\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{Espaces pr\'ehilbertiens.}}\\[0.2cm]
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre $E$ d\'esigne un $\uuline{\R}$-espace vectoriel. {\bf \`A retenir}~: la formule de projection~!\\


\smallskip
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\section{Produit scalaire}
\subsection{L'exemple du produit scalaire usuel sur $\R^n$}
\thm\label{LePsUsuelEstUnPs}\ \\[-1.05cm]\phantom{Th\'eor\`eme 1~:~~}
L'application $\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle$ est~:\supline\subline
\begin{enumerate}
\item[0.] \`a valeurs dans $\R$~;\bigsubline
\item sym\'etrique~: $\forall x,y\in\R^n,\ \langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle$~;\bigsubline
\item bilin\'eaire~: $\lect{\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\lambda\langle x,z\rangle+\mu\langle y,z\rangle  \text{ (lin\'earit\'e \`a gauche)}\\\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \langle x,\lambda y+\mu z\rangle=\lambda\langle x,y\rangle+\mu\langle x,z\rangle \text{ (lin\'earit\'e \`a droite)}~;}$
\item d\'efinie-positive~: $\lect{\forall x\in\R^n,\ \langle x,x\rangle\geq 0 \text{ (positivit\'e)}\\\forall x\in\R^n,\ \langle x,x\rangle=0 \,\Rightarrow\,  x=0_E \text{ (caract\`ere d\'efini).}}$
\end{enumerate}
\mht
\subsection{D\'efinitions}
\dfn[Produit scalaire sur $E$]
On appelle \newdef{produit scalaire sur $E$} une {\bf forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie positive sur $\pmb{E}$} \cad\subline 
\begin{enumerate}
\item[] une application $\Phi : E\times E \too \R$ telle que~:\subline
\item[1.] $\Phi$ est sym\'etrique, \ie $\forall x,y\in\R^n,\ \Phi(y,x)=\Phi(x,y)$~;\subline
\item[2.] $\Phi$ est bilin\'eaire, \ie $\lect{
\!\!\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \Phi(\lambda x+\mu y,z)=\lambda\Phi(x,z)+\mu\Phi(y,z) \text{ (lin\'earit\'e \`a gauche)}\\
\!\!\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \Phi(x,\lambda y+\mu z)=\lambda\Phi(x,y)+\mu\Phi(x,z) \text{ (lin\'earit\'e \`a droite)~;}}$
\item[3.] $\Phi$ est d\'efinie-positive, \ie $\lect{\forall x\in\R^n,\ \Phi(x,x)\geq 0 \text{ (positivit\'e)}\\\forall x\in\R^n,\ \Phi(x,x)=0 \,\Rightarrow\,  x=0_E \text{ (caract\`ere d\'efini).}}$
\end{enumerate}
\nfd
\rmq\ \\[-1cm]
\begin{enumerate}
\item Le fait que le corps soit $\R$ est donc essentiel pour pouvoir \'enoncer la positivit\'e.
\item Pour montrer la bilin\'earit\'e, il est pratique de montrer d'abord la sym\'etrie pour n'avoir que la lin\'earit\'e d'un seul c\^ot\'e \`a montrer, comme on l'a fait plus haut pour le produit scalaire usuel sur $\R^n$.
\end{enumerate}
\qmr
\nota
On utilise souvent l'une des trois notations suivantes pour d\'enoter un produit scalaire $\Phi$ sur $E$. \'Etant donn\'es deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ leur produit scalaire $\Phi(x,y)$ pourra se noter $(x|y)$ ou $\langle x,y \rangle$ ou $x\cdot y$.
\aton
\dfn\ \\[-0.85cm]
\begin{enumerate}
\item On appelle \newdef{espace pr\'ehilbertien} un $\R$-espace vectoriel muni d'un  produit scalaire $(E,\Phi)$.
\item On appelle \newdef{espace euclidien} un espace pr\'ehilbertien de dimension finie.
\end{enumerate}
\nfd
\prd[Produit scalaire canoniquement associ\'e \`a une base]
Soit $\bc=(\eps_i)_{i\in I}$ une base de $E$. \\On appelle \newdef{produit scalaire canoniquement associ\'e \`a $\bc$} l'application $\defapp{E\times E}{\R}{\dsp{\left(\sum\limits_{i\in I} x_i \eps_i,\sum\limits_{i\in I} y_i \eps_i\right)}}{\dsp{\sum\limits_{i\in I} x_iyi}.}$\\
Le produit scalaire canoniquement associ\'e \`a $\bc$ est bien un produit scalaire~!
\drp
\rmq
Dans la d\'efinition pr\'ec\'edentes, toutes les sommes sont en fait finies (il n'y a qu'un nombre fini de termes non nuls) m\^eme pour $I$ infini, et correspondent aux d\'ecompositions dans la base $\bc$, il s'agit juste d'une notation pratique pour \'eviter les doubles indices.
\qmr
\subsection{Autres exemples}
\thm Sur $E=\cc([a,b],\R)$ %, o\`u $a<b\in\R$, l'application $\dsp{\Phi = (f,g) \mapsto \int_a^b f(t)g(t)\dt}$
 le produit scalaire int\'egral $\dsp{\Phi = (f,g) \mapsto \int_a^b f(t)g(t)\dt}$ est bien un produit scalaire.
\mht
\pro[La restriction d'un produit scalaire est un produit scalaire]\label{RestrictionPs}
Autrement dit si $\Phi : E\times E \too \R$ est un produit scalaire sur $E$, et $F$ est un \sev de $E$, alors $\Phi_{|F\times F} : F\times F \too \R$ est un produit scalaire sur $F$.
\orp
\subsection{Normes et distances}
\dfn[Norme euclidienne]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien. On appelle \newdef{norme euclidienne} l'application $N : \defapp{E}{\R_+}{u}{\sqrt{\langle u,u\rangle}.}$
\nfd
\rmq\ \\[-1cm] \phantom{Remarque 3~:~~} L'application $N$ est bien d\'efinie par positivit\'e du produit scalaire.
\qmr
\nota
On utilise souvent l'une des deux notations suivantes pour d\'enoter la norme euclidienne de $(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle)$. \\\'Etant donn\'e un vecteur $x$ de $E$ sa norme euclidienne $N(x)$ pourra se noter $\|x\|$ ou $\|x\|_{{}_2}$.
\aton
\thm[In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien et $\|\cdot\|$ la norme associ\'ee. Pour tous $u,v\in E$ on a $\left|\langle u, v\rangle \right| \leq \|u\|\,\|v\|$.
\mht
\rmq C'est \'evident dans $\R^2$ (ou $\R^3$) muni du produit scalaire usuel. Une formule et un dessin~:\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\qmr
\thm[Cas d'\'egalit\'e dans Cauchy-Schwarz]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien et $\|\cdot\|$ la norme associ\'ee.\\[0.2cm]
Pour tous $u,v\in E$ on a $\left|\langle u, v\rangle\right| = \|u\|\,\|v\|$ ssi $u$ et $v$ sont colin\'eaires.
\mht
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\thm[Propri\'et\'es d'une norme]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien. La norme euclidienne $N = u \mapsto \sqrt{\langle u,u\rangle}$\subline
\begin{enumerate}
\item[] est une application $N : E\too\R_+$ qui v\'erifie~:\subline
\item[1.] l'\newdef{homog\'en\'eit\'e}~: $\forall u\in E,\ \forall \lambda\in\R,\ N(\lambda u)=|\lambda| N(u)$~;\subline
\item[2.] la \newdef{s\'eparation}~: $\forall u\in E,\ N(u)=0~~N(u) = 0 \iff u = 0_E$~;\subline
\item[3.] l'\newdef{in\'egalit\'e triangulaire}~: $\forall u,v\in E,\ N(u+v) \le N(u) + N(v)$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Identit\'es de polarisation]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$. Soient $u$, $v$ dans $E$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item $\dsp{\langle u,v\rangle = \frac{\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2}{2}}$~;
\item $\dsp{\langle u,v\rangle = \frac{\|u+v\|^2-\|u-v\|^2}{4}}$.
\end{enumerate}
\mht
\dfn[Distance euclidienne]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$.\subline\\
On appelle \newdef{distance euclidienne entre $A$ et $B$} le r\'eel positif $d(A,B)=\|B-A\|$.
\nfd
\thm[Propri\'et\'es d'une distance]
Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$. La distance euclidienne $d = (A,B) \mapsto d(A,B)$\subline
\begin{enumerate}
\item[] est une application $d : E\times E\too\R_+$ qui v\'erifie~:\subline
\item[1.] la \newdef{sym\'etrie}~: $\forall A,B\in E,\ d(A,B)=d(B,A)$~;\subline
\item[2.] la \newdef{s\'eparation}~: $\forall A,B\in E,\ d(A,B)=0 \Leftrightarrow A=B$~;\subline
\item[3.] l'\newdef{in\'egalit\'e triangulaire}~: $\forall A,B,C\in E,\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$.
\end{enumerate}
\mht
\section{Orthogonalit\'e}
\subsection{Vecteurs orthogonaux}
\dfn[Vecteur orthogonaux]
Soient $u$, $v\in E$. On dit que \newdef{$u$ et $v$ sont orthogonaux} lorsqu'on a $\langle u,v\rangle=0$.\subline\\
(C'est une relation sym\'etrique par sym\'etrie du produit scalaire.)
\nfd
\nota
On le note $u\bot v$.
\aton
\thm[Pythagore]
Soient $u$, $v\in E$. Alors on a $u\bot v\Leftrightarrow\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$.
\mht
\subsection{Familles orthogonales}
\dfn
Une famille $(u_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ est dire \newdef{orthogonale} lorsqu'on a $\forall i\neq j\in I,\ u_i \bot u_j$.
\nfd
\thm[Pythagore g\'en\'eralis\'e]
Soient $n\in\N$ et $u_1, u_2, \ldots u_n\in E$. Supposons la famille $(u_1,\ldots,u_n)$ orthogonale.\subline\\
Alors on a $\|u_1+u_2+\cdots+u_n\|^2=\|u_1\|^2+\|u_2\|^2+\cdots+\|u_n\|^2$.
\mht
\thm
Toute famille orthogonale form\'ee de vecteurs non nuls est libre.
\mht
\prd\ \\[-0.85cm]\phantom{Proposition-d\'efinition 8~:~~} Soit $\bc=(\eps_i)_{i\in I}$.
\begin{enumerate}
\item On dit que $\bc$ est une base orthogonale lorsque c'est \`a la fois une famille orthogonale et une base. Cela \'equivaut \`a dire que c'est une famille g\'en\'eratrice et orthogonale form\'ee de vecteurs non nuls.
\item On dit que $\bc$ est une base orthonorm\'ee (b.o.n.) lorsque c'est base orthogonale form\'ee de vecteurs de norme $1$. Cela \'equivaut \`a dire que $\bc$ est g\'en\'eratrice et telle que $\forall i,j\in I,\ \langle\eps_i,\eps_j\rangle = \delta_{i,j}$.
\end{enumerate}
\drp
\subsection{Sous-espaces vectoriels orthogonaux}
\dfn
Soient $F$ et $G$ deux sevs de $E$. On dit que \newdef{$F$ et $G$ sont orthogonaux} lorsqu'on a $\forall u\in F,\ \forall v\in G,\ u\bot v$.
\nfd
\nota
On le note $F\bot G$ aussi.
\aton
\rmq Si $F$ et $G$ sont orthogonaux alors $F\cap G = \{0_E\}$.
\qmr
\subsection{Orthogonal d'une partie ou d'un sev}
\dfn[Orthogonal d'une partie]
Soit $X\subset E$. On appelle \newdef{orthogonal de $X$} l'ensemble $\{v\in E,\ \forall u \in  X,\ v \bot u\}$.
\nfd
\subsection{Suppl\'ementaire orthogonal}
\subsection{Cas d'un espace euclidien}
\section{Projection orthogonale et applications}
\subsection{Formule de projection}
\subsection{Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt}
\subsection{Magie des b.o.n.}
\subsection{Distance \`a un \sev}
\end{document}