\input{../.headers/cours.tex} \renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3} %\baselineskip15pt \begin{center} \shadowbox{\LARGE \textsc{Espaces pr\'ehilbertiens.}}\\[0.2cm] \end{center} {\bf Contexte}~: dans tout le chapitre $E$ d\'esigne un $\uuline{\R}$-espace vectoriel. {\bf \`A retenir}~: la formule de projection~!\\ \smallskip \section{Produit scalaire} \smallskip \subsection{L'exemple du produit scalaire usuel sur $\R^n$} %\smallskip \exx On appelle \newdef{produit scalaire usuel sur $\R^n$} l'application $\dsp{\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle~:\defapp{\R^n\times\R^n}{\R}{\left(\mvect{x_1\\\vdots\\x_n},\mvect{y_1\\\vdots\\y_n}\right)}{\dsp{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i}.}}$\\ \xxe \underline{Objectif}~: axiomatiser la notion de produit scalaire \`a partir de cet exemple.\\[0.4cm] % Lorsqu'on d\'emontre des propri\'et\'es \`a l'aide du produit scalaire (cf cours de trigonom\'etrie ou Tacmas sur $\R^3$),\\quelles propri\'et\'es utilise-t-on~? Celles du th\'eor\`eme suivant. \thm\label{LePsUsuelEstUnPs}\ \\[-1.05cm]\phantom{Th\'eor\`eme 1~:~~} L'application $\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle$ est~:\supline\subline \begin{enumerate} \item[0.] \`a valeurs dans $\R$~;\bigsubline \item sym\'etrique~: $\forall x,y\in\R^n,\ \langle y,x\rangle=\langle x,y\rangle$~;\bigsubline \item bilin\'eaire~: $\lect{\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \langle \lambda x+\mu y,z\rangle=\lambda\langle x,z\rangle+\mu\langle y,z\rangle \text{ (lin\'earit\'e \`a gauche)}\\\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \langle x,\lambda y+\mu z\rangle=\lambda\langle x,y\rangle+\mu\langle x,z\rangle \text{ (lin\'earit\'e \`a droite)}~;}$ \item d\'efinie-positive~: $\lect{\forall x\in\R^n,\ \langle x,x\rangle\geq 0 \text{ (positivit\'e)}\\\forall x\in\R^n,\ \langle x,x\rangle=0 \,\Rightarrow\, x=0_E \text{ (caract\`ere d\'efini).}}$ \end{enumerate} \mht \demo On va constamment dans ce chapitre v\'erifier les points 1, 2, 3. Voyons ici un exemple de r\'edaction. \begin{enumerate} \item Soient $x=\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}$ et $y=\mvect{y_1\\\vdots\\y_n}$ deux vecteurs de $\R^n$. On a~:\\ $\begin{array}{lcll} \langle y,x\rangle & = & \dsp{\sum\limits_{i=1}^n y_ix_i} & \text{ par d\'efinition}\\ & = & \dsp{\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i} & \text{ par commutativit\'e du produit des r\'eels}\\[0.4cm] & = & \langle x,y\rangle & \text{ par d\'efinition}\\[0.25cm] \end{array}$ \item Pour la bilin\'earit\'e~: il suffit de d\'emontrer la lin\'earit\'e \`a gauche, car par sym\'etrie on en d\'eduit la lin\'earit\'e \`a droite.\\ Soient $x=\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}$, $y=\mvect{y_1\\\vdots\\y_n}$ et $z=\mvect{z_1\\\vdots\\z_n}$ trois vecteurs de $\R^n$, soient $\lambda$ et $\mu$ deux r\'eels. On a~:\\ $\begin{array}{lcll} \langle \lambda x+\mu y, z\rangle & = & \dsp{\sum\limits_{i=1}^n (\lambda x_i+\mu y_i)z_i} & \text{ par d\'efinition}\\ & = & \dsp{\sum\limits_{i=1}^n (\lambda x_iz_i+\mu y_iz_i)} & \text{ par distributivit\'e de $\times$ sur $+$}\\ & = & \dsp{\lambda \sum\limits_{i=1}^n x_iz_i \,+\, \mu \sum\limits_{i=1}^ny_iz_i} & \text{ par lin\'earit\'e de la somme}\\[0.45cm] & = & \lambda\langle x,z\rangle + \mu\langle y,z\rangle & \text{ par d\'efinition}\\ \end{array}$ \item Positivit\'e~: soit $x=\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}\in\R^n$.\\ On a~: $\dsp{\langle x,x\rangle = \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \geq 0}$ car un carr\'e est toujours positif et car les in\'egalit\'es sont stables par somme.\\ Caract\`ere d\'efini~: soit $x=\mvect{x_1\\\vdots\\x_n}\in\R^n$ et supposons $\dsp{\langle x,x\rangle = 0}$ \ie $\dsp{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 = 0}$. Une somme de positifs\,est\,nulle\,si\,et seulement si tous ses termes sont nuls donc $\forall i\in\{1,\ldots,n\},\ x_i^2=0$ \ie $\forall i\in\{1,\ldots,n\},\ x_i=0$ \ie $x=\vnul$.\\[-1cm] \end{enumerate} \cqfd %\smallskip \subsection{D\'efinitions} \medskip \dfn[Produit scalaire sur $E$] On appelle \newdef{produit scalaire sur $E$} une {\bf forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie positive sur $\pmb{E}$} \cad\subline \begin{enumerate} \item[] une application $\Phi : E\times E \too \R$ telle que~:\subline \item[1.] $\Phi$ est sym\'etrique, \ie $\forall x,y\in\R^n,\ \Phi(y,x)=\Phi(x,y)$~;\subline \item[2.] $\Phi$ est bilin\'eaire, \ie $\lect{ \!\!\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \Phi(\lambda x+\mu y,z)=\lambda\Phi(x,z)+\mu\Phi(y,z) \text{ (lin\'earit\'e \`a gauche)}\\ \!\!\forall x,y,z\in\R^n,\ \forall \lambda,\mu\in\R,\ \Phi(x,\lambda y+\mu z)=\lambda\Phi(x,y)+\mu\Phi(x,z) \text{ (lin\'earit\'e \`a droite)~;}}$ \item[3.] $\Phi$ est d\'efinie-positive, \ie $\lect{\forall x\in\R^n,\ \Phi(x,x)\geq 0 \text{ (positivit\'e)}\\\forall x\in\R^n,\ \Phi(x,x)=0 \,\Rightarrow\, x=0_E \text{ (caract\`ere d\'efini).}}$ \end{enumerate} \nfd Le th\'eor\`eme \ref{LePsUsuelEstUnPs} s'\'enonce donc : \og le produit scalaire usuel sur $\R^n$ est un produit scalaire \fg. \medskip \rmq\ \\[-1cm] \begin{enumerate} \item Le fait que le corps soit $\R$ est donc essentiel pour pouvoir \'enoncer la positivit\'e. \item Pour montrer la bilin\'earit\'e, il est pratique de montrer d'abord la sym\'etrie pour n'avoir que la lin\'earit\'e d'un seul c\^ot\'e \`a montrer, comme on l'a fait plus haut pour le produit scalaire usuel sur $\R^n$. \end{enumerate} \qmr \nota On utilise souvent l'une des trois notations suivantes pour d\'enoter un produit scalaire $\Phi$ sur $E$. \'Etant donn\'es deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ leur produit scalaire $\Phi(x,y)$ pourra se noter $(x|y)$ ou $\langle x,y \rangle$ ou $x\cdot y$. \aton \dfn\ \\[-0.85cm] \begin{enumerate} \item On appelle \newdef{espace pr\'ehilbertien} un $\R$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire $(E,\Phi)$. \item On appelle \newdef{espace euclidien} un espace pr\'ehilbertien de dimension finie. \end{enumerate} \nfd On peut essayer de copier-coller plus directement la d\'efinition du produit scalaire usuel de $\R^n$~: \prd[Produit scalaire canoniquement associ\'e \`a une base] Soit $\bc=(\eps_i)_{i\in I}$ une base de $E$. \\On appelle \newdef{produit scalaire canoniquement associ\'e \`a $\bc$} l'application $\defapp{E\times E}{\R}{\dsp{\left(\sum\limits_{i\in I} x_i \eps_i,\sum\limits_{i\in I} y_i \eps_i\right)}}{\dsp{\sum\limits_{i\in I} x_iyi}.}$\\ Le produit scalaire canoniquement associ\'e \`a $\bc$ est bien un produit scalaire~! \drp \rmq Dans la d\'efinition pr\'ec\'edentes, toutes les sommes sont en fait finies (il n'y a qu'un nombre fini de termes non nuls) m\^eme pour $I$ infini, et correspondent aux d\'ecompositions dans la base $\bc$, il s'agit juste d'une notation pratique pour \'eviter les doubles indices. \qmr \demo La m\^eme que pour le produit scalaire usuel de $\R^n$, qui est le produit scalaire canoniquement associ\'e \`a la base canonique de $\R^n$. \cqfd \smallskip \subsection{Autres exemples} %\smallskip \exx Sur $E=\cc([a,b],\R)$, o\`u $a \\ &= \lambda^2\langle u, u \rangle + \lambda \langle u, v\rangle + \lambda \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle \quad&\text{par bilinéarité} \\ &= \|u\|^2\lambda^2+2\langle u, v\rangle \lambda + \|v\|^2 \quad&\text{par symétrie}\\ \iff \|u\|^2 &= \langle u, u\rangle \neq 0 \quad&\text{car $u\neq 0_E$ (définie-positivité)} \\ \end{align*} Donc $\deg P(\lambda) = 2$ et le signe de $P$ ne change pas donc son discriminant $\Delta$ est négatif. \begin{align*} \Delta &= (2\langle u, v\rangle)^2 - R\|u\|^2\|v\|^2 \\ &= 4\langle u, v\rangle^2 - R\|u\|^2\|v\|^2 \\ \Delta \le 0 &\iff 4\langle u, v \rangle^2 \le 4\|u\|^2\|v\|^2 \\ &\iff \langle u, v\rangle^2 \le \|u\|^2\|v\|^2 \\ &\iff |\langle u, v\rangle| = \sqrt{\langle u, v \rangle^2} \le \|u\|\|v\| \quad&\text{par croissance de $\sqrt{} $} \end{align*} \cqfd \thm[Cas d'\'egalit\'e dans Cauchy-Schwarz] Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien et $\|\cdot\|$ la norme associ\'ee.\\[0.2cm] Pour tous $u,v\in E$ on a $\left|\langle u, v\rangle\right| = \|u\|\,\|v\|$ ssi $u$ et $v$ sont colin\'eaires. \mht \demo \emph{1er cas} ($u=0_E$) ok. \emph{2e cas} ($u\neq 0_E$) Le cas d'égalité est obtenu pour $\Delta=0$ %TODO: transformer en formel \ie dans le cas où $P(\lambda)$ a une racine $\lambda_0$ \ie lorsqu'il existe $\lambda_0\in \R$ tel que $\|\lambda_0 u + v\|^2$ \ie lorsqu'il existe $\lambda_0\in \R$ tel que $\lambda_0 u + v = 0_E$ par définie-posivité \ie lorsque $u / / v$ car $v\neq 0_E$ \cqfd \begin{appl} \begin{itemize}[$\bullet$] \item Les CCINP 76 et 79 sont essentiellement des applications de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire int\'egral.\subline \item On peut aussi traiter sur le m\^eme mod\`ele l'exercice 4-D de \href{http://mpsi.daudet.free.fr/maths/exercices/td/TD12_reels.pdf}{la feuille sur le nombres r\'eels}.\\ \end{itemize} \end{appl} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \begin{appl} Montrons qu'on a $\forall M\in\mnr,\ \mathrm{Tr}\big(M\big)^2 \leq \,n\,\mathrm{Tr}\big({}^tMM\big)$. On se place dans $(\mc_n(\R), \operatorname{Tr}(^t \cdot \ \cdot \cdot ))$ D'après cauchy-schwarz: \begin{align*} |\Tr(^t A B)| &\le \sqrt{\Tr(^t A A)\Tr(^t B B)} \\ \iff \Tr(^t A B)^2 &\le \Tr(^t A A)\Tr(^t B B) \\ \iff \Tr(M)^2 &\le n\Tr(^t M M) \quad&\text{pour $\begin{cases} A &= I_n \\ B &= M \\ \end{cases}$} \end{align*} \end{appl} \begin{appl} On peut "d\'efinir des angles" dans n'importe quel espace pr\'ehilbertien $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$.\\ Pr\'ecis\'ement, \'etant donn\'es deux vecteurs non nuls $u$ et $v$ de $E$, on peut d\'efinir \newdef{la mesure de l'angle non orient\'e $\widehat{(u,v)}$} comme \'etant le nombre $\arccos\Big(\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\cdot\|v\|}\Big)\in[0,\pi]$. \end{appl} \thm[Propri\'et\'es d'une norme] Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien. La norme euclidienne $N = u \mapsto \sqrt{\langle u,u\rangle}$\subline \begin{enumerate} \item[] est une application $N : E\too\R_+$ qui v\'erifie~:\subline \item[1.] l'\newdef{homog\'en\'eit\'e}~: $\forall u\in E,\ \forall \lambda\in\R,\ N(\lambda u)=|\lambda| N(u)$~;\subline \item[2.] la \newdef{s\'eparation}~: $\forall u\in E,\ N(u)=0~~N(u) = 0 \iff u = 0_E$~;\subline \item[3.] l'\newdef{in\'egalit\'e triangulaire}~: $\forall u,v\in E,\ N(u+v) \le N(u) + N(v)$. \end{enumerate} \mht En fait lorsque ces propri\'et\'es sont v\'erifi\'ees on dit que l'application $N$ est \newdef{une norme}, et il existe d'autres normes que les normes euclidiennes, mais elles sont seulement au programme de seconde ann\'ee. \demo % \paragraph{Homogénéité} % \begin{align*} % N(\lambda u) &= \sqrt{\langle \lambda u, \lambda u \rangle} \\ % &= \sqrt{\lambda^2\langle u, u\rangle} \quad\text{par bilinéarité}\\ % &= |\lambda| \|u\| % \end{align*} % \paragraph{Séparation} \begin{align*} N(u) &= 0 \\ \iff \sqrt{\langle u, u\rangle} &= 0 \\ \iff\langle u, u\rangle &= 0 \\ u&= 0 \quad&\text{par définie-positivité} \end{align*} % \paragraph{Inégalité triangulaire} Soit $u, v\in E$ % \begin{align*} % N^2(u+v) &= \langle u+v, u+v\rangle \\ % &= \langle u, u\rangle^2 + 2\langle u, v \rangle + \langle v, v\rangle^2 \quad&\text{par symétrie et bilinéarité} \\ % &= \|u\|^2 + 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \\ % &\le \|u\|^2 + 2|\langle u, v\rangle + \|v\|^2 \\ % &\le \underbrace{\|u\|^2 + 2\|u\|\|v\| + \|v\|^2}_{(N(u)+N(v))^2} \quad&\text{d'après Cauchy-Schwarz} % \end{align*} \cqfd \thm[Identit\'es de polarisation] Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$. Soient $u$, $v$ dans $E$. Alors~: \begin{enumerate} \item $\dsp{\langle u,v\rangle = \frac{\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2}{2}}$~; \item $\dsp{\langle u,v\rangle = \frac{\|u+v\|^2-\|u-v\|^2}{4}}$. \end{enumerate} \mht \demo %FIXME \begin{align*} \frac{\langle u+v, u+v\rangle - \langle u, u\rangle - \langle v, v\rangle}{2} &= \frac{\langle u, u\rangle + 2\langle u, v\rangle + \langle v, v\rangle - \langle u, u\rangle - \langle v, v\rangle}{2} \quad&\text{par bilinéarité et symétrie}\\ &= \langle u, v\rangle \\ \frac{\langle u+v, u+v\rangle - \langle u-v, u-v \rangle}{4} &= \frac{\langle u, u\rangle + 2\langle u, v\rangle + \langle v, v\rangle - \left( \langle u, u\rangle - 2\langle v, u\rangle + \langle v, v\rangle \right) }{4} \\ \end{align*} \cqfd Ce th\'eor\`eme indique donc qu'on peut reconstituer le produit scalaire \`a partir de la norme euclidienne. \dfn[Distance euclidienne] Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$.\subline\\ On appelle \newdef{distance euclidienne entre $A$ et $B$} le r\'eel positif $d(A,B)=\|B-A\|$. \nfd \thm[Propri\'et\'es d'une distance] Soit $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ un espace pr\'ehilbertien de norme euclidienne $\|\cdot\|$. La distance euclidienne $d = (A,B) \mapsto d(A,B)$\subline \begin{enumerate} \item[] est une application $d : E\times E\too\R_+$ qui v\'erifie~:\subline \item[1.] la \newdef{sym\'etrie}~: $\forall A,B\in E,\ d(A,B)=d(B,A)$~;\subline \item[2.] la \newdef{s\'eparation}~: $\forall A,B\in E,\ d(A,B)=0 \Leftrightarrow A=B$~;\subline \item[3.] l'\newdef{in\'egalit\'e triangulaire}~: $\forall A,B,C\in E,\ d(A,C)\leq d(A,B)+d(B,C)$. \end{enumerate} \mht \demo C'est une traduction quasi-imm\'ediate des propri\'et\'es des normes. Exercice, si tu y tiens.\cqfd \exx Dans $\cc_{2\pi}(\R,\R)$ muni du produit scalaire int\'egral, on a $d(\cos,\sin)={}_{...........}$ car~: \begin{align*} d(\cos, \sin) &= \| \cos-\sin\| = \| \sin-\cos\|\\ &= \sqrt{\langle \cos-\sin, \cos-\sin\rangle} \\ &= \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi}(\cos-\sin)^2} \\ &= \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi}\left( \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2} }{2} \cos t - \frac{\sqrt{2} }{2}\sin t \right) \right)^2 \dt} \\ &= \sqrt{\int_{-\pi}^{\pi}2 \cos^2(t+\frac{\pi}{4} \dt} \\ &= \sqrt{\int_{\pi}^{\pi} 1 + \cos(2t + \frac{\pi}{2}) \dt} \\ &= \sqrt{\int_{\pi}^{\pi} 1 - \sin 2t \dt} \\ &= \sqrt{\left[ t + \frac{\cos 2t}{2} \right]_{t=-\pi}^{\pi} } \\ &= \sqrt{2\pi} \\ \end{align*} \xxe \section{Orthogonalit\'e} Dans toute cette section, $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ d\'esigne un espace pr\'ehilbertien et $\|\cdot\|$ la norme euclidienne associ\'ee. \smallskip \subsection{Vecteurs orthogonaux} \smallskip \dfn[Vecteur orthogonaux] Soient $u$, $v\in E$. On dit que \newdef{$u$ et $v$ sont orthogonaux} lorsqu'on a $\langle u,v\rangle=0$.\subline\\ (C'est une relation sym\'etrique par sym\'etrie du produit scalaire.) \nfd \nota On le note $u\bot v$. \aton \medskip \exx~~ Dans $\cc_{2\pi}(\R,\R)$ muni du produit scalaire int\'egral, on a $\cos \bot \sin$ car~: \begin{align*} \langle \cos, \sin\rangle &= \int_{\pi}^{\pi} \cos \cdot \sin \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 2\cos \cdot \sin \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \sin(2t) \dt \\ &= \frac{1}{4} \left[ -\cos(2t) \right]_{t=-\pi}^{\pi} \\ &= 0 \\ \end{align*} \xxe \exx~~ Dans $\R^2$ muni du produit scalaire usuel, on sait bien (?) qu'un vecteur orthogonal \`a $\mvect{a\\b}$ est ${}_{..........}$. \xxe \thm[Pythagore] Soient $u$, $v\in E$. Alors on a $u\bot v\Leftrightarrow\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$. \mht \demo \begin{align*} u\bot v &\iff \langle u,v \rangle = 0 \\ &\iff 2\langle u, v\rangle = 0 \\ &\iff \|u\|^2 + 2\langle u, v\rangle + \|v\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2 \\ &\iff \|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 \quad&\text{par bilinéarité et symétrie} \end{align*} \cqfd \exx Dans $\cc_{2\pi}(\R,\R)$ muni du produit scalaire int\'egral, retrouvons $d(\cos,\sin)$. \begin{align*} d(\cos, \sin) &= \| \underbrace{\cos + (-\sin)}_{\bot} \|^2 \\ &= \|\cos\|^2 + \|\sin\|^2 \\ \|\cos\|^2 &= \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1+\cos(2t)}{2} \dt \\ &= \left[ \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} \right]_{-\pi}^{\pi} \\ &= \pi \\ \|\sin\|^2 &= \ldots = \pi \\ \end{align*} Donc \begin{align*} d(\cos, \sin)^2 &= 2\pi \\ d(\cos, \sin) &= \sqrt{2\pi} \\ \end{align*} \xxe \subsection{Familles orthogonales} \dfn Une famille $(u_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $E$ est dire \newdef{orthogonale} lorsqu'on a $\forall i\neq j\in I,\ u_i \bot u_j$. \nfd \exx Dans $\cc_{2\pi}(\R,\R)$ muni du produit scalaire int\'egral, la famille $\dsp{\Big(\cos(kt)\Big)_{k\in\N}}$ est orthogonale. $u_k := (t\mapsto \cos(kt))_{k\in \N})$ est orthogonale Soit $i\neq j\in \N$. \begin{align*} \left< t \mapsto \cos(it), t\mapsto \cos(jt) \right> &= \int_{-\pi}^{\pi} \cos(it) \cdot \cos(jt) \dt \\ &=\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos((i+j)t) + \cos((i-j)t) \dt \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin((i+j)t)}{i+j} + \frac{\sin((i-j)t)}{i-j} \right]_{t=-\pi}^{\pi} \quad&\text{car $i \pm j = 0$}\\ \end{align*} \xxe \thm[Pythagore g\'en\'eralis\'e] Soient $n\in\N$ et $u_1, u_2, \ldots u_n\in E$. Supposons la famille $(u_1,\ldots,u_n)$ orthogonale.\subline\\ Alors on a $\|u_1+u_2+\cdots+u_n\|^2=\|u_1\|^2+\|u_2\|^2+\cdots+\|u_n\|^2$. \mht Attention, c'est seulement une implication, contrairement \`a Pythagore qui est une \'equivalence. \demo Supposons $(u_1, \ldots, u_n) \bot$ \begin{align*} \left\| \sum_{i=1}^{n} u_i \right\|^2 &= \left< \sum_{i=1}^{n} u_i, \sum_{j=1}^{n} u_j \right> \\ &= \sum_{i=1}^{n} \underbrace{\sum_{j=1}^{n} \left}_{\left} \quad&\text{par bilinéarité} \\ &= \sum_{i=1}^{n} \|u_i\|^2 \\ \end{align*} \cqfd \begin{appl} Calculons $\dsp{\int_{-\pi}^{\pi} \bigg(\sum\limits_{k=1}^n \cos(kt)\bigg)^{\!2}\dt}$. $(\cos\circ(k\id))_{k\in \N}$ est orthogonale donc \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi} \left( \sum_{k=1}^{n} \cos(kt) \right) ^2 &= \sum_{k=1}^{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kt)^2 \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{-k\pi}^{k\pi} \cos(u)^2 \mathrm{d}u \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{1}{2} \frac{1}{2} (u+\sin u + \cos u) \right]_{-k\pi}^{\pi} \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k}\left( k\pi + k\pi \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \pi \\ &= n\pi \\ \end{align*} \end{appl} \label{thm10} \thm Toute famille orthogonale form\'ee de vecteurs non nuls est libre. \mht \demo Considérons une CL nulle $\alpha_1 u_{i_1} + \alpha_2 u_{i_2} + \cdots + \alpha_n u_{i_n} = 0_E$ des vecteurs d'une famille $\bot$ $(u_i)_{i\in I}$. Soit $k\in \llbracket 1, n \rrbracket$ On a \begin{align*} \langle \alpha_1 u_{i_1} + \alpha_2 u_{i_2} + \cdots + \alpha_k u_{i_k} + \cdots + \alpha_n u_{i_n}, u_{i_k} \rangle &= \langle 0_E, u_{i_k} \rangle = 0_E\\ &= \alpha_1 \left + \cdots + \alpha_k \left + \cdots + \alpha_n \left \quad&\text{par bilinéarité} \\ &= 0 + \alpha_k \left + 0 \\ \text{donc } \alpha_k \underbrace{\|u_{i_k}\|^2}_{\text{$\neq 0$ par définie positivité}} &= 0 \\ \text{donc } \alpha_k &= 0 \\ \end{align*} Ceci est vrai pour tout $k\in \llbracket 1, n\rrbracket$ donc la CL est triviale \cqfd \begin{appl} On retrouve que la famille $\dsp{\Big(\cos(kt)\Big)_{k\in\N}}$ est libre~! \end{appl} \prd\ \\[-0.85cm]\phantom{Proposition-d\'efinition 8~:~~} Soit $\bc=(\eps_i)_{i\in I}$. \begin{enumerate} \item On dit que $\bc$ est une base orthogonale lorsque c'est \`a la fois une famille orthogonale et une base. Cela \'equivaut \`a dire que c'est une famille g\'en\'eratrice et orthogonale form\'ee de vecteurs non nuls. \item On dit que $\bc$ est une base orthonorm\'ee (b.o.n.) lorsque c'est base orthogonale form\'ee de vecteurs de norme $1$. Cela \'equivaut \`a dire que $\bc$ est g\'en\'eratrice et telle que $\forall i,j\in I,\ \langle\eps_i,\eps_j\rangle = \delta_{i,j}$. \end{enumerate} \drp \demo \begin{enumerate} \item base = libre + générateur et on utilise le théorème 10 (\ref{thm10}) \item $\delta_{ij} = \begin{cases} 0 &\text{si $i=j$} \\ 1 &\text{si $i\neq j$} \end{cases}$ \end{enumerate} \cqfd \smallskip \subsection{Sous-espaces vectoriels orthogonaux} \smallskip \dfn Soient $F$ et $G$ deux sevs de $E$. On dit que \newdef{$F$ et $G$ sont orthogonaux} lorsqu'on a $\forall u\in F,\ \forall v\in G,\ u\bot v$. \nfd \nota On le note $F\bot G$ aussi. \aton \medskip \exs ~~Dans $\R^3$ muni de produit scalaire usuel. \begin{enumerate} \item \includegraphics{fig_ex_13_1.png} \item $\begin{cases} F &= \Vect{e_1} \\ G &= (Oyz) = \Vect{e_2, e_3} \\ F&\bot G \end{cases}$ \end{enumerate} \sxe \exs ~~Dans $\mnr$ muni de produit scalaire $\langle A, B\rangle = Tr({}^tA B)$, les sevs $\ac_n(\R)$ et $\sc_n(\R)$ sont orthogonaux. Soit $\begin{cases} A &\in \ac_n(\R) \\ S&\in \sc_n(\R) \end{cases}$ On a \begin{align*} \left &= \Tr(^t A S) \\ &= \Tr(-A S) \\ &= -\Tr(AS) \\ &= -\Tr(SA) \\ &= -\Tr(^t S A \\ &= - \left \\ &= -\left \quad&\text{par symétrie}\\ \implies \left &= 0 \end{align*} \sxe \rmq Si $F$ et $G$ sont orthogonaux alors $F\cap G = \{0_E\}$. \qmr \demo Supposons $F\bot G$ \fbox{ $\supset$ } ok (c'est un sev) \fbox{ $\subset $} Soit $x \in F\cap G$ On a $F\bot G \text{ ie } \forall u\in F, \forall v\in G, \left = 0$ Pour $u=v=x$ on trouve $\left = 0$ donc $x=0_E$ par définie-positivité. \cqfd \begin{appl} On retrouve qu'on a $\ac_n(\R)\oplus \sc_n(\R)$. \begin{align*} \ac_n(\R) &\bot \sc_n(\R) \\ \text{donc}\quad \ac_n(\R) \cap \sc_n(\R) &= \{(0)\} \\ \text{or}\quad \underbrace{\dim \ac_n(\R) }_{\frac{n(n-1)}{2}}+ \underbrace{\dim \sc_n(\R) }_{\frac{n(n+1)}{2}}&= n^2 \\ \end{align*} Par caractérisation des supplémentaires en dimension finie \[ \ac_n(\R) \oplus \sc_n(\R) = \mc_n(\R) \] \end{appl} On g\'en\'eralise cet exemple dans les sous-sections suivantes. %\smallskip \subsection{Orthogonal d'une partie ou d'un sev} \smallskip \dfn[Orthogonal d'une partie] Soit $X\subset E$. On appelle \newdef{orthogonal de $X$} l'ensemble $\{v\in E,\ \forall u \in X,\ v \bot u\}$. \nfd \nota On le note $X^\bot$ \aton \medskip \exx Prenons l'exemple, dans $\R^3$ muni du ps usuel, o\`u $X$ est un singleton. Soit $X = \{\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \} $ \begin{align*} X^{\bot} &= \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3, \forall u\in X, \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , u \right> =0\} \\ &= \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3, \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \right> = 0\} \\ &= \{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3, ax+by+cz=0\} \\ \end{align*} \xxe \pro Soit $X\subset E$. On a~: \begin{enumerate} \item $\mathrm{Vect}(X)^\bot=X^\bot$. \item $X^\bot$ est un sev. \end{enumerate} \orp \demo \begin{enumerate} \item \fbox{$\supset$ } Supposons $v\in \Vect{X}^{\bot}$ Ainsi $\forall u\in \Vect{X}, v\bot u$ Or $X\subset \Vect X$ donc \emph{en particulier} \begin{align*} \forall u\in X, v\bot u \text{ ie } v\in X^{\bot} \end{align*} \fbox{$\subset $ } Supposons $v\in X^{\bot}$ ie $\forall x\in X, v\bot x$ Montrons $v\in \Vect{X}^{\bot}$ \ie $\forall u\in \Vect{X}, v\bot u$ Soit $u\in \Vect X$ Ainsi $u$ peut s'écrire sous la forme \[ u = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n \] où $\begin{cases} \lambda_i &\in \R \\ x_i &\in X \end{cases}$ Donc \begin{align*} \left &= \lambda_1 \underbrace{\left }_{0}+ \cdots + \lambda_n \underbrace{\left}_{0} \quad&\text{par bilinéarité}\\ &= 0 \quad&\text{donc $u\bot v$} \\ \end{align*} \item Montrons que $X^{\bot}$ est un sev \paragraph{Méth 1} \begin{align*} X^{\bot} &= \{v\in R, \forall x\in X, \left =0\} \\ &= \bigcap_{x\in X} \{v\in E, \left =0\} \\ &= \underbrace{\bigcap_{x\in X} \underbrace{\Ker ( \underbrace{v\mapsto \left}_{AL} }_{sev}}_{sev} \\ \end{align*} \paragraph{Méth 2} Avec la définition \end{enumerate} \cqfd {\bf Bilan~:} l'op\'eration int\'eressante est~ $\cdot^\bot : \defapp{\{\text{sevs de }E\}}{\{\text{sevs de }E\}}{F}{F^\bot.}$ \pro Soient $F$, $G$ deux sevs de $E$. Alors~: \begin{enumerate} \item $F\bot G \Leftrightarrow F \subset G^\bot \Leftrightarrow G \subset F^\bot$~; \item $F^\bot$ est le plus grand sev orthogonal \`a $F$ (pour l'inclusion \'evidemment). \end{enumerate} \orp \demo Exercice. \cqfd \exs\label{PotPourri}\ \\[-0.6cm] \begin{enumerate} \item On peut reprendre l'exemple dans $\R^3$ de $F=(Ox)=\Vect{e_1}$.\\ On observe qu'on a $F^\bot=(Oyz)=\Vect{e_2,e_3}$, $\big(F^\bot\big)^\bot=F$ et $F\oplus F^\bot=E$.\subline \item On peut reprendre l'exemple dans $\mnr$ de $F=\ac_n(\R)$.\\ On observe qu'on a $F^\bot=\sc_n(\R)$, et de nouveau $\big(F^\bot\big)^\bot =F$ et $F\oplus F^\bot=E$.\subline \end{enumerate} Est-ce que \c{c}a marche tout le temps~? Non.\subline \begin{enumerate}[resume] \item On se place dans $\R[X]$ muni du produit scalaire canoniquement associ\'e \`a la base canonique.\subline\\On note $F=\Vect{X-1,X^2-1,\cdots,X^n-1,\cdots}$. Calculons $F^\bot$.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \item CCINP 39 question 3~!\subline \end{enumerate} \sxe On montre dans la suite qu'une condition suffisante pour que \og\c{c}a marche\fg{} est que $F$ soit de dimension finie. Plaçons-nous dans $\R[X]$ muni de \begin{align*} \left &= \sum_{k=0}^{n} a_i b_i \\ F &= \Vect{X-1, X^2-1, \ldots, X^{n}-1, \ldots} \\ &= \{ \sum_{k=1}^{n} \alpha_k (X^k-1), \begin{cases} n&\in \N \\ \alpha_i &\in \R \end{cases} \} \\ &= \{(-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_n) + \alpha_1 X + \cdots + \alpha_n X^n, \begin{cases} n&\in \N\\ \alpha_i&\in \R \end{cases}\} \\ F^{\bot} &= \{P\in \K[X], \forall Q\in F, \left =0\} \\ &= \{\sum_{k=0}^{n} a_k X^k, \forall Q\in F, \left<\sum_{k=0}^{n} a_kX^k, Q \right> = 0\} \\ &= \{\sum_{k=0}^{n} a_k X^k, \forall \alpha_1, \ldots, \alpha_n, \sum_{k=1}^{n} a_k \alpha_k = a_0(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n)\} \\ &= \{\sum_{k=0}^{n} a_k X^k, \forall \alpha_1, \ldots, \alpha_n, \sum_{k=1}^{n} a_k \alpha_k = \sum_{k=1}^{n} a_0 \alpha_k\} \\ \end{align*} \emph{Utilisons la base de F} Si $P\in F^{\bot}$ alors $\begin{cases} P&\bot X-1 \\ P&\bot X^2-1 \\ &\vdots \\ P &\bot X^{n}-1 \end{cases}$ \[ P = a_0 + \cdots + a_n X^n \] \begin{align*} P \bot X-1 &\iff -a_0 + a_1 = O \iff a_1 = a_0 \\ P \bot X^2-1 &\iff -a_0 + a_2 = O \iff a_2 = a_0 \\ &\vdots P \bot X^n-1 &\iff -a_0 + a_n = O \iff a_n = a_0 \\ P \bot X^{n+1}-1 &\iff -a_0 = 0 \iff a_0 = 0 \end{align*} \emph{Donc:} \[ P = 0 \] Donc $P^{\bot}=\{0\} $ \begin{align*} \begin{cases} F \oplus F^{\bot} &= F \neq E \\ (F^{\bot})^{\bot} &= \{0_E\}^{\bot} = E \neq F \\ \end{cases} \end{align*} \subsection{Suppl\'ementaire orthogonal} \dfn[Suppl\'ementaire orthogonal] Soit $F$ un sev de $E$. On dit que $F$ \newdef{a un suppl\'ementaire orthogonal} lorsqu'on a $F\oplus F^\bot=E$. \nfd Remarquons que la somme est quoi qu'il arrive directe, mais on a vu pr\'ec\'edemment qu'elle est parfois strictement incluse dans $E$. On va montrer dans cette sous-section que si $F$ est de dimension finie, alors $F$ a bien un suppl\'ementaire orthogonal (on va aussi montrer plein d'autres jolies choses au passage).\subline\\ \`A noter~: il suffit que $F$ soit de dimension finie, l'espace ambiant $E$ peut lui \^etre de dimension infinie. \lem[Suppl\'ementaire d'une droite] Soit $D$ une droite de $E$. Alors $D^\bot$ est un hyperplan. \mel \demo Notons $D=\Vect u$ avec $u\neq 0_E$ \begin{align*} D^{\bot} &= \Vect{u}^{\bot} \\ &= \{u\} ^{\bot} \\ &= \{v\in E, \left = 0_E\} \\ &= \Ker( \underbrace{v\mapsto \left}_{\text{forme linéaire non nulle car $u\neq 0_E$}} ) \\ \end{align*} C'est le noyau d'une forme linéaire non nulle \emph{donc un hyperplan} . \cqfd Un hyperplan et une droite sont toujours suppl\'ementaires quand la droite n'est pas incluse dans l'hyperplan (exercice d'alg\`ebre lin\'eaire d\'ej\`a vu). Les droites ont donc un suppl\'ementaire orthogonal, \c{c}a part bien. \thm[Existence de bases orthonorm\'ees] Soit $F$ un sev de $E$ \textbf{de dimension finie}. Alors $F$ a une base orthonorm\'ee. \mht \demo On rappelle que la restriction \`a $F$ du produit scalaire de $E$ est un produit scalaire (proposition \ref{RestrictionPs}).\\[0.1cm] \textbf{Dans toute la d\'emonstration, on se place dans l'espace euclidien $\pmb{\big(F,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)}$}. Cela signifie en particulier que les espaces orthogonaux consid\'er\'es sont pris dans $F$. Montrons le r\'esultat par r\'ecurrence, \ie montrons que pour tout entier $n\in\N$, pour tout sev $F$ de $E$ de dimension $n$, $F$ a une base orthonorm\'ee.\\[0.4cm] \recurre{Pour $n=0$ soit $F$ un sev de dimension $0$. Alors $F=\{0_E\}$ donc $F$ a bien une b.o.n.~: $\emptyset$.\\[0.2cm]} {Soit $n\in\N$ et supposons que tout sev de $E$ de dimension $n$ a une base orthonorm\'ee.\\[0.1cm] Soit $F$ un sev de $E$ de dimension $n+1$.\\[0.1cm] En particulier il existe un vecteur non nul $u\in F$ et $D=\Vect{u}$ est une droite de $F$.\\[0.1cm] D'apr\`es le lemme, l'orthogonal $O$ de $D$ dans $F$ est un hyperplan de $F$.\\[0.1cm] Attention, comme annonc\'e, l'orthogonal est ici pris dans $F$, on pourrait l'\'ecrire $O=D^\bot\cap F$ pour bien insister.\\[0.1cm] Finalement on a $\dim(O)=\dim(F)-1=n$ et donc $O$ a une b.o.n. $(u_1,\ldots,u_n)$.\\ Montrons que $\bigg(u_1,\ldots,u_n,\frac{u}{\|u\|}\bigg)$ est une b.o.n. de $F$.\\ Cette famille a $n+1=\dim(F)$ vecteurs donc il suffit de montrer qu'elle est orthonorm\'ee. Tous les vecteurs sont de norme $1$ (soit par \hdr, soit par homog\'en\'e\"it\'e). Tous les vecteurs sont bien orthogonaux entre eux (soit par \hdr, soit parce que $O$ et $D$ sont orthogonaux). C'est donc bien une famille orthonorm\'ee form\'ee de $n+1$ vecteurs, et donc une base orthonorm\'ee.\\[0.2cm]} { Elle est donc vraie pour tout entier $n\in\N$.\\[0.2cm]} {Tous les sevs de $E$ de dimension finie ont bien une b.o.n.} \cqfd \medskip \thm[Suppl\'ementaire orthogonal.]\label{SupplementaireOrthogonal} Soit $F$ un sev de $E$ \textbf{de dimension finie}. Alors $F\oplus F^\bot = E$. Autrement dit, $F$ a un suppl\'ementaire orthogonal.\subline \mht \demo Notons $p:=\dim F$ Soit $x\in E$. Considérons une décompositin convenable \begin{align*} x&= \underbrace{x_F}_{\in F}+ \underbrace{x_{F^{\bot}}}_{\in F^{\bot}} \\ \end{align*} $F$ est de dim finie $p$ donc il a une b.o.n. $(u_1,u_2,\ldots,u_p)$ Donc $x_F$ s'écrit sous la forme \begin{align*} x_F &= \lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_p u_p \\ x&= \underbrace{\lambda_1 u_1+\cdots + \lambda_p u_p}_{\bot} + \underbrace{x_{F^{\bot}}}_{\in F^{\bot}} \\ \end{align*} Pour $i \in \llbracket 1, p\rrbracket$ on a donc \begin{align*} \left &= \lambda_1 \underbrace{\left}_{0} + \cdots + \lambda_i \underbrace{\left}_{1} + \cdots + \lambda_p \underbrace{\left}_{0} + \underbrace{\left< \overbrace{x_{F^{\bot}}}^{\in F^{\bot}}, \overbrace{u_i}^{\in F} \right>}_{0} \\ \text{donc } \lambda_i &= \left \\ \text{donc } \begin{cases} x_F &= \sum_{k=1}^{p} \leftu_k \\ x_{F^{\bot}} &= x-x_F \\ \end{cases} \quad&\text{unique candidat} \end{align*} \paragraph{Synthèse} \begin{align*} \begin{cases} x= x_F + x_{F^{\bot}} & \text{non colinéaire par construction} \\ x_F \in F & \text{ car } x_F = \underbrace{\lambda_1 u_1 + \cdots + \lambda_p u_p}_{\text{CL de vecteurs de $F$}} \\ x_{F^{\bot}} \in F^{\bot} & \text{ ie} x_{F^{\bot}} \in \Vect{u_1, \ldots, u_p}^{\bot} \\ \end{cases} \\ \text{ie } x_{F^{\bot}} \in \{u_1, \ldots, u_p\} ^{\bot} \\ \text{ie } \forall i\in \llbracket 1, p\rrbracket, \left = 0 \end{align*} Soit $i\in \llbracket 1, p\rrbracket $ \begin{align*} \left &= \leftu_k, u_i \right> \\ &= \left - \sum_{k=1}^{p} \left \underbrace{\left}_{\delta_{i, k}} \quad&\text{par bilinéarité} \\ &= \left - \left \\ &= 0 \\ \end{align*} \cqfd \thm[Th\'eor\`eme de la b.o.n. incompl\`ete] Soit $F$ un sev de $E$ \textbf{euclidien}. Alors toute famille orthonorm\'ee % de vecteurs de $F$ peut \^etre compl\'et\'ee en b.o.n.\,de\,$F$.\subline \mht \demo $(u_1, \ldots, u_p)$ famille orthonormée de $F$ avec $\dim F := n < +\infty$ Elle est libre car toute famille orthogonale de vecteurs non-nuls l'est. On se place dans l'espace \emph{euclidien} $(F, \left< \cdot , \cdot \cdot \right>$ et on note $G = \Vect{u_1, \ldots, u_p}$ $G^{\bot}$ est un suppplémentaire de $G$ \emph{dans $F$} \ie $G \oplus G^{\bot} = F$ $G^{\bot}$ est de dimension finie $n-p$ donc $G^{\bot}$ a une b.o.n. (thm. 11), notons-la $(v_1, \ldots, v_{n-p})$ Alors $(u_1, \ldots, u_p, v_1, \ldots, v_{n-p})$ est une b.o.n. de $F$ : c'est une base adaptée à la somme directe. \emph{De plus} \begin{itemize} \item $\| u_i \| = \| v_j \| = 1$ par définition \item $\left = \left = 0$ par définition pour $i\neq j$ \item $\left< \underbrace{v_i}_{\in G}, \underbrace{v_j}_{\in G^{\bot}} \right> = 0$ par définition \end{itemize} \cqfd \subsection{Cas d'un espace euclidien} Dans cette sous-section, on suppose que $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ est un espace euclidien de dimension $n$. \'Evidemment, la propri\'et\'e fondamentale sur les sevs en dimension finie nous assure que tous les sevs de $E$ sont de dimension finie, donc ont un suppl\'ementaire orthogonal. C'est la f\^ete. \pro\ \\[-0.4cm] Si $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ est eucldien alors pour tout sev $F$ de $E$ on a $\lect{F\oplus F^{\bot}=E\\\big(F^\bot\big)^\bot=F.}$ \orp \demo \begin{enumerate} \item $F$ est de dimension finie (inf\'erieure \`a $\dim(E)$) donc $F\oplus F^{\bot}=E$ d'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{SupplementaireOrthogonal}.\subline \item C'est la premi\`ere question de CCINP 77.\subline\\ $\bullet$ On a toujours $F\subset \big(F^\bot\big)^\bot$~: Soit $x\in F$. Montrons $x\in \big(F^\bot\big)^\bot$. Soit $y\in F^\bot$. On a $\langle y, x\rangle = 0 \ie \langle x,y \rangle = 0$ par symétrie. Ceci est vrai pour tout vecteur $y\in F^\bot$ donc on a bien $x\in \big(F^\bot\big)^\bot$.\\[0.2cm] $\bullet$ Montrons maintenant l'\'egalit\'e des dimensions. On a vu avec le th\'eor\`eme \ref{SupplementaireOrthogonal} qu'on a $F\oplus F^{\bot}=E$, mais $F^\bot$ aussi est un sev de $E$ donc est de dimension finie, et donc le th\'eor\`eme \ref{SupplementaireOrthogonal} donne aussi $\big(F^\bot\big)^\bot\oplus F^{\bot}=E$. Ainsi $F$ et $\big(F^\bot\big)^\bot$ sont deux suppl\'ementaires de $F^\bot$ en dimension finie. Ils ont donc la m\^eme dimension.\\ $\bullet$ On a finalement $\lect{F\subset \big(F^\bot\big)^\bot\\\dim(F)=\dim\Big(\big(F^\bot\big)^\bot\Big) }$ donc $F=F^{\bot\bot}$.\\[-0.9cm] \end{enumerate} \cqfd \medskip \pro[Loi de De Morgan euclidiennes] Si $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ est eucldien alors pour tout sevs $F$ et $G$ de $E$ on a~: \begin{enumerate} \item $(F+G)^\bot=F^\bot\cap G^\bot$ (marche dans tout préhilbertien) \item $(F\cap G)^\bot=F^\bot+ G^\bot$ (ne marche que dans les euclidiens) \end{enumerate} \orp \demo C'est la deuxi\`eme question de CCINP 77. Faisons-le quand m\^eme ici~:\begin{enumerate} \item Par double inclusion. \fbox{$\subset $} Soit $x\in (F+G)^{\bot}$ Ainsi, $\forall y\in F+G, \left = 0$ \ie $\forall f\in F, \forall g\in G, \left = 0\quad(\square)$ Montrons $x\in F^\bot \cap G^\bot$ \ie $x\in F^\bot$ et $x\in G^\bot$ En particularisant $(\square)$ pour $g = 0_E\in G$, on obtient \[ \forall f\in F, \left = 0 \text{ ie } x\in F^\bot \] En particularisant $(\square)$ pour $f = 0_E\in F$, on obtient \[ \forall g\in G, \left = 0 \text{ ie } x\in G^\bot \] \fbox{$\supset$} Soit $x\in F^\bot \cap G^\bot$ \begin{table}[h] \centering \begin{tabular}{lll} &$\forall f\in F$, &$\left = 0$ \\ $+$ \\ &$\forall g\in G$, &$\left = 0$ \\\hline &$\forall f\in F, \forall g\in G,$ &$\left + \left =0$ \\ &\ie $\forall f\in F, \forall g\in G,$ &$\left =0$ par bilinéarité\\ &\ie $\forall y\in F+G$, &$\left =0$ \\ &\ie $x\in (F+G)^\bot$ \end{tabular} \end{table} \item \begin{align*} (F^\bot + G^\bot)^\bot &= F^{\bot\bot} \cap G^{\bot\bot} \\ \text{ie } (F^\bot + G^\bot)^\bot &= F\cap G \\ \text{donc } (F^\bot + G^\bot)^{\bot\bot} &= (F \cap G)^\bot \\ \text{ie } F^\bot + G^\bot &= (F \cap G)^\bot \\ \end{align*} \end{enumerate} \cqfd \thd Soit $H$ un hyperplan de $E$, o\`u $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ est euclidien.\\[0.1cm] Alors il existe un vecteur non nul $\eta$ tel que $\forall x\in E,\ x\in H \Leftrightarrow \langle x,\eta\rangle=0$.\\[0.1cm] Un tel vecteur est appel\'e \newdef{vecteur normal de $H$}. \dht Rappel~: en dimension infinie, les hyperplans peuvent ne pas avoir de vecteur normal, cf exemple \ref{PotPourri}-3. \demo $H\oplus H^\bot = E$ car on est en dimension finie donc $H^\bot =: \Vect (u)$ est une droite. (avec $u\neq 0_E$ ) \begin{align*} H &= H^{\bot\bot} = \Vect{u}^\bot \\ \end{align*} Donc pour $x\in E$ on a \begin{align*} x\in H &\iff \left = 0 \\ \end{align*} On pose $\eta = u$. \cqfd \paragraph{Hyperplan dans $\R^3$} $H$ est de la forme \begin{align*} H &= \left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \R^3, \underbrace{ ax+by+cz }_{\left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \underbrace{\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} }_{\eta} \right> } = 0 \right\} \quad&\text{avec $\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \neq \vec 0$}\\ \end{align*} \section{Projection orthogonale et applications} Dans cette section encore, $\big(E,\langle\cdot,\cdot\cdot\rangle\big)$ d\'esigne un espace pr\'ehilbertien et $\|\cdot\|$ la norme euclidienne associ\'ee, ainsi que $d$ la distance euclidienne associ\'ee. \smallskip \subsection{Formule de projection} \smallskip \dfn[Projection orthogonale] Soit $F$ un sev de $E$ qui a un suppl\'ementaire orthogonal (par exemple $F$ de dimension finie). On appelle \newdef{projection orthogonale sur $F$} la projection $p_F^\bot = p_F^{F^\bot}$. \nfd \rmq On d\'efinit de m\^eme une sym\'etrie orthogonale. Les projections et sym\'etries orthogonales sont "celles de notre enfance" dans $\R^2$ et $\R^3$ munis du produit scalaire usuel. \qmr \medskip \exx \begin{description} \item[$\R^3$ (usuel)] Soit $p \in \lc(\R^3)$ tel que \begin{align*} p \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix} \\ \end{align*} est la \emph{projection orthogonale} sur $\Vect{e_1, e_2} = F$ (on a donc $F^\bot = \Vect{e_3}$) \item[$\mc_n(\R)$ (canonique)] $p$ est la projection orthogonale sur $\sc_n(\R)$ est \begin{align*} p : \begin{cases} \mc_n(\R) &\to \mc_n(\R) \\ M&\mapsto \frac{M+{}^tM}{2} \end{cases} \end{align*} \end{description} \xxe \ \\[-1.05cm] Si vous ne retenez qu'un seul r\'esultat du chapitre, que ce soit celui-ci (s\'erieusement)~: \thm[Formule de projection]\ \\[-0.4cm] Soit $F$ un sev de dimension finie $p$ de $E$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_p)$ une b.o.n. de $F$. %Alors pour tout $x\in E$ on a $\dsp{p_F^\bot(x)=\sum\limits_{i=1}^p \langle x,\eps_i\rangle\eps_i}$. On a $\dsp{\forall x\in E,\ p_F^\bot(x)=\sum\limits_{i=1}^p \langle x,\eps_i\rangle\eps_i}$. \mht \demo On veut montrer que $(\eps_1, \ldots, \eps_n)$ b.o.n. de $F$ \begin{align*} p_F^\bot(x) &= \sum_{k=1}^{p} \left \eps_k \\ &= \left \eps_1 + \cdots + \left \eps_p \\ \end{align*} Par définition on a $p_F^\bot(x) \in F$ Donc il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$ tel que $p_F^\bot(x) = \sum_{k=1}^{p} \lambda_k \eps_k$ Calculons pour $i \in \llbracket 1, p\rrbracket$ \begin{align*} \left< p_F^\bot(x),\eps_i \right> &= \left<\sum_{k=1}^{p} \lambda_k \eps_k, \eps_i \right> \\ &= \sum_{k=1}^{p} \lambda_k \delta_{ij} \\ &= \lambda_i \\ \end{align*} De plus $x= \underbrace{p_F^\bot(x)}_{\in F} + \underbrace{(x - p_F^\bot(x))}_{\in F^\bot}$ Donc \begin{align*} \left &= \left \\ &= \left + \left< \underbrace{x-p_F^\bot(x)}_{F^\bot}, \underbrace{\eps_i}_{\in F} \right> \quad&\text{par bilinéarité} \\ &= \lambda_i \\ \end{align*} \cqfd \exs \begin{enumerate} \item \og C'est facile de projeter orthogonalement sur une droite \fg. Exemple~: \emph{Trouvons $p_F^\bot$ dans $\R^3$ pour $F = \Vect{\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} }$} \begin{enumerate} \item \emph{Trouver une b.o.n.de $F$} Une base quelconque $F$ est donc $\left( \frac{1}{\left\| \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \right\|} \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \right) $ \ie $(\eps_i) := \left( \frac{1}{\sqrt{14} } \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \right) $ \item \emph{On utilise la formule de projection} \begin{align*} p_F^\bot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &= \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, \eps_i \right> \eps_i \\ &= \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \frac{1}{\sqrt{14} } \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \right> \frac{1}{\sqrt{14} } \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{14} \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{x+2y+3z}{14} \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{14} \begin{pmatrix} x + 2x + 3z \\ 2x + 4y + 6z \\ 3x + 6y + 9z \end{pmatrix} \\ \text{ie } \Mat_{\cc}(p_F^\bot) &= \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \end{enumerate} \item \og C'est facile de projeter orthogonalement sur un hyperplan \fg. Exemple~: \emph{Trouvons $p_F^\bot$ pour $\R^3$ (usuel) avec $F = \{(x, y, z) \in \R^3, 1x+1y+1z=0\} = \Vect{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} }^\bot$} \begin{align*} p_F^\bot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} - p_{F^\bot}^\bot \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \\ \end{align*} \begin{enumerate} \item \emph{Trouver une b.o.n.} \begin{align*} \left( \frac{1}{\left\| \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right\|} \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right) &= \frac{1}{\sqrt{3} }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \implies \eps_i = \frac{1}{\sqrt{3} }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \item \emph{On utilise la formule de projection} \begin{align*} p_{F^\bot}^\bot &= \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \eps_i \right> \eps_i \\ &= \frac{1}{3} \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \\ \implies \Mat_{\cc} (p_{F^\bot}^\bot) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ \implies \Mat_{\cc} (p_{F}^{\bot}) &= I_3 - \Mat_{\cc} (p_{F^\bot}^\bot) \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \end{enumerate} \end{enumerate} \sxe Et pour les autres sevs~? Il faudrait avoir des bases orthonorm\'ees... \smallskip \subsection{Algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt} \smallskip \thm[Gram-Schmidt] Soit $F$ un sev de $E$ de dimension finie $p$ et $(u_1,\ldots, u_p)$ une base de $F$.\\[0.1cm] Alors il existe une b.o.n. $(\eps_1,\ldots,\eps_p)$ de $F$ telle que $\forall i\in\{1,\ldots,p\},\ \Vect{\eps_1,\ldots,\eps_i}=\Vect{u_1,\ldots,u_i}$.\\[0.1cm] De plus, si on impose $\forall i\in\{1,\ldots,p\},\ \langle u_i,\eps_i\rangle>0$, alors la base $(\eps_1,\ldots,\eps_p)$ est unique. \mht \demo Pour l'existance, on décrit \emph{l'algorithme d'orthogonalisation} de Gran-Schmidt \begin{enumerate}[Etape 1] \item On cherche $(\eps_1)$ orthonormée tel que $\Vect{\epsilon_1} = \Vect{u_1}$ On pose $\epsilon_1 = \frac{u_1}{\| u_1\|}$ et on a bien $\begin{cases} \| \epsilon_1 \| & \quad\text{par homogénéité} \\ \Vect{\epsilon_1} = \Vect{u_1} & \quad\text{car $v_1 // \epsilon_1 $} \end{cases}$ \begin{tikzpicture} \draw (-2, 0) -- (2, 0); \draw[->] (-1, 0) -- (0.5, 0) node{$\epsilon_1$ }; \draw[->] (0, 0) -- (1, 0) node{$u_1$}; \end{tikzpicture} \item On cherche $\epsilon_2$ tel que $\left( \epsilon_1, \epsilon_2 \right) $ orthonormée et $\Vect{u_1, u_2} = \Vect{\epsilon_1, \epsilon_2}$ %TODO: includefig On note $p_2 = p_{\Vect{\epsilon_1}}^\bot = \left \epsilon_1$ par formule de projection Puis $v_2 = u_2 - p_2$ de sorte que \begin{align*} \left &= \left \\ &= \left - \left \\ &= \left - \left<\left \epsilon_1, \epsilon_1 \right> \\ &= \left - \left \| \epsilon_1\|^2 \\ &= 0 \\ \end{align*} Puis $\epsilon_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|}$ On a bien $(\epsilon_1, \epsilon_2)$ orthonormée par construction $\Vect{u_1, u_2} = \Vect{\epsilon_1, \epsilon_2}$ (lemme CL de CL) %TODO includefig On pose $p_3 = p_{\Vect{\epsilon_1, \epsilon_2}}^\bot (u_3) = \left \epsilon_1 + \left \epsilon_2$ par formule de projection Puuis \begin{align*} v_3 = u_3 - p_3 &\bot \Vect{\epsilon_1, \epsilon_2} \quad&\text{par construction} \\ \epsilon_3 &= \frac{v_3}{\|v_3\|} \\ \end{align*} On a bien les propriétés demandées. \item[$p$] Étant construits $(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_{p-1})$ On pose $p_p = p_{\Vect{\epsilon_1, \ldots, \epsilon_{p-1}}}^\bot = \left \epsilon_1 + \cdots + \left \epsilon_{p-1}$ par formule de projection Puis \begin{align*} v_p &= u_p - p_p \\ \epsilon_p &= \frac{v_p}{\|v_p\|} \\ \end{align*} \end{enumerate} \cqfd \exs \begin{enumerate} \item Dans $\R^3$ muni de son ps usuel, gram-schmidtons $\left(\mvect{0\\1\\1},\mvect{1\\0\\1},\mvect{1\\1\\0}\right)$. \begin{enumerate} \item \begin{align*} \epsilon_1 &= \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \item \begin{align*} v_2 &= u_2 - p_{\Vect \epsilon_1}^\bot (u_2) \\ &= u_2 - \left \epsilon_1 \\ &= \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \left< \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ \implies \epsilon_k &= \frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{1}{\sqrt{6} }\begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \item \begin{align*} v_3 &= u_3 - p_{\Vect{\epsilon_1, \epsilon_2}}^\bot (u_3) \\ &= u_3 - \left \epsilon_1 - \left \epsilon_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \left<\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} - \frac{1}{6} \left<\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} - \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 6\\6\\0 \end{pmatrix} -\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0\\3\\3 \end{pmatrix} - \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 4\\4\\-4 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} \\ &= \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \\ \implies \epsilon_3 &= \frac{v_3}{\| v_3 \|} \\ &= \frac{\frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} }{\| \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} \|} \\ \end{align*} \end{enumerate} \item Dans $\R_2[X]$ muni du ps int\'egral entre $0$ et $1$, gram-schmidtons la base canonique. \begin{itemize} \item $\epsilon_1 = \frac{1}{\| 1\|}$ $\| 1\|^2 = \int_0^1 1^2 \mathrm{d}X = 1$ donc $\epsilon_1 = 1$ \item $p_2 = p_{\Vect{\epsilon_1}}^\bot X \cdot 1 = \frac{1}{2}$ \item $v_2 = X - \frac{1}{2}$ \item $\epsilon_3 = \frac{v_2}{\|v_2\|}$ \begin{align*} \| X-\frac{1}{2}\|^2 &= \int_0^1 \left( X-\frac{1}{2} \right)^2 \\ &= \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} t^2 \dt \quad&\text{$t = X-\frac{1}{2}$} \\ &= \frac{1}{12} \\ \end{align*} \item \begin{align*} p_3 &= p_{\Vect{\epsilon_1, \epsilon_2}}^\bot (X^2)\\ &= \left 1 + \left \sqrt{12} (X-\frac{1}{2}) \\ &= \int_0^1 X^2 \cdot 1 + 12 \left (X-\frac{1}{2}) \\ &= \frac{1}{3} + 12 \int_0^1 \left(X^3 - \frac{X^2}{2}\right) \left( X - \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{3} + 12 \left[ \frac{X^4}{4} - \frac{X^3}{6} \right]_0^1 \left( X-\frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{3} + \underbrace{12\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) }_{1} \left( X-\frac{1}{2} \right) \\ &= X - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ &= X - \frac{1}{6} \\ v_3 &= X^2 - p_3 = X^2-X+\frac{1}{6} \\ \epsilon_3 = \frac{X^2-X+\frac{1}{6} }{\| X^2-X+\frac{1}{6} \|} \\ \| X^2-X+\frac{1}{6} \| &= \int_0^1 \left( X^2-X+\frac{1}{6} \right)^2 \\ &= 180 &= \frac{1}{5 \cdot 36} \\ \\ \epsilon_3 &= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{5 \cdot 36}} } \left( X^2-X+\frac{1}{6} \right) \\ &= 6\sqrt{5} \left( X^2-X+\frac{1}{6} \right) \\ &= \sqrt{5} (6X^2-6X+1) \\ \end{align*} \end{itemize} \end{enumerate} \paragraph{Application bonus} \begin{align*} E &= R^4 \quad\text{usuel} \\ F &= \Vect{\begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\2\\0\\0 \end{pmatrix} } \\ p_F^\bot \begin{pmatrix} x\\y\\z\\t \end{pmatrix} &= ? \\ \end{align*} Utilisons la \emph{formule de projection} On cherche une \emph{b.o.n.} de $F$. Gram-Schmidtons \begin{itemize} \item $\epsilon_1 = \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} $ \item \begin{align*} p_2 &= p_{\Vect{\epsilon_1}}^\bot (u_2) \\ &= \left \epsilon_1\\ &= \frac{1}{2} \underbrace{\left<\begin{pmatrix} 1\\2\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \right> }_{1} \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\0\\ \frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix} \\ v_2 &= u_2 - p_2 = \begin{pmatrix} 1\\2\\0\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\0\\\frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\2\\-\frac{1}{2}\\0 \end{pmatrix} / / \begin{pmatrix} 1\\4\\-1\\0 \end{pmatrix} \\ \epsilon_2 &= \frac{v_2}{\| v_2 \|} \\ &= \frac{1}{\sqrt{18} } \begin{pmatrix} 1\\4\\-1\\0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1\\4\\-1\\0 \end{pmatrix} \\ \end{align*} D'où pour $\begin{pmatrix} x\\y\\z\\t \end{pmatrix} \in \R^4$ \begin{align*} p_F^\bot &= \left<(x, y, z, t), \epsilon_1 \right>\epsilon_1 + \left<(x, y, z, t), \epsilon_2 \right> \epsilon_2 \\ &= \frac{1}{2} \left<(x, y, z, t), (1, 0,1, 0) \right> (1, 0, 1, 0) + \frac{1}{18} \left<(x, y, z, t), (1, 4, -1, 0) \right> \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{18} \left( (9x+9z) \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\0 \end{pmatrix} + (x+4y-z) \begin{pmatrix} 1\\4\\-1\\0 \end{pmatrix} \right) \\ &= \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 10x + 4y + 8z \\ 4x + 16y - 4z \\ 8x - 4y + 10z \end{pmatrix} \\ \Mat_{\cc}(p_F^\bot) &= \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 10 & 4 & 8 &0 \\ 4 & 16 & -4 & 0 \\ 8 & -4 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \end{itemize} \sxe \smallskip \subsection{Magie des b.o.n.} \smallskip \thm[D\'ecomposition en b.o.n.] Supposons que $(\eps_i)_{i\in I}$ forme une b.o.n. de $E$. Tout vecteur $x\in E$ se d\'ecompose dans cette base $\dsp{x=\sum\limits_{i\in I}\langle x,\eps_i\rangle \eps_i}$.\\ (La somme est bien finie~: elle n'a qu'un nombre fini de termes non nuls.) \mht \demo Pour $E$ de dimension finie, c'est juste la formule de projection.\\[0.3cm] Sinon~: on copie la d\'emonstration de la formule de projection.\\[0.35cm] Soit $x\in E$. Par d\'efinition d'une base il peut s'\'ecrire de fa\c{c}on unique sous la forme $x=\lambda_1\eps_{i_1}+\ldots+\lambda_n\eps_{i_n}$.\\[0.1cm] Pour $p\in\{1,\ldots,n\}$ on a bien, par bilin\'earit\'e~: $\dsp{\langle x,\eps_{i_p}\rangle = \langle \sum_{k=0}^n \lambda_k\eps_{i_k},\eps_{i_p}\rangle = \sum_{k=0}^n \lambda_k \langle \eps_{i_k},\eps_{i_p}\rangle = \sum_{k=0}^n \lambda_k \delta_{k,p} = \lambda_p}$.\\ Pour $i\notin\{i_1,\ldots,i_n\}$ on a bien, par bilin\'earit\'e~: $\dsp{\langle x,\eps_{i}\rangle = \langle \sum_{k=0}^n \lambda_k\eps_{i_k},\eps_{i}\rangle = \sum_{k=0}^n \lambda_k \langle \eps_{i_k},\eps_{i}\rangle = \sum_{k=0}^n \lambda_k\cdot 0 = 0}$. \cqfd \thm[Expression du produit scalaire et de la norme en b.o.n.] Supposons que $(\eps_i)_{i\in I}$ forme une b.o.n. de $E$. Soient $x$ et $y$ dans $E$.\\[0.2cm] Notons $\dsp{\lect{x = \sum\limits_{i\in I} x_i\eps_i\\y = \sum\limits_{i\in I} y_i\eps_i}}$ (les $x_i$ sont les $\langle x,\eps_i\rangle$, seuls un nombre fini d'entre eux sont non nuls, idem pour les $y_i$).\\ \begin{enumerate} \item On a $\dsp{\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i\in I} x_i y_i}$ (c'est une somme finie~: seul un nombre fini de termes sont non nuls). \item On a $\dsp{\| x \|^2 = \sum\limits_{i\in I} x_i^2}$ (c'est une somme finie~: seul un nombre fini de termes sont non nuls). \end{enumerate} \mht \demo\subline \begin{enumerate} \item C'est juste la bilin\'earit\'e~: $\dsp{\langle x, y\rangle = \Big\langle \sum\limits_{i\in I} x_i\eps_i, \sum\limits_{j\in I} y_j\eps_j\Big\rangle = \sum\limits_{i\in I} \sum\limits_{j\in I} x_iy_j\langle\eps_i,\eps_j\rangle = \sum\limits_{i\in I} \sum\limits_{j\in I} x_iy_j\delta_{i,j} = \sum\limits_{i\in I} x_i y_i}$. \item C'est juste le cas $y=x$. \end{enumerate} \ \\[-0.5cm]\cqfd \attention{Autrement dit, si on a une b.o.n. $\bc$ quelconque de $E$, alors n\'ecessairement \textbf{le produit scalaire de $\pmb{E}$\\\phantom{c'} est le produit scalaire canoniquement associ\'e \`a $\pmb{\bc}$.}}\\[0.4cm] \subsection{Distance \`a un \sev} \smallskip \dfn Soit $A\in E$ et $\pc\subset E$, $\pc\neq \emptyset$. On appelle \newdef{distance de $A$ \`a $\pc$} le r\'eel $\dsp{d(A,\pc) = \inf\limits_{B\in \pc} d(A,B)}$. \nfd Un dessin~: \newpage \thm[de projection orthogonale] Soit $F$ un sev de $E$ de dimension finie, soit $A\in E$. Alors $d(A,F)=d\Big(A,\,p_F^\bot(A)\Big)$. \mht \demo Il est clair que $p_F^\bot(A) \in F$. \emph{Reste à montrer} $\forall B\in F, d(A, B) \ge d(A, p_F^\bot(A))$ Soit $B \in F$. \begin{align*} d(A, B)^2 &= \| B - A \|^2 \\ &= \| B - p_F^\bot(A) + p_F^\bot(A) - A \|^2 \quad&\text{on fait un crochet par le 3e côté} \\ &= \| \underbrace{B - p_F^\bot(A)}_{\in F} + \underbrace{p_F^\bot(A)-A}_{\in F} \\ &= \underbrace{\| B - p_F^\bot(A) \|^2 }_{\ge 0}+ \underbrace{\| p_F^\bot-A) - A\|^2 }_{d(A, p_F^\bot(A))^2}\\ &\ge d(A, p_F^\bot-A))^2 \text{ie } d(A, B) &\ge d(A, p_F^\bot(A)) \quad&\text{par croissance de $\sqrt{} $} \end{align*} \cqfd \exs \begin{enumerate} \item Dans $\R^3$ muni de produit scalaire usuel, calculons la distance de $\mvect{1\\2\\3}$ \`a la droite $\Vect{\mvect{1\\1\\1}}$. \begin{enumerate} \item \emph{On cherche une b.o.n. de $F$} C'est $\left( \underbrace{\frac{1}{\sqrt{3} }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} }_{\epsilon_1} \right) $ \item \emph{Calcul de la projection} \begin{align*} p_F^\bot(A) &= \frac{1}{3} \left<\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right> \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} 6 \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \\ \end{align*} \item \emph{Calcul de la distance} \begin{align*} d(A, F) &= \left\| A - p_F^\bot(A) \right\| \\ &= \left\| \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \right\| \\ &= \left\| \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \right\| \\ &= \sqrt{2} \\ \end{align*} \end{enumerate} \item Calculons $\dsp{\inf\limits_{(a,b)\in\R^2} \int_{-\pi}^{\pi} \Big(t-a\cos(t)-b\sin(t)\Big)^2\dt}$ \begin{align*} \underbrace{\inf\limits_{(a,b)\in\R^2} }_{} & \underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} \Big(t-a\cos(t)-b\sin(t)\Big)^2\dt }_{} \\ \overbrace{\inf\limits_{B\in F}}_{} & \overbrace{d(A, B)^2}_{} \\ E &= \cc([-\pi, \pi], \R) \\ \left &= \int_{-\pi}^{\pi} f \cdot g \\ F &= \Vect{\cos, \sin} \\ A &= t \mapsto t \\ \end{align*} \end{enumerate} On cherche donc \begin{align*} d(A, F)^2 &= d(A, p_F^\bot(A))^2 \\ p_F^\bot(A) &= ? \\ \end{align*} Or $\cos\bot \sin$ et $\|\cos\| = \|\sin\| = \sqrt{\pi} $ Donc $(\frac{\cos}{\sqrt{\pi} }, \frac{\sin}{\sqrt{\pi} })$ forme une b.o.n. de $F$ \begin{align*} p_F^\bot(A) &= \left \epsilon_1 + \left \epsilon_2 \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^\pi t \cos t \dt \right) \cos + \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{\pi} t \sin t \dt \right) \sin \\ &= \frac{1}{\pi} \left( \left[ -\id \cos \right]_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^\pi \cos \right) \\ &= \frac{1}{\pi} ( (\pi + \pi) + \left[ \sin \right]_{-\pi}^\pi ) \sin \\ &= 2 \sin \\ \end{align*} D'où \begin{align*} \inf_{(a, b) \in \R^2} \int_{-\pi}^{\pi} (t - a \cdot \cos t - b \sin t)^2 \dt &= d(A, F)^2 \\ &= d(A, p_F^\bot(A))^2 \\ &= d(\id, 2\sin)^2 \\ &= \| \id - 2 \sin\|^2 \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} (t - 2 \sin t)^2 \dt \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} \id^2 - 4 \int_{-\pi}^{\pi} \id \cdot \sin + 4 \int_{-\pi}^{\pi} \sin ^2 \\ &= \frac{2\pi^3}{3} - 8\pi + 4\pi \\ &= \frac{2\pi^3}{3}-4\pi \\ \end{align*} \sxe \thm[Distance \`a un hyperplan en dimension finie] On suppose $E$ euclidien. Soit $H$ un hyperplan de vecteur normal unitaire $\eta$ et $A\in E$. Alors $d(A,H)=\big|\langle A,\eta\rangle\big|$. \mht \demo \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{./fig_thm_20.png} \end{figure} On a \begin{align*} d(A, H) &= d(A, p_F^\bot(A)) \\ &= \| \underbrace{A - p_H^\bot(A)}_{} \| \\ &= \| \underbrace{p_H^\bot(A) + p_{H^\bot}^\bot(A)}_{A} - p_H^\bot(A) \| \\ &= \| p_{H^\bot}^\bot \| \\ &= \| p_{\Vect \eta}^{\bot}(A) \| \\ &= \| \left \eta \| \\ &= | \left | \cdot 1 \quad&\text{par homogénéité} \\ \end{align*} \cqfd \begin{appl} Dans $\R^3$ muni du produit scalaire usuel. Soit $H=\left\{\mvect{x\\y\\z},\ ax+by+cz=0\right\}$ et $M=\mvect{x\\y\\z}\in \R^3$.\\ Alors $d\left(M,H\right)=\frac{|ax+by+cz|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. \end{appl} \demo $H = \{(x, y, z), ax+by+cz = 0\} $ a pour vecteur normal $\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} $ donc pour vectuer normal unitaire $\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} } \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} $ \begin{align*} d(\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} , H) &= \left| \left<\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ,\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} } \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \right> \right| \\ &= \frac{|ax+by+cz|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} } \\ \end{align*} \cqfd \rmq C'est un cas particulier d'un r\'esultat vu (?) en TS~:\supline\\[0.2cm] Si $\pc$ a pour \'equation $ax+by+cz+d=0$ alors $d\left(\mvect{x\\y\\z},\,\pc\right)=\dfrac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+d} }$.\\[0.4cm] Mais pour le retrouver, il va falloir faire le cours sur les sous-espaces affines~! \qmr \end{document}