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\begin{document}
\setcounter{section}{1}

\section{Déterminants de $n$ vecteurs}

\subsection{Définition}

\begin{definition}[Déterminant dans la base $\bc = (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n)$ de $E$]
	\begin{align*}
		\det_{\bc} &: \begin{cases}
			E^n &\to \K \\
			(x_1, \ldots, x_n) &\mapsto \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n x_{\sigma(i),i}
		\end{cases}
	\end{align*}

	où $\forall j, \decomp{j}{\bc} = \begin{pmatrix} x_{1j}\\ \vdots \\ x_{nj} \end{pmatrix} $
\end{definition}

\begin{remarque}
	$\det_{\bc}(\bc) = 1$
\end{remarque}

\begin{lemme}
	Soit $\bc$ une base de  $E$.

	\begin{align*}
		\forall f\in \ac_n(E), f = f(\bc)  \cdot \det_{\bc}
	\end{align*}
\end{lemme}

\begin{demo}
	$\ac_n(E)$ est une droite!

	\begin{align*}
		\ac_n(E) &= \Vect \det_{\bc} \\
	\end{align*}

Donc il existe $\lambda\in \K$ tel que 
\begin{align*}
	f&= \lambda \det_{\bc} \\
\end{align*}

On évalue en $\bc$

	\[
		f(\bc) = \lambda\det_{\bc}(\bc) = \lambda
	\] 

\end{demo}

\begin{theoreme}[Formule de changement de base]
	Soient $\bc_1, \bc_2$ deux bases.

	\begin{align*}
		\det_{\bc_1} &= \det_{\bc_1}(\bc_2)\det_{bc_1} \\
	\end{align*}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	$f = \det_{\bc_2} \in \ac_n(E)$. On applique le lemme pour $\bc = \bc_1$
\end{demo}

``Si on change de base, le déterminant est multiplié par une constante, qui est $\det_{\bc_2}(\bc_1)$''

\begin{exemple}
	\begin{align*}
		\begin{cases}
			E &= \R^2 \\
			\cc &= (e_1, e_2) \\
			\bc &= \left( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}  \right)  \\
		\end{cases}
	\end{align*}

$\bc$ est bien une base de $\R^2$ car $\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \not\parallel \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} $ 

\begin{align*}
	\det_{\bc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}  \right) 
\end{align*}

\begin{methode}[On utilise la définition]
	\begin{align*}
		\decomp{\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} }{\bc} = \begin{pmatrix} \lambda\\\mu \end{pmatrix} &\iff \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}  \\
													       &\iff \begin{cases}
														       x&= \lambda+2\mu \qquad (L_1) \\
														       y&= 2\lambda+\mu \qquad (L_2) \\
													       \end{cases} \\
													       &\iff \begin{cases}
														       x-2y &= -3\lambda \qquad (L_1-2L_2) \\
														       y-2x &= -3\mu \qquad (L_2-2L_1) \\
													       \end{cases} \\
													       &\iff \begin{cases}
															\lambda &= \frac{2y-x}{3} \\
															\mu&= \frac{2x-y}{3} \\
													       \end{cases}
	\end{align*}

	% De même, \begin{align*}
	% 	\decomp{\begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix} }_{\bc} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} &\iff \begin{cases}
	% 		\alpha&= \frac{2t-z}{3} \\
	% 		\beta&= \frac{2z-t}{3} \\
	% 	\end{cases}
	% \end{align*}

	\begin{align*}
		\det_{\bc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}  \right) &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}_{\sigma(1), 1} \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix} _{\sigma(2),2} \\
		&= \underbrace{\lambda B}_{\sigma=\id} - \underbrace{\mu \alpha}_{\sigma = \tau_{ij}} \\
		&= \frac{2y-x}{3} \frac{2z-t}{3} - \frac{2x-y}{3} \frac{2t-z}{3} \\
		&= \frac{4yz-2yt-2xz+xt-(4xt-2xz-2yt+yz)}{9} \\
		&= \frac{3yz-3xt}{9} \\
		&= \frac{xt-yz}{-3} \\
	\end{align*}
\end{methode}

\begin{methode}[Formule de changement de base]
	\begin{align*}
		\det_{\bc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}  \right) &= xt-yz \\
		\det_{\cc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}  \right) &= \det_{\cc} (\bc) \det_{\bc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}   \right) \quad&\text{par changement de base} \\
		\ie xt - yz &= (-3)  \cdot \det_{\bc}\left( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z\\t \end{pmatrix}  \right)  \\
	\end{align*}
\end{methode}
\end{exemple}

\begin{corollaire}
	Soient $\bc_1, \bc_2$ deux bases.

	\begin{align*}
		\det_{\bc_1}(\bc_2)  \times \det_{\bc_2}(\bc_1) &= 1 \\
	\end{align*}
\end{corollaire}

\begin{demo}
	\begin{align*}
		1 &= \det_{\bc_1}(\bc_1) \\
		  &= \det_{\bc_1}(bc_2) \cdot \det_{\bc_2}(\bc_1) \quad&\text{par changement de base} \\
	\end{align*}
\end{demo}

\subsection{Déterminants et bases}

\begin{theoreme}
	Soit $\uc$ une famille de $n$ vecteurs de $E$. Sont équivalentes:

	\begin{enumerate}
		\item $\uc$ est une base de  $E$ 
		\item $\forall \bc \text{ base de $E$}, \det_{\bc}(\uc) \neq 0$
		\item $\exists \bc \text{ base de $E$}, \det_{\bc}(\uc) \neq 0$
	\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	\begin{description}
		\item[$1 \implies 2$] On suppose que $\uc$ est une base.
			Soit $\bc$ une base.
			Alors \begin{align*}
				\det_{\bc}(\uc) \times \det_{\uc}(\bc) &= 1 \neq 0 \\
				\text{donc }  \begin{cases}
					\det_{\bc}(\uc) &\neq 0 \\
					\det_{\uc}(\bc) &\neq 0
				\end{cases}
			\end{align*}

		\item[$2 \implies 3$] Par existance des bases.
		\item[$3 \implies 1$] Par contraposition.

			On suppose que $\uc$ n'est pas une base.
			Comme $\uc$ a $n$ vecteurs, $\uc$ est liée.

			$\uc$ est de la forme $(u_1, \ldots, u_{i-1}, \sum_{i\neq j} \lambda_j u_j , u_{i+1}, \ldots, u_n)$

			Montrons $\forall \bc\text{ base de $E$}, \det _{\bc}(\uc) = 0$ 


			Soit $\bc$ une base de $E$.

			\begin{align*}
				\det_{\bc}\left(u_1, ..., u_{i-1}, \sum_{i\neq j} \lambda_j u_j, u_{i+1}, \ldots, u_n\right) &= \sum_{i\neq j} \lambda_j \det_{\bc} (u_1, \ldots, u_{i-1}, u_j, u_{i+1}, \underbrace{\ldots}_{\text{un atreu $u_j$}}, u_n) \\
				&= \sum_{i\neq j} \lambda_j  \times 0 = 0 \\
			\end{align*}
	\end{description}
\end{demo}

\begin{remarque}[$\K=\R$]
	Soient $\bc_1$, $\bc_2$ deux bases.
	Alors

	\begin{align*}
		\det_{\bc_1}(\bc_2) > 0 &\xor \det_{\bc_1} < 0
	\end{align*}
\end{remarque}

\begin{definition}
	Pour $\K=\R$, on dit que \emph{deux bases $\bc_1$ et $\bc_2$ ont la même orientation} lorsque $\det_{\bc_1}(\bc_2) > 0$
\end{definition}

\begin{theoreme}
	Pour $\K=\R$ et $n\ge 1$, la relation ``avoir la même orientation'' est une relation d'équivalence ayant exactement 2 classes d'équivalences
\end{theoreme}

\begin{demo}
	exo
\end{demo}

\paragraph{}
\emph{Orienter $E$}, c'est choisir une base remarquable $E$ et la décrété \emph{directe}.

Cela détermine toutes les bases directes et toutes les bases indirectes.

Si $E$ a une bases canonique, on la décrète \emph{directe} !

\begin{lemme}
	On suppose $\K=\R$ et  \emph{$E$ euclidien}.
	Soient $\bc_1$, $\bc_2$ deux b.o.n.
\end{lemme}

%FIXME


\paragraph{Comment calculer $\det u$?}

\begin{theoreme}
	Soit $\bc = (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n)$ une base de $E$

	Alors  \begin{align*}
		\det u &= \det (u(\epsilon_1), \ldots, u(\epsilon_n)) \\
	\end{align*}

	Ce qui donne un moyen effectif de calcul de $\det u$
\end{theoreme}

 \begin{demo}
	 \begin{align*}
		 \forall f\in \ac_n(E), f_u = \det u \cdot f 
	 \end{align*}

	 \paragraph{En particulier} $\forall f\in \ac_n(E), f_u(\bc) = \det u f(\bc)$

	 \begin{align*}
		 \ie \forall f\in \ac_n(E), f(u(\epsilon_1), \ldots, u(\epsilon_n)) &= \det u  \cdot f(\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n) \\
	 \end{align*}

	 Pour $f = \det_{\bc}$ on obtient:

	 \begin{align*}
		 \det_{\bc}(u(\epsilon_1), \ldots, u(\epsilon_n)) &= \det u \underbrace{\det_{\bc}(\bc)}_{1} \\
	 \end{align*}
\end{demo}

\subsection{Déterminant d'une matrice}

\begin{definition}[Déterminant de $M \in \mc_n(\K)$ $\det M$]
	\begin{align*}
		\sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{\sigma(i),i} 
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{remarque}
	On a donc $\det M = \det f_M$
	
	En effet,  
	\begin{align*}
		\det f_M &= \det_{\cc}(f_M(e_1), \ldots, f_M(e_n)) \\
			 &= \det_{\cc}(M \times e_1, \ldots, M \times e_n) \\
			 &= \det_{\cc}\left( \begin{pmatrix} m_{11}\\ \vdots\\ _{n_1} \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix} m_{1n}\\ \vdots\\ m_{nn} \end{pmatrix}\right) \\
			 &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{\sigma(i), i}  \\
	\end{align*}
\end{remarque}

\begin{theoreme}
	Soit $u\in \lc(E)$ et $\bc$ une base de $E$

	Alors  \begin{align*}
		\det(\Mat_{\bc} u) &= \det u \\
	\end{align*}
\end{theoreme}

\begin{demo}

	Soit $\bc = (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n)$
	\begin{align*}
		\det \Mat_{\bc} u &= \begin{pmatrix} \decomp{u(\epsilon_1)}{\bc} & \cdots & \decomp{u(\epsilon_n)}{\bc} \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}

	En notant $\decomp{u(\epsilon_i)}{\bc} = \begin{pmatrix} m_{1i}\\ \vdots\\ m_{ni} \end{pmatrix}$ on a donc
	\begin{align*}
		\det \Mat_{\bc} u &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{\sigma(i), i}  \\
	\end{align*}

	Et \begin{align*}
		\det u &= \det_{\bc}(u(\epsilon_1), \ldots, u(\epsilon_n)) \\
		       &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{\sigma(i), i} \quad&\text{par définition}  \\
	\end{align*}
\end{demo}

\begin{corollaire}
	$\det: \mc_n(\K) \to \K$ est un invariant de similitude
\end{corollaire}

\subsection{Propriétés}

\begin{remarque}
	\begin{enumerate}
		\item $\det \id_{E} = 1$ 
		\item $\det I_n = 1$
	\end{enumerate}
\end{remarque}

\begin{demo}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\bc$ une base de $E$ donc \begin{align*}
				\det  \id_{E} &= \det_{\bc} \id_E(\bc) \\
					      &= \det_{\bc}(\bc) \\
		\end{align*}

		\item \begin{align*}
			\det I_n &= \det f_{I_n} \\
				 &= \det \id \\
				 &= 1 \\
		\end{align*}
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{theoreme}
	\begin{enumerate}
		\item Soient $u, v\in \lc(E)$ alors \begin{align*}
				\det(u\circ v) &= \det u \det v \\
		\end{align*}

		\item Soient $M, N\in \mc_n(\K)$ alors \begin{align*}
				\det(M \times N) &= \det M \det N \\
		\end{align*}
	\end{enumerate}

	%TODO graph: on fait un carré x_1, x_2 puis on applique v, ça fait un carré rotationé agrandi puis on applique u ça fait encore une autre transformation
\end{theoreme}

\begin{demo}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\bc$ une base de $E$ 

			\begin{align*}
				\det(u\circ  v) &= \det_{\bc}(u\circ v(\bc)) \\
						&= \det_{\bc_{v}} (u(\bc)) \quad&\text{$f_u$ avec $f = \det_{\bc}$ et $u=v$} \\
						&= \det v \det_{\bc}(u(\bc)) \\
						&= \det v \det u \\
			\end{align*}

		\item 
			\begin{methode}
				
			\begin{align*}
				\det(M \times N) &= \det f_{M \times N} \\
						 &= \det (f_M \circ f_N) \quad&\text{$M \mapsto f_M$ est un isomorphisme d'algèbre} \\
						 &= \det f_M \det f_N \quad&\text{d'après 1.} \\
						 &= \det M \det N \quad&\text{par définition} \\
		\end{align*}
			\end{methode}
			\begin{methode}
				\begin{align*}
					f(v(x_1), \ldots, v(x_n)) &= \det u f(x_1, \ldots, x_n) \\
					\det_{\bc}(v\circ u(\epsilon_1), \ldots, v\circ u(\epsilon_n)) &= \det v \det_{\bc}(u(\epsilon_1), \ldots, u(\epsilon_n)) \\
					\det (v\circ u) &= \det u \\
				\end{align*}
			\end{methode}
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{exercice}[Déterminant d'une symétrie]
	Soit  $s\in \lc(E)$ tel que $s\circ s = \id_E$

	Alors 
	\begin{align*}
		\det s &= \pm 1 \\
	\end{align*}


	\paragraph{Montrons-le}


	\begin{align*}
		\det(s\circ s) &= \det (-\id) \\
		\ie \det s \det s &= 1 \\
		\ie \det s &= \pm 1 \\
	\end{align*}

	Soit $\bc$ la base adaptée à la somme directe 

	$E = \Ker(s-\id)\oplus\Ker(s+\id)$

	\begin{align*}
		\det s &= \det \Mat_{\bc} s \\
		       &= \det \begin{pmatrix} 1 & & & &&  (0) \\ & \ddots \\ & & 1 & & \\ & & & -1 \\ &&&& \ddots \\ (0) & & & && -1  \end{pmatrix}  \\
		       &= 1 \cdot (-1)^{\dim \Ker(s+\id)} \\
		       &= \begin{cases}
			       -1 &\text{si } \dim \Ker(s + \id) \in 2\N+1 \\
			       1 &\text{sinon}
		       \end{cases} \\
	\end{align*}
\end{exercice}

\begin{remarque}
	\begin{enumerate}
		\item $\det : GL(E) \to \K^\ast$ est bien définie et c'est un morphisme de groupe
		\item $\det : GL_n(\K) \to \K^\ast$
	\end{enumerate}
\end{remarque}

\begin{demo}
	\begin{enumerate}
		\item 
			Alors $1 = \det \id = \det (u\circ u^{-1}) = \det u \det u^{-1}$

			Donc $\det u \neq 0$ (et $\det u^{-1} = \frac{1}{\det u}$ )

			Ceci étant vrai pour tout $u\in GL(E)$, l'application est bien définie.

			On a déjà vu $\forall u, v\in GL(E), \det(u\circ v) =\det u \det v$
			donc c'est un morphisme de groupe
		\item Idem avec $f_M$ et $f_N$
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{theoreme}[Formule de la transposée]
	Soit $M\in \mc_n(\K)$

	Alors \begin{align*}
		\det \t M&= \det M \\
	\end{align*}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	Notons $M = (m_{ij})_{ij}$
	Par définition:
	\begin{align*}
		\det \t M &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{i, \sigma(i)}  \\
			  &= \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} m_{\sigma^{-1}(j), j} \quad&\text{par changement d'indice $j=\sigma(i)$ car $\sigma$ bijective} \\
			  &= \sum_{\delta \in S_n} \epsilon(\delta^{-1}) \prod_{j=1}^{n} m_{\delta(j), j} \quad&\text{par changement d'indice $\delta = \sigma^{-1}$} \\
	\end{align*}

	Pour $\sigma\in S_n$ : $\sigma(\delta^{-1}) = \epsilon(\delta)^{-1} = \epsilon(\delta)$ car $(\pm 1)^{-1} = \pm 1$ (et $\operatorname{but} \epsilon = \{+1, -1\} $ )

	Donc \begin{align*}
		\det \t M &= \sum_{\delta\in S_n} \epsilon(\delta) \prod_{j=1}^{n} m_{\delta(i), i}  \\
		&= \det M \\
	\end{align*}
\end{demo}

\section{Méthode de calcul d'un déterminant}

\subsection{Effet d'une opération élémentaire}

\begin{theoreme}
	Soit $M = \begin{pmatrix} \text{\text{---}} L_1 \text{---} \\ \vdots \\ \text{---} L_n \text{---} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \decomp{C_1}{} & \cdots & \decomp{C_n}{} \end{pmatrix} \in \mc_n(\K)$ 

	Soit $i\neq j$ et $\lambda \in \R$

	\begin{enumerate}
		\item La transvection ($C_i \from C_i + \lambda C_j$) préserve le déterminant
		\item La dilataion ($C_i \from \lambda C_i$) multipie le déterminant
		\item La permutation ($C_i \leftrightarrow C_j$) oppose le déterminant
	\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{demo}[On fait juste les lignes]
	\begin{enumerate}
		\item  \begin{align*}
				\det_{\cc}(C_1, \ldots, C_i + \lambda C_j, \ldots, C_n) &= \det_{\cc}(C_1, \ldots, C_i, \ldots, C_n) + \lambda \det_{\cc}(C_1, \ldots, C_j, \ldots, C_n) \quad&\text{par $n$-linéairité}\\
				&= \det M + \lambda  \times 0 \quad&\text{par caractère alterné} \\
		\end{align*}

		\item \begin{align*}
				\det_{\cc}(C_1, \ldots, \mu C_i, \ldots, C_n) &= \mu \det_{\cc}(C_1, \ldots, C_i, \ldots, C_n) \\
				&= \mu \det M \\
		\end{align*}

		\item \begin{align*}
				\det_{\cc}(C_1, \ldots, C_j, \ldots, C_i, \ldots, C_n) &= -\det_{\cc}(C_1, \ldots, C_i, \ldots, C_j, \ldots, C_n) \quad&\text{par antisymétrie} \\
				&= -\det M \\
		\end{align*}
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{remarque}
	Les opérations élémentaire permettent de calculer le \emph{déterminant de Vandermonde} 
	\begin{align*}
		\det \begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-1} \end{pmatrix}  &= \prod_{1\le i<j\le n} \alpha_j - \alpha_i \\
	\end{align*}
\end{remarque}

\subsection{Déterminants par blocs}

\begin{remarque}
	Une matrice par bloc est une matrice de forme:

	\begin{align*}
		\begin{carray}{c|c}
			$A$ & $B$ \\\hline
			$C$ & $D$
		\end{carray} \in \mc_{p+q,r+s}(\K)
	\end{align*}

	où $\begin{cases}
		A&\in \mc_{p,r}(\K) \\
		B&\in \mc_{p,s}(\K) \\
		C&\in \mc_{q,r}(\K) \\
		D&\in \mc_{q,s}(\K)
	\end{cases}$ 

	ou plus généralement 
	\begin{align*}
		\begin{carray}{c|c|c|c}
			A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1p} \\ \hline
			A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2p} \\ \hline
			\vdots  \\ \hline
			A_{q1} & \cdots &  \cdots & A_{pq}
		\end{carray}
	\end{align*}
\end{remarque}

\begin{theoreme}
	Par définition du produit matriciel

	\begin{align*}
		\begin{carray}{cc|c}
			& p \atop \leftrightarrow &   q \atop \leftrightarrow \\
			m \updownarrow & A & B \\\hline
			n \updownarrow  &C & D
		\end{carray}  \times  \begin{carray}{cc|c}
					  & r \atop \leftrightarrow &   s \atop \leftrightarrow \\
			p \updownarrow & A' & B' \\\hline
			q \updownarrow  &C' & D'
		\end{carray} &= \begin{carray}{c|c}
			AA' + BC' & AB'+BD' \\ \hline
			CA' + DC' & CB'+DD'
		\end{carray}
	\end{align*}

	On a un résultat analogue avec plus de blocs.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}
	Soient $\begin{cases}
		A&\in \mc_{p}(\K) \\
		B&\in \mc_{pq}(\K) \\
		D&\in \mc_{q}(\K)
	\end{cases}$.

	\begin{align*}
		\det \begin{carray}{c|c}
			$A$ & $B$ \\ \hline $(0)$ & $D$
		\end{carray} &= \det A \det D \\
	\end{align*}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	Notons $n = p+q$
	Notons  $\begin{cases}
		\cc_p = (e_1, \ldots, e_p) &\text{ la base canonique de $\K^p$} \\
		\cc_q = (e_1, \ldots, e_q) &\text{ la base canonique de $\K^q$} \\
	\end{cases}$ 

	Posons $f: \begin{cases}
		\K^p &\to \K \\
		(x_1, \ldots, x_p) & \mapsto \det 
		\begin{carray}{c|c}
			\decomp{x_1}{} \cdots \decomp{x_n}{} &  B \\ \hline
			(0) & D
		\end{carray} \end{cases}$.

		On a \begin{align*} 
		f &\in \ac_p(\K^p) \\
		\donc f &= f(\cc_p) \det_{\cc_p}  \\
		\det \begin{carray}{c|c}
			A & B \\ (0) & D
		\end{carray} &= f(A) \\
			&= f(\cc_p) \det_{\cc}(A) \\
			\ie \det \begin{carray}{c|c}
			A & B \\ (0) & D
		\end{carray} &= \det A  \times \det \begin{carray}{c|c}
			I_p & B \\ (0) & D
		\end{carray}  \\
	\end{align*}

	Or \begin{align*}
		\det A  \times \det \begin{carray}{c|c}
			I_p & B \\ (0) & D
		\end{carray} &= \det A  \times \det \begin{carray}{c|c}
		I_p & (0) \\ (0) & D
		\end{carray}  \\
	\end{align*}, car en notant $B = (b_{ij})_{ij}$, on fait 
	\begin{align*}
		C_{p+1} &\from C_{p+1} - \sum_{i=1}^{p} b_{i1} C_i \\
			&\vdots \\
		C_{p+q} &\from C_{p+q} - \sum_{i=1}^{p} b_{i q } C_i \\
	\end{align*}

	Notons $g : \begin{cases}
		\K^q & \to  \K \\
		(y_1, \ldots, y_q) &\mapsto \det \begin{carray}{c|c}
			I_p & (0) \\ \hline
			(0) & \decomp{y_1}{} \cdots \decomp{y_q}{}
		\end{carray}\end{cases}$.

	\begin{align*}
		g\in \ac_q(\K^q) &\donc g = g(\cc_q) \det_{\cc_q} \\
		\det \begin{carray}{c|c}
		I_p & (0) \\ \hline
		(0) & D
	\end{carray} &= g(D) \\
	&= \underbrace{ 
\begin{carray}{c|c}
		I_p & (0) \\ \hline
		(0) & I_q
\end{carray}}_{\det I_1 = 1} \det D \\
	\end{align*}

	\paragraph{Conclusion}
	\begin{align*}
\begin{carray}{c|c}
	A & B \\ \hline (0) & D
		\end{carray} &= \det A  \\
\begin{carray}{c|c}
			I_p & (0) \\ \hline
			(0) & D
		\end{carray} \\
		&= \det A \det D \\
	\end{align*}
\end{demo}

\begin{remarque}
	Si $u\in \lc(E)$ et $\bc$ une base de $E$ 

	tels que 
	\begin{align*}
		\Mat_{\bc}(u)  &= \begin{carray}{c|c}
			p \atop \leftrightarrow &  q \atop \leftrightarrow \\ 
			A & B \\ \hline
			(0) & D
		\end{carray}\\
	\end{align*}

	Alors $\bc = ( \underbrace{u_1, \ldots, u_p}_{\in F}, \underbrace{v_1, \ldots, v_q}_{\in G} $ est une base adaptée à une somme directe $F\oplus G = E$

	telle que  $F$ est \emph{stable par $u$}, i.e. $u$ induit un endomorphisme sur $F$, i.e. $u_{|F}^{|F}\in \lc(F)$
\end{remarque}

\begin{theoreme}
	\begin{enumerate}
		\item $\det \begin{pmatrix} A & (0) \\ C & D \end{pmatrix} = \det A \det D$
		\item $\det \begin{carray}{c|c|c|c}  A_1 & (0) & (0) & (0) \\ \hline \whatever & A_2 & (0) & (0) \\ \hline \whatever & \whatever & \ddots & (0) \\ \hline \whatever & \whatever & \whatever & A_n \end{carray}$
		\item $\det \begin{carray}{c|c|c}  A_1 & \whatever & \whatever \\ \hline (0) & \ddots & \whatever \\ \hline (0) & (0) & A_n\end{carray} = \det A_1 \cdots \det A_n$
		\item $\det \begin{pmatrix} \lambda_1 & (0) & (0) \\ \whatever & \ddots & (0) \\ \whatever & \whatever & \lambda_n \end{pmatrix} = \lambda_1\cdots \lambda_n $
		\item $\det \t \begin{pmatrix} \lambda_1 & (0) & (0) \\ \whatever & \ddots & (0) \\ \whatever & \whatever & \lambda_n \end{pmatrix} = \lambda_1\cdots \lambda_n $
		\item $\det \t \begin{pmatrix} \lambda_1 & (0) & (0) \\ (0) & \ddots & (0) \\ (0) & (0) & \lambda_n \end{pmatrix} = \lambda_1\cdots \lambda_n $
		\item $\det \t \begin{pmatrix} \lambda & (0) & (0) \\ (0) & \ddots & (0) \\ (0) & (0) & \lambda \end{pmatrix} = \det (\lambda I_n) = \lambda^n$
	\end{enumerate}
\end{theoreme}

\subsection{Développements}

\begin{notation}[Rappel]
	On note $M_{ij}$ la matrice obtenue en barrant le coefficient en ligne  $i$ et colonne $j$ de la matrice $M$
\end{notation}


\begin{definition}[$(i,j)$ cofacteur de $M$ ]
	\begin{align*}
		\cof_{i,j}(M) &= (-1)^{i+j} \det M_{ij} \\
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{theoreme}
	\begin{enumerate}
		\item \emph{dev/$i$ ème ligne}  $\det M = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \det M_{ij} m_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \cof_{i,j}(M) m_{ij} $
		\item \emph{dev/$j$ ème colonne}  $\det M = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \det M_{ij} m_{ij} = \sum_{i=1}^{n} \cof_{i, j}(M) m_{ij} $
	\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	Notons $M = \left( \decomp{C_1}{} \cdots \decomp{C_n}{} \right) = \begin{pmatrix} m_{11} & \cdots & m_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ m_{n1} & \cdots & m_{nn} \end{pmatrix}  $ 

	Quitte à transposer il suffit de montrer 2.

	\begin{align*}
		\det M &= \det_{\cc}(C_1, \ldots, C_j, \ldots, C_n) \quad&\text{on applique le $j$-cycle $(1\ 2\ \ldots\ j)$ et par antisymétrie} \\
		       &= \underbrace{(-1)^{j-1}}_{\text{signature du $j$-cycle}} \det_{\cc}(C_j, C_1, \ldots, C_{j-1}, C_{j+1}, \ldots, C_n)  \\
		       &= (-1)^{j-1} \det_{\cc} \left( \sum_{i=1}^{n} m_{ij} e_i, C_i, \ldots, C_{j-1}, C_{j+1},  \ldots, C_n \right)  \\
		       &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{j-1} m_{ij} \det_{\cc}(e_i, C_1, \ldots, C_{j-1}, C_{j+1}, \ldots, C_n) \quad&\text{par $n$-linéarité}\\
	\end{align*}
Par antisymétrie et en appliquant \emph{sur les lignes} le $i$-cycle $(1\ 2\ \ldots\ i)$, en notatnt $\hat{C_k}$ la colonne obtenue en appliquant le $k$-cycle
	\begin{align*}
		       &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{j-1} m_{ij} \det_{\cc}(e_1, \hat{C_1}, \ldots, \hat{C_n}) \quad&\text{} \\
		       &= \sum (-1)^{i+j-2} \det(M_{ij}) m_{ij} \quad&\text{par définition} \\
	\end{align*}
\end{demo}

\subsection{Co-matrice}

\begin{definition}[Comatrice de $M \in\mc_{n}(\K)$]
	\begin{align*}
		\Com(M) &= \left( \cof_{i,j}(M) \right)_{ij}  \\
	\end{align*}
\end{definition}

\begin{exemple}[$n\ge 2$]
	\begin{align*}
		\Com \begin{pmatrix} 1 & \text{---} & 1 \\ \vline & & \vline \\ 1 &\text{---} & 1  \end{pmatrix} &= \left( (-1)^{i+j} \det (1) \right)_{ij}  \\
	\end{align*}
\end{exemple}

\begin{exemple}
	\begin{align*}
		\Com \begin{pmatrix} 0 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} + |0, 1; 1, 0| & -|1, 1; 1, 0| & +|1, 0; 1, 1| \\ -|1, 1; 1, 0| & + +|0, 1; 1, 0| & -|0, 1; 1, 1| \\ +|1, 1; 0, 1| & -|0, 1; 1, 1| & +|0, 1; 1, 0| \end{pmatrix}  \\
				       &= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}
\end{exemple}

\begin{exemple}
	\begin{align*}
		\Com \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} +d & -c \\ -b & +a \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}
\end{exemple}

\begin{theoreme}
	Soit $M \in \mc_n(\K)$

	\begin{enumerate}
		\item $M  \times \t \Com M = \t \Com M  \times  M = \det M I_n$
		\item $\det M \neq 0 \implies M^{-1} = \frac{1}{\det M} \t \Com M$
	\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{demo}
	exo (Il suffit d'utiliser la formule de dev. (ligne ou colonne))
\end{demo}

\begin{application}
\begin{enumerate}
	\item Pour $ad-bc\neq 0$, \begin{align*}
			\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} ^{-1} &= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}

\item $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} ^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $
\end{enumerate}	
\end{application}

\begin{application}[Montrer que $GL_n(\K) = \{ M\in\mc_{n}(\Z),\ \det M = \pm 1 \}$]
	On note $GL_n(\Z)$ l'ensemble des inversibles de l'anneau  $\mc_n(\Z)$, i.e. l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ telles que
	\begin{itemize}
		\item les coefficients sont entiers
		\item l'inverse existe
		\item les coefficients \emph{de l'inverse} sont entiers
	\end{itemize}

	\paragraph{\fbox{$\subset $}} Soit $M\in GL_n(\Z)$.
	Alors $M^{-1}\in GL_n(\Z)$

	\begin{align*}
		1 &= \det I_n \\
		  &= \det (M  \times  M^{-1}) \\
		  &= \underbrace{\det M}_{\in \Z} \underbrace{\det M^{-1}}_{\in \Z} \quad&\text{Car $\begin{cases}
		M \in \mc_n(\Z) \donc \det M \in \Z \\
		M^{-1} \in \mc_n(\Z) \donc \det M^{-1} \in \Z \\
	\end{cases}$}\\
	\end{align*}

	Donc $\det  M \in \Z^{ \times } = \{+1, -1\} $
 	
	\paragraph{\fbox{$\supset$}} Supposons $\det M \in \{+1, -1\} $ donc $\det M \neq 0$ donc $M$ inversible et

	\begin{align*}
		M^{-1} &= \underbrace{\frac{1}{\det M}}_{\in \{+1, -1\} \subset \Z} \left( \cof_{i,j}(M) \right) _{ij} \\
	\end{align*}

	Et pour $i, j\in \llbracket 1, n\rrbracket$, $\cof_{i,j}M = \underbrace{(-1)^{i+j}}_{\in \Z} \det ( \underbrace{M_{ij}}_{\in \mc_{n-1}(\Z)} ) \in \Z$ 

	D'où $M^{-1} \in \mc_n(\Z)$
\end{application}

\end{document}