouve qu'on a $\dim(F\oplus G)=\dim(F)+\dim(G)$.
\qmr

\smallskip

\subsection{Applications}

\thm
Soient $E_1$ et $E_2$ deux $\K$-espaces vectoriels de dimensions finies. Alors $\dim(E_1\times E_2)=\dim(E_1)+\dim(E_2)$.
\mht

\demo
Notons $F=E_1\times\{0_{E_2}\}$ et $G=\{0_{E_1}\}\times E_2$. On a $\dim(F)=\dim(E_1)$, $\dim(G)=\dim(E_2)$ et $E_1\times E_2 = F\oplus G$, d'o\`u le r\'esultat.
\cqfd


\thm[Caract\'erisation des suppl\'ementaires en dimension finie]\label{SommesDirectesEnDimensionFinie}
Supposons que $E$ soit de dimension finie $n$. Soient $F$, $G$ deux sevs de $E$. \\[0.15cm]Les propositions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $F\oplus G = E$ ;
\item $F\cap G=\{0_{E}\}$ et $\dim(F)+\dim(G)=n$~;
\item $F+G=E$ et $\dim(F)+\dim(G)=n$.
\end{enumerate}
\mht
L'implication int\'eressante est ii/$\Rightarrow$i/ car c'est elle qui permet d'\'etablir simplement que deux sevs sont suppl\'ementaires.

\demo
On utilise l'\'equivalence $F\oplus G=E \Leftrightarrow \lect{F+G=E\\F\cap G=\{0_E\}}$.
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item Les implications i/$\Rightarrow$ii/ et i/$\Rightarrow$iii/ reformulent donc la remarque 5 (ou le th\'eor\`eme 2).
\item Montrons ii/$\Rightarrow$i/.

On suppose $F\cap G=\{0_{E}\}$ et $\dim(F)+\dim(G)=\dim E$. 

Il reste \`a montrer $F+G=E$. 

\begin{align*}
	\dim(F+G)&=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G) \quad&\text{D'apr\`es Grassmann} \\
		 &= \dim F + \dim G - \dim \{0_E\}  \quad&\text{par hypothèse}\\
		 &= \dim E
\end{align*}

donc $F+G$ est un sev de $E$ de m\^eme dimension que $E$, 

donc d'apr\`es la propri\'et\'e fondamentale sur les sevs en dimension finie, on a bien $F+G=E$.
\item Montrons iii/$\Rightarrow$i/.
On suppose $F+G=E$ et $\dim(F)+\dim(G)=n$. 

Il reste \`a montrer $F\cap G=\{0_E\}$. 

\begin{align*}
	\dim(F+G) &= \dim F + \dim G - \dim(F\cap G) \quad&\text{d'après Grassman} \\ 
	\ie \dim(F\cap G) &= \dim F + \dim G - \dim(F+G)  \\
			  &= \dim E - \dim E \\
			  &= 0
\end{align*}

D'où $F\cap G = \{0_E\} $
\end{itemize}%\ \\[-1cm]
\cqfd

\exx Notons $F=\bigg\{\mvect{\lambda\\\vdots\\\lambda},\ \lambda\in\R \bigg\}$ et $G=\bigg\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}\in\R^n,\  x_1+\cdots+x_n=0\bigg\}$. \\

Retrouvons rapidement que $F$ et $G$ sont deux \sevs suppl\'ementaires de $\R^n$.


\begin{align*}
	F &=\left\{ \begin{pmatrix} \alpha \\ \vdots \\ \lambda \end{pmatrix}, \lambda\in \R \right\} \\
	  &= \Vect{\begin{pmatrix} 1\\ \vdots\\1 \end{pmatrix}}  \\
\end{align*}

Donc $F$ est un sev et $\dim F = 1$ 

\begin{align*}
	G &=\left\{\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix},\ x_1+\cdots+x_n = 0\right\}  \\
	&=\left\{\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\\ -x_1 - x_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_{n-1} \end{pmatrix} \in \R^{n-1}\right\}  \\
	&= \Vect{\underbrace{ \begin{pmatrix} 1\\0 \\ \vdots \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ldots, \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\0 \\ 1\\-1 \end{pmatrix}  }_{\text{libre}}} 
\end{align*}

Donc $G$ est un sev et $\dim G=n-1$ 

Or \begin{align*}
	F\cap G &=\left\{\begin{pmatrix} \lambda\\ \vdots\\\lambda \end{pmatrix} ,\ \lambda+\cdots+\lambda=0\right\}  \\
	&=\left\{\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\0 \end{pmatrix} \right\}  \\
\end{align*}

Ainsi \begin{align*}
	\begin{cases}
		\dim F + \dim G &= 1+n \cdot 1 = n = \dim \R^n \\
		F\cap G &= \{0_{\R^{n}}\}  \\
	\end{cases}
\end{align*}

Donc $F\oplus G = \R^n$ d'après la caractérisation des supplémentaires en dimension finie.
\xxe

\smallskip

\paragraph{Exemple 1 bis}

\begin{align*}
	E &= \mc_3(\R) \\
	F &= \ac_3(\R) = \left \{\begin{pmatrix} 0&b&c\\-b&0&f\\-c&-f&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b\\c\\f \end{pmatrix} \in \R^3\right\}  \\
	G &= \sc_4(\R) = \left \{ \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f \\c&f&c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a\\b\\ \vdots \\ f \end{pmatrix} \in \R^{6}  \right\}  \\
\end{align*}

Montrons que $F \oplus G = E$ (Généralisation d'un exercice de la feuille)

{\it On pourrait le faire par A-S, mais on peut utiliser le théorème de caractérisation}

\paragraph{Unicité de la somme}
\begin{align*}
	\ac_3(\R) \cap \sc_3(\R) &= \{M\in \mc_3(\R), ^t M = M = -M \}  \\
				 &= \{M\in \mc_3(\R), M = -M \} \\
				 &= \{ 0_{\mc_3(\R)} \} 
\end{align*}

\paragraph{Caractère générateur}

\begin{align*}
	\dim \ac_3(\R) &= \dim \Vect{ \begin{pmatrix} 0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\  \\ & (0) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 &0&0 \\ 0&0&1 \\0&-1&0 \end{pmatrix}   } \\
	&= 3 \quad\text{car $\dim\circ\Vect = \rg$ et les trois matrices sont linéairement indépendantes}
\end{align*}

\begin{align*}
	\dim \sc_3(\R) &= \dim \Vect{\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}  } \\
	&= 6 \\
\end{align*}

\begin{align*}
	\dim \ac_3(\R) + \dim \sc_3(\R) = 3 + 6  = 9 = \dim E
\end{align*}

Ainsi,

\begin{align*}
	\begin{cases}
	\ac_3(\R)\cap \sc_3(\R) &= E \\
	\dim \ac_3(\R) + \dim \sc_3(\R) &= \dim E \\
\end{cases} \ \text{donc}\ 
\ac_3(\R) \oplus \sc_3(\R) = \mc_3(\R) \quad \text{par théorème théorème de caractérisation}
\end{align*}

\medskip

\thm[Dimension d'une somme de $m$ sevs]
Soient $F_{1},\hdots,F_{m}$ des sous-espaces vectoriels de $E$, suppos\'e de dimension finie. \\Alors on a :
$\dsp{\dim\left(\sum_{i=1}^m F_{i}\right)\leq \sum_{i=1}^m \dim(F_{i})}$,
avec \'egalit\'e \ssi la somme est directe.
\mht

\demo La d\'emonstration fait l'objet d'un exercice guid\'e de la feuille d'exercices.

\begin{align*}
	\dim(F+G) &= \dim F + \dim G - \dim(F\cap G) \\
		  &\le \dim F + \dim G
\end{align*}

\begin{align*}
	\dim(F+G+H) &= \dim((F+G)+H) \\
		    &= \dim(F+G) + \dim H - \dim((F+G)\cap H) \\
		    &\le \dim(F+G) + \dim H \\
		    &\vdots \quad\text{par récurrence}
\end{align*}

\paragraph{Attention, ce qui suit est faux}

\begin{align*}
	\dim(F+G+H) &= \dim F + \dim G + \dim H \\
		    &= \dim(F\cap G)-\dim(F\cap H) - \dim(G\cap H)+\dim(F\cap G\cap H) \\
\end{align*}

c'est faux!
\begin{align*}
\end{align*}

\cqfd

\subsection{Hyperplans en dimension finie}

\smallskip

\thm
Supposons $\dim(E)=n<+\infty$. Alors un hyperplan de $E$ est exactement un sev de $E$ de dimension $n-1$.
\mht

\demo\ \\

$\bullet$ Si $H$ est un hyperplan, il a pour suppl\'ementaire une droite $D$ et

\begin{align*}
	n  &=  \dim(E)  \\
	   &=  \dim(H \oplus D)  \\
	   &=  \dim(H) + \dim(D)  \\
	   &=  \dim(H)+1
\end{align*}

$\bullet$ Si $\dim(H)=n-1$ alors d'apr\`es le th\'eor\`eme 2 $H$ a un suppl\'ementaire $D$ et $\dim(D)=n-(n-1)=1$ donc $D$ est une droite, et donc $H$ est un hyperplan.
\cqfd
On remarque que le th\'eor\`eme $2$ montre que {\bf tout} suppl\'ementaire d'un hyperplan est une droite (alors que la d\'efinition qu'on a donn\'ee \'etait qu'il existe un suppl\'ementaire qui est une droite).

\thm
Supposons $E$ de dimension finie $n$. Soient $H_1,H_2,\ldots,H_m$ des hyperplans de $E$.\subline\\
Alors on a $\dim(H_1 \cap H_2 \cap \cdots \cap H_m) \geq n-m$.
\mht

\demo La d\'emonstration fait l'objet d'un exercice guid\'e de la feuille d'exercices.
\cqfd

\medskip

On s'int\'eresse maintenant aux hyperplans de $\K^n$ pour faire le lien avec les ensembles de solutions d'un syst\`eme homog\`ene.

\medskip

\rmq
Soit $\mvect{a_1\\\vdots\\a_n}\in\K^n\setminus\{\vnul\}$. Alors $H=\left\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n},\ a_1x_1+\cdots+a_nx_n = 0\right\}$ est un hyperplan de $\K^n$.
\qmr

\demo

On suppose $\begin{pmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $. Ainsi il existe $i$ tel que $a_i\neq 0$.

\begin{align*}
	H &= \{(x_1, \ldots, x_n),\ a_1 x_1 + \cdots + \underbrace{a_i x_i}_{0} + \ldots\}  \\
	  &= \{(x_1, \ldots, x_n),\ x_i = -\frac{a_1}{a_i}x_1 - \cdots - \frac{a_n}{a_i} \}  \\
	  &= \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{i-1} \\ \sum_{j\neq i}^{n} -\frac{a_j}{a_i} \\ x_{i+1} \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_{i-1} \\ x_{i+1} \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \K^{n-1}  \right\} \\
	  &= \Vect{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -\frac{a_1}{a_i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0  \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -\frac{a_2}{a_i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \cdots, \underbrace{\begin{pmatrix} 0\\ \dots \\ -\frac{a_n}{a_i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\text{libre}}  } \\
\end{align*}

On a donc

\begin{align*}
	\dim H &= n-1 \\
\end{align*}

Donc $H$ est bien hyperplan.

%Il existe $i$ tel que $a_i\neq 0$. On a donc $H=\left\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n},\ x_i = \sum\limits_{j\neq i}\frac{-a_j}{a_i}x_j\right\}$.\\
%On en d\'eduit $H=\Vect{\mvect{1\\0\\\vdots\\0\\\frac{-a_1}{a_i}\\0\\\vdots\\0},\ldots,\mvect{0\\0\\\vdots\\1\\\frac{-a_{i-1}}{a_i}\\
%0\\\vdots\\0},\mvect{0\\0\\\vdots\\0\\\frac{-a_{i+1}}{a_i}\\1\\\vdots\\0},\ldots,\mvect{0\\0\\\vdots\\0\\\frac{-a_n}{a_i}\\0\\\vdots\\1}}$ et la famille g\'en\'eratrice qui appara\^it \'etant clairement libre~: $\dim(H)=n-1$.
\cqfd 


\thm
L'ensemble des solutions d'un syst\`eme lin\'eaire homog\`ene $\left\{\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}\in\K^n,\ \left\|\begin{array}{c}a_{1,1}x_1+\cdots+a_{1,n}x_n=0\\\vdots\\a_{m,1}x_1+\cdots+a_{m,n}x_n=0\end{array}\right.\right\}$ forme un sev de $\K^n$ de dimension sup\'erieure \`a $n-m$.\subline
\mht

\smallskip

\demo Il peut \'eventuellement y avoir des lignes de la forme $0=0$ si tous les $a_{i,j}$ de la ligne sont nuls. Notons $M\leq m$ le nombre de lignes qui n'est pas de cette forme. Ainsi $H$ est l'intersection de $M$ hyperplans de $\K^n$ d'apr\`es la remarque pr\'ec\'edente et donc est de dimension sup\'erieure \`a $n-M$ qui est lui-m\^eme sup\'erieur \`a $n-m$.
\cqfd

\medskip

{\bf Exercice bonus~:} montrer que cette dimension est exactement $n-m$ ("les \'equations sont ind\'ependantes") \ssi $\rg\mattt{a_{1,1}&\ldots&a_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}}=m$. {\it Indication~: voir ce rang comme un rang "par lignes".}

\end{document}
