\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{D\'erivabilit\'e.}}\\[0.2cm]
\end{center}




{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion %d\'enombrable 
 d'intervalles non triviaux~; %\ie contenant au moins deux points~;
\item $f$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$, sauf mention du contraire.
\end{enumerate}

\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\section{Rappels}
\subsection{Taux d'accroissement et d\'eriv\'ee}
\dfn
Soit $a\in I$. On appelle \newdef{taux d'accroissement de $f$ en $a$} l'application $\tau_a : \defapp{I\setminus\{a\}}{\R}{x}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$.
\nfd
\rmq Pour $a$ et $x$ (distincts) dans $I$ on a $\tau_x(a) = \tau_a(x)$.
\qmr
\dfn~\\[-0.8cm]
\begin{enumerate}
\item Soit $a\in I$. On dit que $f$ est \newdef{d\'erivable} en $a$ lorsque $\lim\limits_{x\too a} \tau_a(x)$ existe et est finie. \\Lorsque c'est le cas, cette limite est not\'ee $f'(a)$ et s'appelle le \newdef{nombre d\'eriv\'e de $f$ en $a$}.
\item On dit que $f$ est \newdef{d\'erivable} sur $I$ lorsqu'elle est d\'erivable en tout point de $I$. \\Auquel cas l'application $f' : \defapp{I}{I}{a}{f'(a)}$ s'appelle la \newdef{d\'eriv\'ee de $f$}.
\item On dit que $f$ est \newdef{contin\^ument d\'erivable} sur $I$ lorsqu'elle est d\'erivable sur $I$ %et que sa
 de d\'eriv\'ee %$f'$ est
 continue.
\end{enumerate}
\nfd
\nota \begin{enumerate}
\item On note $\dc(I,\R)$ ou $\dc^1(I,\R)$ l'ensemble des fonctions d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\item On note $\cc^1(I,\R)$ l'ensemble des fonctions contin\^ument d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\end{enumerate}
On a \'evidemment $\cc^1(I,\R)\subset\dc^1(I,\R)$.
\aton
\rmq Il existe des fonctions $\dc^1(I,\R)$ mais pas $\cc^1(I,\R)$.
\qmr
\dfn \ \\[-0.85cm]\phantom{D\'efinition 333} Soit $a\in I$.
\begin{enumerate}
\item On dit que $f$ est d\'erivable \`a droite en $a$ lorsque $\tau_a$ a une limite \`a droite finie en $a$.
\item On dit que $f$ est d\'erivable \`a gauche en $a$ lorsque $\tau_a$ a une limite \`a gauche finie en $a$.
\end{enumerate}
\nfd
\subsection{$\pmb{DL_1(a)}$ et applications}
\thm Soit $a\in I$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est d\'erivable en $a$ \ssi $f$ a un $DL_1(a)$~;
\item lorsque c'est le cas, ce $DL_1(a)$ est $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[(rappel)]
Si $f$ est d\'erivable, alors $f$ est continue.
\mht
\thm[TDFC]
\label{TDFC} Soient $\lect{u\in\dc^1(I,J)\\v\in\dc^1(J,\R).}$ Alors on a $v\circ u\in\dc^1(I,\R)$ et $(v\circ u)' = u' \times v' \circ u$.
\mht
\thm Soient $f, g \in \dc^1(I,\R)$. Alors on a~:
\begin{enumerate}
\item $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2,\ \lambda f+\mu g \in \dc^1(I,\R)$ et $(\lambda f+\mu g)' = \lambda f'+\mu g'$~;
\item $fg \in \dc^1(I,\R)$ et $(fg)'=f'g+fg'$~;\\[-0.5cm]
\item si $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g} \in \dc^1(I,\R)$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.
\end{enumerate}
\mht
\col~\\[-0.8cm]
\begin{enumerate}
\item $\dc^1(I,\R)$ forme une sous-alg\`ebre de $\R^I$~;
\item $\cc^1(I,\R)$ forme une sous-alg\`ebre de $\dc^1(I,\R)$~;
\item $\partial : \defapp{\cc^1(I,\R)}{\cc^0(I,\R)}{f}{f'}$ est lin\'eaire.
\end{enumerate}
\loc
\thm[TDFR]~\\[-0.55cm]
Soit $f : I\too J$ ($I$ un intervalle). Si $\begin{cases}
	f\in (\bijections \cap \dc)(I, J) \\
	f'\ \text{ne s'annule pas}
\end{cases}$ alors $f^{-1}$ est d\'erivable sur $J$ et $\dsp{\left(f^{-1}\right)^\prime = \frac{1}{f^\prime\circ f^{-1}}}$.
\mht
\section{Th\'eor\`emes de moyenne et applications}
\subsection{Point critique}
\dfn On suppose $f\in\dc^1(I,\R)$. On appelle \newdef{point critique de $f$} un r\'eel $a\in I$ pour lequel on a $f'(a)=0$.
\nfd
\thm[Lemme de Fermat sur les points critiques]
On suppose $f\in \dc^1(I,\R)$.\subline\\
Si $f$ atteint un extremum local en $a$, alors $a$ est soit un point critique de $f$ soit une extr\'emit\'e de $I$.\semisubline
\mht
\subsection{Th\'eor\`eme de Rolle}
\thm[Rolle]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$ telle que $f(a)=f(b)$.\subline\\
Alors il existe $c\in]a,b[$ pour lequel on a $f'(c)=0$.\semisubline
\mht
\subsection{Accroissements finis}
\thm[\'Egalit\'e des accroissements finis]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$. 
 Alors il existe $c\in]a,b[$ pour lequel on a $\dsp{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$.\semisubline
\mht
\col[In\'egalit\'e des accroissements finis]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item $\dsp{\inf\limits_{]a,b[}f' \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \sup\limits_{]a,b[}f'}$~;
\item $\dsp{\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|\leq \sup\limits_{]a,b[}\left|f'\right|}$.
\end{enumerate}
\loc
\thm[Reformulation de l'IAF]
On suppose que $I$ est un intervalle et qu'on a $f\in\dc^1(I,\R)$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item pour $k\geq 0$, on a $f\in k\!-\!\lc \Leftrightarrow |f'|\leq k$~;
\item pour $f\in \lc \Leftrightarrow |f'|$ born\'ee.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Application aux \'etudes globales}
\thm[sur le signe de la d\'eriv\'ee]
On suppose que $I$ est un intervalle et qu'on a $f\in\dc(I,\R)$.
\begin{enumerate}
\item $\lect{\text{Si $f'\geq 0$ sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$~;}\\\text{si $f'\leq 0$ sur $I$ alors $f$ est d\'ecroissante sur $I$.}}$
\item $\lect{\text{Si $f'> 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$~;}\\\text{si $f'< 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement d\'ecroissante sur $I$.}}$
\item Si $f'=0$ sur $I$ alors $f$ est constante sur $I$.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{$\dc^1$ vs $\cc^1$}
\rmq Ce th\'eor\`eme implique que les seules fonctions $\cc_{pm}$ qui ont des primitives sont les fonctions continues, pourquoi~?
\qmr
\thm[\!\!sur la limite de la d\'eriv\'ee]
Soit $f\in\cc(I,\R)$ et $a\in I$. On suppose de plus que $f$ est d\'erivable sur $I\setminus\{a\}$.
\begin{enumerate}
\item Si $\lim\limits_{{\tiny \begin{array}{c}x\too a\\[-0.05cm]x\neq a\end{array}}} f'(x)=\ell \in\overline{\R}$ alors $\lim\limits_{x\too a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\ell$.\\[-0.35cm]
\item En particulier, si $\lim\limits_{{\tiny \begin{array}{c}x\too a\\[-0.05cm]x\neq a\end{array}}} f'(x)=\ell \in\R$ alors $f$ est d\'erivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[\!\!th\'eor\`eme de prolongement $\cc^1$]
\ \\[-0.5cm]
Soit $a\in I$ et $f\in\cc^1(I\setminus\{a\},\R)$. On suppose qu'il existe deux r\'eels $\ell_0$ et $\ell_1$ tels que $\lect{\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell_0}\\\tendvers{f'(x)}{x\too a}{\ell_1}.}$\\[-0.15cm]
Alors $f$ est prolongeable par continuit\'e sur $I$ et son prolongement est $\cc^1(I,\R)$.\\
En notant $f_{\sim}$ ce prolongement, on a $\lect{f_\sim(a)=\ell_0\\f_\sim'(a)=\ell_1.}$
\mht
\subsection{Convexit\'e des fonctions d\'erivables}
\dfn
La fonction $f$ est dite \newdef{convexe} lorsqu'on a  $\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\ g\big((1-t)x+ty\big) \leq (1-t)g(x)+tgf(y)$.
\nfd
\rmq On d\'efinit de m\^eme une fonction \newdef{concave} $g : I \too \R$ par %la propri\'et\'e
 $\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\ g\big((1-t)x+ty\big) \geq (1-t)g(x)+tgf(y)$. Autrement dit, une fonction concave est l'oppos\'ee d'une fonction convexe, son graphe est {\bf au dessus} de ses s\'ecantes, son \textbf{hypographe} (l'ensemble des points du plan "sous" la courbe) est convexe, ses taux d'accroissements sont d\'ecroissants. L'\'etude des fonctions concaves est la m\^eme que celle des fonctions convexes, il suffit de renverser les in\'egalit\'es.
\qmr
\rmq Une fonction convexe n'a aucune raison d'\^etre d\'erivable, par exemple $x\mapsto |x|$ est convexe.
\qmr
\pro
Supposons $f$ d\'erivable sur $I$% et que $I$ est un intervalle (d\'ej\`a fait)
. Alors $f$ est convexe \ssi $f'$ est croissante.\\[0.15cm]
En particulier, si $f$ est deux fois d\'erivable, alors elle est convexe \ssi $f''$ est positive.\subline
\orp
\dfn
Soit $a\in I$. On dit que \newdef{$f$ pr\'esente un point d'inflexion en $a$} lorsque $f$ change de concavit\'e en $a$.
\nfd
\end{document}
