"Développements limités"
subtitle Notes additionnelles
by Ewen Le Bihan
on 2021

// NEW!
// operatornames is like the old "operators"
// while the new "functions" declares _macro names_ as functions
// whereas operatornames is just for $ in split(#1)( ) do $ := o"$" done
// END

operatornames id

inv := #1^(-1)

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=== Obtenir un  DL_n(0)  de  f:RR->RR  avec le  DL_n(0)  de sa réciproque

1. On prouve que

   -  f in c"C"^n(RR, RR)
   -  inv f  existe et a un  DL_n(0)  _que l'on connaît déjà_

2. On dit qu'il existe  a_1, a_2, ..., a_n in RR  tel que:

   	forall x in RR, f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n + O(x^n)
   
3. On pose  y = "le  DL_n(0)  de  f^(-1)"

4. On calcule  y^2, y^3, ... y^n

5. On fait  inv f ° f = id_RR  , d'où

	inv(f)(f(x)) 	= a_1("les  x^1  du DL de  f") + a_2("les  x^2  du DL de  f") + ... + a_n("les  x^n  du DL de  f")
			= (x + o(x^n))__"DL de  id_RR"

6. On résout le sytème linéaire:

	@cases
		a_1 = "coef devant le  x^1" = 1
		a_2 = "coef devant le  x^2" = 0
		vdots
		a_n = "coef devant le  x^n" = 0

Et on trouve les  a_k, k in [|1, n|]  .

7. On injecte les valeurs des  a_k  , d'où le  DL_n(0)  de  f.