\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}

%\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{D\'erivabilit\'e.}}\\[0.2cm]
\end{center}

%{\bf Attention}~: on va voir dans ce chapitre l'\'egalit\'e des accroissements finis.\\
%C'est un th\'eor\`eme {\bf vraiment important}.\\[0.2cm]


%{\bf Objectifs}~: les m\^emes que pour la continuit\'e~!
%\begin{enumerate}[$\rightsquigarrow$]
%\item enfin d\'emontrer les r\'esultats admis en d\'ebut d'ann\'ee (ou en TS)~;
%\item approfondir.\\
%\end{enumerate}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ d\'esigne une r\'eunion %d\'enombrable 
 d'intervalles non triviaux~; %\ie contenant au moins deux points~;
\item $f$ d\'esigne une application de $I$ dans $\R$, sauf mention du contraire.
\end{enumerate}

\section{Rappels}


\subsection{Taux d'accroissement et d\'eriv\'ee}

\dfn
Soit $a\in I$. On appelle \newdef{taux d'accroissement de $f$ en $a$} l'application $\tau_a : \defapp{I\setminus\{a\}}{\R}{x}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$.
\nfd
Remarque~: l'application $\tau_a$ d\'epend de $a$, mais aussi de $f$. On devrait en toute rigueur \'ecrire $\tau_{f,a}$ si le contexte ne permettait pas de d\'eterminer $f$ sans ambigu\"it\'e.\\

{\bf \underline{Interpr\'etation g\'eom\'etrique}~:}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (-0.5, 0) -- (5, 0);
	\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 5);
	% bracket 1
	\draw (0.25, 0.5) -- (0, 0.5) -- (0, -0.5) -- (0.25, -0.5);
	\draw (1.25, 0.5) -- (1, 0.5) -- (1, -0.5) -- (1.25, -0.5);
	% bracket 2
	\draw (1.25, 2) -- (1, 2) -- (1, 1) -- (1.25, 1);
	\draw (2.25, 2) -- (2, 2) -- (2, 1) -- (2.25, 1);
	\draw (1, 1.5) -- (2, 1.5);
	% bracket 3
	\draw (2.25, 3.5) -- (2, 3.5) -- (2, 2.5) -- (2.25, 2.5);
	\draw (2, 3) -- (5, 3);
	\draw[dashed, color=red]  (2, 3) node {$\bullet$} -- (2, 0) node[below] {$a$};
	\draw[dashed] (1.5, 1.5) -- (1.5, 0) node[below] {$x$};
	\draw[color=blue] (1, 1.5) -- (2, 3);
	\draw[color=blue] (1.3333, 1.5) -- (2, 3);
	\draw[color=blue] (1.5000, 1.5) -- (2, 3);
	\draw[color=blue] (1.6666, 1.5) -- (2, 3);
	\draw[color=blue] (1.75, 1.5) -- (2, 3);
	\draw[color=blue] (1.9, 1.5) -- (2, 3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\rmq Pour $a$ et $x$ (distincts) dans $I$ on a $\tau_x(a) = \tau_a(x)$.
\qmr

\smallskip

\dfn~\\[-0.8cm]
\begin{enumerate}
\item Soit $a\in I$. On dit que $f$ est \newdef{d\'erivable} en $a$ lorsque $\lim\limits_{x\too a} \tau_a(x)$ existe et est finie. \\Lorsque c'est le cas, cette limite est not\'ee $f'(a)$ et s'appelle le \newdef{nombre d\'eriv\'e de $f$ en $a$}.
\item On dit que $f$ est \newdef{d\'erivable} sur $I$ lorsqu'elle est d\'erivable en tout point de $I$. \\Auquel cas l'application $f' : \defapp{I}{I}{a}{f'(a)}$ s'appelle la \newdef{d\'eriv\'ee de $f$}.
\item On dit que $f$ est \newdef{contin\^ument d\'erivable} sur $I$ lorsqu'elle est d\'erivable sur $I$ %et que sa
 de d\'eriv\'ee %$f'$ est
 continue.
\end{enumerate}
\nfd

%\exs
%\begin{enumerate}
%\item On a vu en application des identit\'es remarquables que, pour $n\in\N$, $\defapp{\R}{\R}{x}{x^n}$ est d\'erivable (et sa d\'eriv\'ee).
%\item Prenons maintenant le cas \og$n=-1$\fg, \cad la fonction inverse $f : \defapp{\R^*}{\R}{x}{\frac{1}{x}}$.
%\end{enumerate}
%\sxe
%
%\newpage\ \\[-1.75cm]

\smallskip

\nota \begin{enumerate}
\item On note $\dc(I,\R)$ ou $\dc^1(I,\R)$ l'ensemble des fonctions d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\item On note $\cc^1(I,\R)$ l'ensemble des fonctions contin\^ument d\'erivables de $I$ dans $\R$.
\end{enumerate}
On a \'evidemment $\cc^1(I,\R)\subset\dc^1(I,\R)$.
\aton

\smallskip

\rmq Il existe des fonctions $\dc^1(I,\R)$ mais pas $\cc^1(I,\R)$.
\qmr

\newpage\ \\[-1.66cm]

\exx ~(Cet exemple fait partie de l'exercice CCINP $n^\circ 4.3$).

\begin{align*}
	f := \begin{cases}
		\R &\to \R \\
		x &\mapsto \begin{cases}
			x^2 \sin \frac{1}{x} &\text{si} n \neq 0 \\
			0 &\text{sinon}
		\end{cases}
	\end{cases}
.\end{align*}


\begin{itemize}
	\item Sur $\R^\ast$ est dérivable par théorèmes généraux
	\item Montrons qu'elle est dérivable en $0$: Pour $x\neq 0$
		\begin{align*}
			\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{x^2 \sin(\frac{1}{x}) - 0}{x-0} = x \sin(\frac{1}{x}) \quad\text{est borné}
		.\end{align*}
		Donc $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to 0$ par TdG
		Donc $f$ est dérivable en 0 et $f'(0) = 0$
		Ainsi $f$ dérivable sur $\R$ de dérivée \[x \mapsto \begin{cases}
			2x \sin(\frac{1}{x}) + x^2 \left( -\frac{1}{x^2} \right) \cos(\frac{1}{x}) &\text{si}\ x\neq 0 \\
			0 &\text{sinon}
		\end{cases}\]
\end{itemize}

Montrons que $f'$ est discontinue en $0$.
\begin{itemize}
	\item $2x \sin(\frac{1}{x}) \to_0 0$ par TdG
	\item Mais $-\cos(\frac{1}{x})$ n'a pas de limite lorsque $x\to 0$
\end{itemize}
Donc $2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite pour $x\to 0$.
Donc $f'$ n'a pas de limite en 0\\
Donc $f' \not\in \cc$.
d'où $f \not\in \cc^1$
\xxe


\dfn \ \\[-0.85cm]\phantom{D\'efinition 333} Soit $a\in I$.
\begin{enumerate}
\item On dit que $f$ est d\'erivable \`a droite en $a$ lorsque $\tau_a$ a une limite \`a droite finie en $a$.
\item On dit que $f$ est d\'erivable \`a gauche en $a$ lorsque $\tau_a$ a une limite \`a gauche finie en $a$.
\end{enumerate}
\nfd

\exx
$x \mapsto |x|$ est dérivable à gauche et à droite en 0 avec $\begin{cases}
	f'_d(0) &= 1 \\
	f'_g(0) &= -1 \\
\end{cases}$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (-1, 0) -- (1, 0);
	\draw (-1, 1) -- (0, 0);
	\draw (0, 0) -- (1, 1);
	\draw[->] (0, -1) -- (0, 1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$ \lfloor{\id}\rfloor $ et $a \in \Z$.

$g$ est bien dérivable à droite en $a$ et $g'(a)=0$ mais $g$ \emph{n'est pas} dérivable à gauche en $a$ car le taux d'accroissement à gauche tend vers $+\infty$ 
\xxe

\subsection{$\pmb{DL_1(a)}$ et applications}

\thm Soit $a\in I$.
\begin{enumerate}
\item $f$ est d\'erivable en $a$ \ssi $f$ a un $DL_1(a)$~;
\item lorsque c'est le cas, ce $DL_1(a)$ est $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$.
\end{enumerate}
\mht

\demo $\bullet$ Supposons $f$ d\'erivable en $a$.

ie $\frac{f-f(a)}{\id-a} \to_a f'(a)$

ie $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to_0 f'(a)$

Notons $\epsilon := h\mapsto \frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)$.
On a $\epsilon \to_0 0$

\begin{align*}
	h \epsilon(h) &= f(a+h) - f(a) - hf'(a) \\
	\iff f(a+h) &= f(a)+hf'(a) + h \epsilon(h) \\
		    &= f(a) + hf'(a) + o(h)\qquad\text{car $\epsilon \to_0 0$} \\
.\end{align*}

$\bullet$ Supposons que $f$ a un $DL_1(a)$ de la forme $f(a+h)=\alpha_0+\alpha_1h+o(h)$.

Montrons $\begin{cases}
	\text{$f$ est dérivable} \\
	\alpha_0, \alpha_1 = f(a), f'(a)
\end{cases}$.

\begin{align*}
	\lim_{h\to 0} \alpha_0 + \alpha_1 h + o(h) &= \alpha_0 \\
	\lim_{h \to 0} f(a+h) &=  \alpha_0 \\
.\end{align*}

donc en particulier, \fbox{$\alpha_0 = f(a)$}

donc $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{f(a+h)-\alpha_0}{h} = \frac{\alpha_0 + \alpha_1 h + o(h) - \alpha_0}{h} = \alpha_1 + o(1) \to  \alpha_1 \in \R$

donc \emph{$f$ est dérivable en $a$}  et \fbox{$f'(a) = \alpha_1$}

\cqfd

En corollaire, on peut d\'emontrer toutes les propri\'et\'es connues de la d\'erivation.


\thm[(rappel)]
Si $f$ est d\'erivable, alors $f$ est continue.
\mht

\demo %Cf cours sur les applications des PAL.
Soit $a\in I$.

Supposons $f$ dérivable en $a$.
D'après le \emph{théorème 1} : $f(a+h) = f(a) + \underbrace{hf'(a) + o(h)}_{\to 0}$ donc $f(a+h) \to_0 f(a)$ ie $f \to_a f(a)$ donc $f$ continue en $a$.
\cqfd

\attention{R\'eciproque fausse~: mort-subite gr\^ace \`a l'un d'entre vous (je ne balance pas qui c'est).}

\emph{Exo bonus: trouver une fonction continue dérivable ni à gauche ni à droite} 

\thm[TDFC]
\label{TDFC} Soient $\lect{u\in\dc^1(I,J)\\v\in\dc^1(J,\R).}$ Alors on a $v\circ u\in\dc^1(I,\R)$ et $(v\circ u)' = u' \times v' \circ u$.
\mht

\demo %Rappel~: on l'avait d\'ej\`a d\'emontr\'e sauf dans le cas ...............................................................
Soit $a\in I$.
$u$ est dérivable en $a$ donc 

\begin{align*}
	u(a+h) &= u(a) + hu'(a) + o(h) \\
.\end{align*}

$v$ est dérivable en $u(a)$ donc

\begin{align*}
	v(u(a) + H) = v(u(a)) + H v'(u(a)) + o(H)
.\end{align*}

Pour montrer que $v\circ u$ est dérivable en $a$, montrons que $v\circ u$ a un $DL_1(a)$

\begin{align*}
	(v \circ u)(a+h) &= v(u(a+h)) \\
			 &= v(u(a) + \underbrace{h u'(a) + o(h)}_{H \to 0}) \\
			 &= v(u(a) + H) \\
			 &= v(u(a)) + H v'(u(a)) + o(H) \\
			 &= v(u(a)) + \underbrace{u'(a)v'(u(a))}_{(v\circ u)'(a)}h + o(h) \\
.\end{align*}

Donc $v\circ u$ dérivable et
\[
	(v\circ u)'(a) = u'(a) (v' \circ u)(a)
.\] 
\cqfd

%\newpage\ \\[-1.75cm]
\thm Soient $f, g \in \dc^1(I,\R)$. Alors on a~:
\begin{enumerate}
\item $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2,\ \lambda f+\mu g \in \dc^1(I,\R)$ et $(\lambda f+\mu g)' = \lambda f'+\mu g'$~;
\item $fg \in \dc^1(I,\R)$ et $(fg)'=f'g+fg'$~;\\[-0.5cm]
\item si $g$ ne s'annule pas, $\frac{f}{g} \in \dc^1(I,\R)$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$.
\end{enumerate}
\mht

\demo %Tout a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e dans le cours sur les applications des PAL.
Soit $a\in I$. Soient $\lambda, \mu \in \R$. 
\begin{enumerate}
	\item \begin{align*} (\lambda f + \mu g)(a + h) &= \lambda (f(a) + hf'(a) + o(h)) + \mu (g(a) + hg'(a) + o(h)) \\
		&=  \lambda f(a) + \lambda h f'(a) + \mu g(a) + \mu h g'(a) + o(h)\\
		&= \lambda f(a) + \mu g(a) + h(\lambda f'(a) + \mu g'(a)) + o(h) \\
		\end{align*}
	\item \begin{align*}
			(fg)'(a+h) &= f(a+h)g(a+h) \\
				   &= (f(a) + hf'(a) + o(h))(g(a) + hg'(a) + o(h)) \\
				   &= f(a)g(a) + h(f(a)g'(a) + g'(a)f(a)) + o(h) \\
		\end{align*}
	\item On a \\
	\ovalbox{Meth 1} {\it Version smart}
	\begin{align*}
		\left( \frac{f}{h} \right)' = \left( f \frac{1}{h} \right)' = \frac{f'}{h} + \left( -\frac{f}{h^2} \right) = \frac{f'h-fh'}{h^2}
	.\end{align*}

	\ovalbox{Meth 2} {\it Avec des DLs} 

	Soit $a \in I$. Supposons $\forall x \in I, g(x)\neq 0$.
	Montrons que $\frac{f}{g}$ a un $DL_1(a)$

	\begin{align*}
		\frac{f}{g}(a+h) &= \frac{f(a+h)}{g(a+h)} \\
				 &= \frac{f(a) + hf'(a) + o(h)}{f(a) + hf'(a) + o(h)}\\
				 &= (f(a) + hf'(a) + o(h)) \frac{1}{g(a)}\left( \frac{1}{1 + \frac{hg'(a) + o(h)}{g(a)}} \right) \\
				 &=  (f(a) + hf'(a) + o(h)) \frac{1}{g(a)}\left( 1 - \frac{hg'(a) + o(h)}{g(a)} + o(h)\right) \\
				 &=  (f(a) + hf'(a) + o(h)) \frac{1}{g(a)}\left( \frac{1}{g(a)} - \frac{hg'(a)}{g(a)^2} + o(h)\right) \\
				 &= \frac{f(a)}{g(a)} - \frac{hf(a)g'(a)}{g(a)^2} + \frac{hf'(a)}{g(a)} + o(h) \\
				 &= \frac{f}{g}(a) - h\left( \frac{f'g-fg'}{g^2} \right)(a) + o(h) \\
	.\end{align*}
\end{enumerate}
\cqfd

\col~\\[-0.8cm]
\begin{enumerate}
\item $\dc^1(I,\R)$ forme une sous-alg\`ebre de $\R^I$~;
\item $\cc^1(I,\R)$ forme une sous-alg\`ebre de $\dc^1(I,\R)$~;
\item $\partial : \defapp{\cc^1(I,\R)}{\cc^0(I,\R)}{f}{f'}$ est lin\'eaire.
\end{enumerate}
\loc

\thm[TDFR]~\\[-0.55cm]
Soit $f : I\too J$ ($I$ un intervalle). Si $\begin{cases}
	f\in (\bijections \cap \dc)(I, J) \\
	f'\ \text{ne s'annule pas}
\end{cases}$ alors $f^{-1}$ est d\'erivable sur $J$ et $\dsp{\left(f^{-1}\right)^\prime = \frac{1}{f^\prime\circ f^{-1}}}$.
\mht

\attention{L'hypoth\`ese \og $I$ intervalle \fg{} est indispensable. Contre-exemple habituel~:}


\begin{center}
	
\begin{tikzpicture}
	\draw[->] (0, 0) -- (0, 3);
	\draw[->] (0, 0) -- (3, 0);
	\draw (0, 0) -- (0.97, 0.97);
	\draw (1, 2) -- (2, 1) node[left]{$f$};
	\draw[color=red] (1, 1) -- (2, 2) node[right]{$f^{-1}$};
\end{tikzpicture}
\[
f := \begin{cases}
	[0, 2]\setminus \{1\} &\to [0, 2[ \\
	x&\mapsto \begin{cases}
		x &\text{si} x\in [0, 1[ \\
		3-x&\text{si} x \in ]1, 2] 
	\end{cases}
\end{cases}
.\] 
\end{center}

$f^{-1}: \begin{cases}
	[0, 2[ \to [0, 2] \setminus \{1\}  \\
	x&\mapsto \begin{cases}
		x &\text{si}x\in [0, 1[ \\
		3-x &\text{si}x\in [1, 2[
	\end{cases}
\end{cases}$ n'est pas continue

$f$ est dérivalbe sur $[0, 2] \setminus \{1\} $ et $f'$ ne s'annule pas $f': \begin{cases}
	[0, 2] \setminus \{1\}  \to [0, 2[ \\
	x&\mapsto \begin{cases}
		1&\text{si} x\in [0, 1[ \\
		-1 &\text{si} x\in ]1, 2] 
	\end{cases}
\end{cases}$


\demo 
Soit $a\in I$. Notons $b = f(a)$. Pour $y\in J \setminus \{b\}$,

\begin{align*}
	\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b} &= \frac{x-a}{f(x)-f(a)} \\
.\end{align*}

En posant $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$ ie

\begin{align*}
	\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b} = \frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}
.\end{align*}

\[
	\underbrace{f}_{= f(x)} \to \underbrace{b}_{= f(a)} \iff \underbrace{x}_{f^{-1}(y)} \to \underbrace{a}_{= f^{-1}(b)}
.\] 

\fbox{$\implies$} par continuité de $f$ \\
\fbox{$\impliedby$} par continuité de $f^{-1}$ car la réciproque d'une fonction continue sur un intervalle est continue

\begin{align*}
	\lim_{y\to b} \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b} &= \lim_{x\to a} \frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \\
							&= \frac{1}{f'(a)} \\
							&= \frac{1}{(f' \circ f^{-1})(b)} \\
.\end{align*}
\cqfd 

\begin{appl}
On a utilis\'e ce th\'eor\`eme pour calculer les d\'eriv\'ees de $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$.
\end{appl}

\section{Th\'eor\`emes de moyenne et applications}

\subsection{Point critique}

\dfn On suppose $f\in\dc^1(I,\R)$. On appelle \newdef{point critique de $f$} un r\'eel $a\in I$ pour lequel on a $f'(a)=0$.
\nfd

\thm[Lemme de Fermat sur les points critiques]
On suppose $f\in \dc^1(I,\R)$.\subline\\
Si $f$ atteint un extremum local en $a$, alors $a$ est soit un point critique de $f$ soit une extr\'emit\'e de $I$.\semisubline
\mht

\demo
Supposons $f$ atteint un extremum local en $a$.
Montrons que si $a$ n'est pas une extremité de $I$, alors c'est un point critique de $f$.

Supposons $a$ n'est pas une extremité ie il existe $\epsilon > 0$ tel que $]a+\epsilon, a-\epsilon[ \subset I$. 

Quitte à changer $f$ en $-f$, $f$ atteint un maximum local en $a$.

Ainsi il existe $\eta > 0$ tel que $\forall x \in ]a-\eta, a+\eta[ \cap I,\ f(x) \le f(a)$.

Pour $\gamma := \min \{\epsilon, \eta\}$ on a $]a-\gamma, a+\gamma[ \subset I$ et $\forall x \in ]a-\gamma, a+\gamma[, f(x) \le  f(a)$.

\begin{align*}
	f'(a) &= \lim_{x\to a^{+}} \frac{\overbrace{f(x)-f(a)}^{\le 0}}{\underbrace{x-a}_{\ge 0}} \le 0 \qquad \text{car les inégalités larges passent à la limite}\\
	f'(a) &= \lim_{x\to a^{-}} \frac{\overbrace{f(x)-f(a)}^{\le 0}}{\underbrace{x-a}_{\le 0}} \ge 0 \qquad \text{car les inégalités larges passent à la limite}\\
	\text{Donc} \ f'(a) &= 0 \\
.\end{align*}
\begin{center}
% \begin{tikzpicture}
% 	\draw[->] (-1, 0) -- (5, 0);
% 	\draw[->] (0, -1) -- (0, 5);
% 	\draw[domain=-1:3, smooth,  variable=\x] plot ({\x}, {cos \x});
% \end{tikzpicture}
\texttt{drawing 2}
\end{center}
\cqfd

\attention{Si $a$ est un point critique de $f$, $f(a)$ n'est pas n\'ecessairement un extremum local de $f$.}\ \\[0.15cm]

\exx $\id^3$ a un point critique en 0 mais pas un extremum local
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[domain=-5:5, scale=0.5]
\clip (-5, -5) rectangle (5, 5);
\draw[->] (-5, 0) -- (5, 0);
\draw[->] (0, -5) -- (0, 5);
\draw plot[variable=\x, smooth] ({\x}, {\x*\x*\x});
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\xxe

\subsection{Th\'eor\`eme de Rolle}


\thm[Rolle]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$ telle que $f(a)=f(b)$.\subline\\
Alors il existe $c\in]a,b[$ pour lequel on a $f'(c)=0$.\semisubline
\mht
Remarque~: il y a bien {\bf trois} hypoth\`eses (lesquelles~?).
\begin{itemize}
	\item $f \in \cc([a, b], \R)$
	\item $f \in \dc(]a, b[, \R)$
	\item $f(a) = f(b)$
\end{itemize}

\demo On commence par un dessin.
\begin{center}
	\texttt{drawing 4}
\end{center}

Traitons deux cas.

\ovalbox{$f$ constante} \trivial

\ovalbox{$f$ non constante}

$f$ est continue sur un segment, donc bornée et atteint ses bornes.


\begin{align*}
	M &= \sup_{[a, b]} f = f(\alpha) \qquad \text{pour un certain $\alpha \in [a, b]$ } \\
		m &= \inf_{[a, b]} f = f(\beta) \qquad \text{pour un certain $\beta \in [a, b]$} \\
.\end{align*}

$m < M$ car $f$ n'est pas constante donc $\alpha$ ou $\beta$ ne peut pas être une extremité de $[a, b]$. D'après Fermat, c'est donc un point critique de $f$.

\cqfd

\begin{appl}
Soit $P\in\R[X]$ de degr\'e $n\geq 2$. Si $P$ est scind\'e \`a racines simples alors $P'$ l'est aussi.

\[
	P \text{ scindé} \stackrel{\text{def}}{\iff} P \text{ est de la forme } P = a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\cdots(X-\lambda_n) \qquad\text{avec les $\lambda_i$ distincts}
.\] 
\end{appl}

\begin{center}
	\texttt{drawing 5}
\end{center}

À renommage près, $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$

$\begin{cases}
	P(\lambda_1) = P(\lambda_2) = \cdots = P(\lambda_n) \ \color{gray}{= 0}\\
	\forall i\in \{1, \ldots, n\}, P \in \cc([\lambda_i, \lambda_{i+1}] \cap \dc(]\lambda_i, \lambda_{i+1}[, \R) \\
\end{cases}$

Donc d'après Rolle, il existe $c_i \in ]\lambda_i, \lambda_{i+1}[$ tel que $P'(c_i) = 0$.

On a
\[
\lambda_1 < c_1 < \lambda_2 < c_2 < \cdots < c_{n-1} < \lambda_n
.\] 

donc $c_1 < c_2 <\cdots<c_{n-1}$ donc les $c_i$ sont différents

$P'$ se factoriser par $\underbrace{(X - c_1)(X - c_2)\cdots(X - c_{n-1})}_{\text{degré $n-1$}}$

Donc il existe $b \in \R$ tel que $\underbrace{P'}_{\text{degré $n-1$}} = \underbrace{b}_{\text{constante}}(X-c_1)(X-c_2)\cdots(X-C_{n-1})$

%\newpage\ \\[-2cm]
\subsection{Accroissements finis}

\thm[\'Egalit\'e des accroissements finis]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$. 
 Alors il existe $c\in]a,b[$ pour lequel on a $\dsp{f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$.\semisubline
\mht

%\newpage\ \\[-1cm]
{\bf \underline{Interpr\'etation g\'eom\'etrique}~:}
\begin{center}
	\texttt{drawing 6}
\end{center}


\demo
Notons $g: [a, b] \to \R = x\mapsto f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\color{gray}{\  = f - \tau_b(a)\cdot \id}$

\begin{itemize}
	\item $g \in \cc([a, b], \R)$ par théorèmes généraux
	\item $g \in \dc(]a, b[, \R)$ par théorèmes généraux
	\item $\begin{cases}
			g(a) &= f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}a = \frac{bf(a)\cancel{-af(a)}-af(b)\cancel{+af(a)}}{b-a} = \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \\
			g(b) &= f(b) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}b = \frac{bf(a)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a} = \frac{bf(a)-af(b)}{b-a}
	\end{cases}$
\end{itemize}
D'après le théorème de Rolle, il existe $c\in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$ ie $f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$ ie $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $
\cqfd

\newpage\ \\[-1.15cm]
{\bf \underline{Interpr\'etation cin\'ematique}~:}
Sous des hypothèses raisonnables, 
la vitesse moyenne est toujours obtenue comme vitesse instantanée en un instant (ou plusieurs) remarquables.

\col[In\'egalit\'e des accroissements finis]
Soient $a<b\in\R$ et $f\in\cc([a,b],\R)\cap \dc(]a,b[,\R)$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item $\dsp{\inf\limits_{]a,b[}f' \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \sup\limits_{]a,b[}f'}$~;
\item $\dsp{\left|\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|\leq \sup\limits_{]a,b[}\left|f'\right|}$.
\end{enumerate}
\loc
%Remarque~: i
Il est possible que les $\inf$ et $\sup$ consid\'er\'es soient infinis. Auquel cas l'in\'egalit\'e concern\'ee ne donne pas d'information.

\demo Exercice. {\tiny Et pour info~: c'est inqui\'etant si c'est insurmontable. Inqui\`ete-toi. Et surtout envoie-moi un mail.}

Soit $a < b \in \R$. Soit $f \in (\cc([a, b], \R) \cap \dc(]a, b[, \R))$.

D'après l'EAF, il existe $c \in ]a, b[$ tel que $\tau_b(a)=f'(c)$ 

Or $f'(c)\in f'^{\to }(]a, b[) = E$.

Donc \begin{align*}
	\inf E \le f'(c) \le \sup E \\
	\iff \inf_{]a, b[} f' \le \tau_b(a) \le \sup_{]a, b[} f'
\end{align*}

De même, \begin{align*}
	|\tau_b(a) |  &= |f'(c)| \\
		      &= |f'|(c) \\
\end{align*}.

Enfin, 
\begin{align*}
	|f'|(c) &\in f'^{\to }(]a, b[) \\
	\implies |f'(c)| &\le \sup |f'|^{\to }(]a, b[) \\
	\iff |\tau_b(a)| &\le \sup_{]a, b[} |f'|
\end{align*}


\cqfd

%\newpage\ \\[-1cm]
\begin{appl}%\ \\[-0.85cm]
%\phantom{Application 22~:}
Retrouvons qu'on a $\forall n\geq 1,\ \ln(n+1)\leq H_n \leq \ln(n)+1$.

Soit $n \ge 1$ et $k\in [1, n]$. Appliquons l'IAF\footnote{Inégalité des accroissements finis} à l'intervalle $[k, k+1]$.
\begin{itemize}
	\item $\ln$ est continue et dérivable sur $[k, k+1]$ (donc elle est dérivable sur $]k, k+1[$)
\end{itemize}
Par IAF, 

\begin{align*}
	\inf_{]k, k+1[} \ln' \le \frac{\ln(k+1)-\ln k}{k+1-k} \le \sup_{]k, k+1[} \ln' \\
	\inf_{]k, k+1[} \frac{1}{\id} \le \frac{\ln(k+1)-\ln k}{k+1-k} \le \sup_{]k, k+1[} \frac{1}{\id} \\
	\frac{1}{k+1} \le \ln(k+1) - \ln k \le \frac{1}{k}
.\end{align*}

On somme les inégalités de gauche pour $k\in \llbracket 1, n \llbracket$ on obtient
$H_{n}-1 \le \ln n \cancel{- \ln 1}$

On somme les inégalités de droite pour $k\in \llbracket 1, n \rrbracket $ on obtient
$\ln(n+1) \cancel{- \ln 1} \le H_n$

Finalement, $H_n \le \ln n + 1 \le \ln(n+1) \le H_n$

\end{appl}


\thm[Reformulation de l'IAF]
On suppose que $I$ est un intervalle et qu'on a $f\in\dc^1(I,\R)$. Alors~:
\begin{enumerate}
\item pour $k\geq 0$, on a $f\in k\!-\!\lc \Leftrightarrow |f'|\leq k$~;
\item pour $f\in \lc \Leftrightarrow |f'|$ born\'ee.
\end{enumerate}
\mht

\demo Il est clair (est-ce clair~?) qu'il suffit de montrer le premier point.\\[0.1cm]
\fbox{$\implies$} Supposons $f\in k\!\!-\!\!\lc$ ie $\forall x\neq a\in I, \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|\le K$. 

Soit $a\in I$.

\begin{align*}
	|f'(a)| &= \left| \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right| \\
		&= \lim_{x\to a} \left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \right| \\
		&\le k\qquad\text{car les inégalités larges passent à la limite}
.\end{align*}

\fbox{$\impliedby$} Supposons $|f'|\leq k$.
Soient $x\neq a\in I$. \`{A} renommage près, $a<x$.
$\begin{cases}
	f\in \cc([a, x], \R) \quad\text{car $f\in \dc(I, \R)$}\\
	f\in \dc(]a, x[, \R) \quad\text{car $f\in \dc(I, \R)$}
\end{cases}$ car $I$ est un intervalle.

Donc d'après l'IAF, $\left| \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| \le \sup_{]a, x[} |f'| \le \sup_{I} |f'| \le k$
\cqfd

%\newpage\ \\[-1.2cm]
\attention{Attention, il existe des fonctions lipschitziennes mais pas d\'erivables, comme $x\mapsto |x|$.}\\

\begin{appl}%\ \\[-0.75cm]
\ \\[-0.25cm]
\begin{enumerate}
\item On retrouve que $\cos$ et $\sin$ sont $1\!\!-\!\!\lc$ (et pas mieux), puisqu'on a~:\\
	$\begin{cases}
		|\cos'| = |-\sin| = |\sin| \le 1 \\
		|\sin'| = |\sin| \le 1
	\end{cases}$ Donc d'après l'IAF
\item On obtient $\arctan$ est $1\!\!-\!\!\lc$ puisqu'on a~:\\
	$\begin{cases}
		|\arctan'| = \left| \frac{1}{1+\id^2} \right| \le 1
	\end{cases}$ Donc d'après l'IAF
\end{enumerate}
\end{appl}


\subsection{Application aux \'etudes globales}

\thm[sur le signe de la d\'eriv\'ee]
On suppose que $I$ est un intervalle et qu'on a $f\in\dc(I,\R)$.
\begin{enumerate}
\item $\lect{\text{Si $f'\geq 0$ sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$~;}\\\text{si $f'\leq 0$ sur $I$ alors $f$ est d\'ecroissante sur $I$.}}$
\item $\lect{\text{Si $f'> 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$~;}\\\text{si $f'< 0$ sur $I$ alors $f$ est strictement d\'ecroissante sur $I$.}}$
\item Si $f'=0$ sur $I$ alors $f$ est constante sur $I$.
\end{enumerate}
\mht
Et \'evidemment si $I$ n'est pas un intervalle, on conna\^it moult contre-exemples.

\demo Enfin~! Non mais genre, n'est-il pas un peu temps de comprendre pourquoi c'est vrai~?\subline\\
On montre seulement 1., les deux autres points s'obtiennent exactement de la m\^eme fa\c{c}on.
\\
Supposons $f' \ge 0$. Montrons $\forall a\le b\in I,\ f(a) \le f(b)$
Soient $a \le b\in I$.
\\
Excluons le cas trivial $a = b$. On a ainsi $a<b$.

$\begin{cases}
	f\in \cc([a, b] ,\R) \\
	f\in \dc(]a, b[, \R)
\end{cases}$, donc d'après l'EAF\footnote{\'Egalité des accroissements finis}, il existe $c\in ]a, b[$ tel que 
\begin{align*}
	f(b)-f(a) &= \underbrace{(b-a)}_{>0}\underbrace{f'(c)}_{\ge 0} \\
	\implies f(b)&\ge f(b)
.\end{align*}



\cqfd

\attention{La r\'eciproque de 2. n'est pas vraie. Exemple~: $x\mapsto x^3$
\phantom{A}Pour que $f\in\dc(I,\R)$ soit strictement croissante ($I$ intervalle) il suffit que $f'\ge 0$ et $f'$ s'annule uniquement en des \emph{points isolés} }

\medskip

\subsection{$\dc^1$ vs $\cc^1$}

\begin{appl}%\ \\[-0.835cm]
%\phantom{Application 4~:}
{\bf\!: Le th\'eor\`eme de Darboux.} \\[0.15cm]
Soit $I$ un intervalle et $f\in\dc(I,\R)$. Alors $f'$ est PVI.\\[0.35cm]
\end{appl}
Rappelons ce que cela veut dire~: \og $f'$ est PVI \fg{} signifie que $f'$ v\'erifie la propri\'et\'e des valeurs interm\'ediaire, \ie que l'image directe par $f'$ d'un intervalle est toujours un intervalle, ou encore que, pour tous $a<b\in I$, en notant $\alpha=\min(f'(a),f'(b))$ et $\beta=\max(f'(a),f'(b))$, on a~: $\forall \gamma \in [\alpha,\beta],\ \exists c\in[a,b],\ f'(c)=\gamma$.\\[0.35cm]
Le th\'eor\`eme de Darboux exprime donc qu'une d\'eriv\'ee, m\^eme discontinue, ne peut pas pr\'esenter de "sauts". Les seules discontinuit\'es possibles doivent \^etre dues \`a des "oscillations".

\demo
Soient $a<b\in I$. Notons $\begin{cases}
	\alpha &:= \min \{f'(a), f'(b)\} \\
	\beta &:= \max \{f'(a), f'(b)\} \\
\end{cases}$. Montrons $\forall \gamma\in [\alpha, \beta], \exists c\in [a, b], f'(c) = \gamma$.

Notons $g: \defapp{[a, b]}{\R}{x}{f(x)-\gamma x}$

\emph{Pb} $\begin{cases}
	g(a) &= f(a)-\gamma a \\
	g(b) &= f(b)-\gamma b \\
\end{cases}$. 

\attention{Il n'y a \emph{aucune} raison d'avoir $g(a) = g(b)$.}

Montrons qu'il existe $u < v\in [a, b]$ tels que $g(u)=g(v)$.
Procédons par l'absurde. S'il n'existe pas de tel couple $(u, v)$ cela signifie que $g$ est injective. Or $g$ est dérivable donc continue sur $[a, b]$. Donc $g$ est strictement monotone !

\emph{Si $g$ strictement croissante}  alors $g'\ge 0$.
$\begin{cases}
	f'(a)-\gamma \ge 0 \\
	f'(b)-\gamma \ge 0
\end{cases}$ donc $\begin{cases}
	\alpha \ge \gamma \\
	\beta \ge \gamma 
\end{cases}$.

\emph{Si $g$ strictement décroissante} (idem).

Donc $u$ et $v$ existent et 

$\begin{cases}
	g\in \cc([u, v], \R) \\
	g\in \dc(]u, v[, \R) \\
	g(u) = g(v)
\end{cases}$ 

Donc d'après Rolle il existe $c \in ]u, v[\subset [a, b]$ tel que $g'(c)=0$ ie $f'(c)=\gamma$
\cqfd

\rmq Ce th\'eor\`eme implique que les seules fonctions $\cc_{pm}$ qui ont des primitives sont les fonctions continues, pourquoi~?
\qmr

\thm[\!\!sur la limite de la d\'eriv\'ee]
Soit $f\in\cc(I,\R)$ et $a\in I$. On suppose de plus que $f$ est d\'erivable sur $I\setminus\{a\}$.
\begin{enumerate}
\item Si $\lim\limits_{{\tiny \begin{array}{c}x\too a\\[-0.05cm]x\neq a\end{array}}} f'(x)=\ell \in\overline{\R}$ alors $\lim\limits_{x\too a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\ell$.\\[-0.35cm]
\item En particulier, si $\lim\limits_{{\tiny \begin{array}{c}x\too a\\[-0.05cm]x\neq a\end{array}}} f'(x)=\ell \in\R$ alors $f$ est d\'erivable en $a$ et $f'(a)=\ell$.
\end{enumerate}
\mht
Bien s\^ur, la d\'eriv\'ee peut ne pas avoir de limite, cf l'exemple 1.\\[0.1cm]
La d\'emonstration de ce th\'eor\`eme compl\`ete d'ailleurs la r\'esolution de l'exercice CCINP $n^\circ 4$.

\demo


Soit $x\in I\setminus \{a\} $. Alors $f\in \cc([a, x], \R) \cap \dc(]a, x[, \R)$. 

D'après l'EAF, il existe $c_x \in ]a, x[$ tel que $f'(c_x) = \tau_a(x)$

$a < c_x < x$, donc par TdG $c_x \to_{x\to a} a$.
	 
Or $f' \to_a l$ donc $f'(c_x) \to_a l$ ie $\tau_a \to_{a} l$
\cqfd

\exx Consid\'erons la fonction $\arcsin$ 
\\
$\arcsin \in  \dc(]-1, 1[, \R)$ et $\forall x\in ]-1, 1[,\ \arcsin' = \frac{1}{\sqrt{1-\id^2} }$ d'après le TDRC.

Or $\arcsin' \to_{\pm 1} +\infty$ donc $\frac{\arcsin - \arcsin(\pm 1)}{\id - \pm 1} \to_{\pm 1} +\infty$

d'après le TLD\footnote{Théorème du signe de la dérivée}, en particulier, arcsin \emph{n'est pas dérivable en $\pm 1$} 

\xxe

\paragraph{Plus généralement}
Le même argument montre que si $f$ dérivable et bijective mais $f'(a)=0$ alors $f^{-1}$ \emph{n'est pas} dérivable en $f(a)$
\\[1cm]
En corollaire~:
\thm[\!\!th\'eor\`eme de prolongement $\cc^1$]
\ \\[-0.5cm]
Soit $a\in I$ et $f\in\cc^1(I\setminus\{a\},\R)$. On suppose qu'il existe deux r\'eels $\ell_0$ et $\ell_1$ tels que $\lect{\tendvers{f(x)}{x\too a}{\ell_0}\\\tendvers{f'(x)}{x\too a}{\ell_1}.}$\\[-0.15cm]
Alors $f$ est prolongeable par continuit\'e sur $I$ et son prolongement est $\cc^1(I,\R)$.\\
En notant $f_{\sim}$ ce prolongement, on a $\lect{f_\sim(a)=\ell_0\\f_\sim'(a)=\ell_1.}$
\mht

\demo C'est assez imm\'ediat. Exercice. \cqfd

\begin{appl}
Consid\'erons l'application $f : \defapp{\R^*}{\R}{x}{\frac{\e^x-1}{x}.}$

\begin{itemize}
	\item $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1+o(x)}{x} = 1$
	\item $ \lim_{x \to 0} \left(\frac{\exp-1}{\id}\right)' = \lim_{x \to 0} \frac{\exp\cdot \id - (\exp - 1)}{\id^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x+x^2-x - \frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2}+o(1) = \frac{1}{2}$
	\item $f \in \cc^1(\R^\ast, \R)$
\end{itemize}

Donc $f$ a un profolongement $\cc^{1}$ à $\R$ en posant $f_\sim(0)=1$. On a alors $f_\sim(0) = \frac{1}{2}$.

\end{appl}

\subsection{Convexit\'e des fonctions d\'erivables}

Ce n'est pas au programme mais c'est \'eclairant pour identifier l'allure des graphes des fonctions usuelles, alors on va en dire deux mots. Disons que c'est une (toute toute petite) introduction au cours de l'an prochain.\\
{\bf Dans toute la sous-section, $\pmb{I}$ est un intervalle.}

\dfn
La fonction $f$ est dite \newdef{convexe} lorsqu'on a  $\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\ g\big((1-t)x+ty\big) \leq (1-t)g(x)+tgf(y)$.
\nfd

{\bf \underline{Quelques interpr\'etations g\'eom\'etriques}~:} Ces reformulations ne sont pas toutes imm\'ediates, mais on ne s'attardera pas sur leurs d\'emonstrations puisqu'on d\'eborde ici du programme.
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item La fonction $f$ est convexe \ssi son \textbf{\'epigraphe} est une partie convexe de $\R^2$. L'\'epigraphe de $f$ est l'ensemble des points du plan "au dessus de la courbe de $f$", \cad $\ec pi_f = \big\{\binom{x}{y}\in\R^2,\ y\geq f(x)\big\}$.
\item La fonction $f$ est convexe \ssi sa courbe est \textbf{en dessous de ses s\'ecantes} entre les deux points consid\'er\'es (et au dessus au del\`a de ces points).
\item  La fonction $f$ est convexe \ssi tous ses taux d'accroissements $\tau_a$ (pour $a\in I$) sont %des fonctions croissantes
 croissants.\subline
\end{itemize}

%\newpage\ \\[-1cm]
{\bf \underline{Un dessin pour illustrer tout cela}~:}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	% axes
	\draw[->] (-1, 0) -- (10, 0);
	\draw[->] (0, -1) -- (0, 10);
	% curve
	\draw[color=blue] plot[smooth, tension=0.8] coordinates{(0, 9) (1.5, 5) (5, 3)};
	\draw[color=blue] (5, 3) -- (9.25, 9.5);
	% \draw (5, 3.20) -- (5, 2.80);
	% \draw (4.8, 3) -- (5.2, 3);
	% \draw[color=gray] (5, 2.80) node[below, text width=3cm ]{\footnotesize pas dérivable ici, mais quand même convexe};
	% points
	\draw[dashed] (1, 0) node[below]{$x$} -- (1, 5.75) node {$\bullet$} -- (0, 5.75) node[left]{$f(x)$};
	\draw (1, -0.5) node{$t = 0$};
	\draw[dashed, color=red] (3, 0) node[below]{$(1-t)x+ty$} -- (3, 6.4) node{$\bullet$} -- (0, 6.4) node[left]{$(1-t)f(x)+tf(y)$};
	\draw[dashed] (8.25, 0) node[below]{$y$} -- (8.4, 8.25) node {$\bullet$} -- (0, 8.25) node[left]{$f(y)$};
	\draw (8.25, -0.5) node{$t = 1$};
	% cordes
	\draw[color=gray] (1, 5.75) -- (7.8, 7.25) node{$\bullet$} node[right, text width=4cm]{\small on diminue $y$, la courbe reste en dessous};
	\draw (1, 5.75) -- (8.4, 8.25) node{$\bullet$};
	\draw[color=gray] (1, 5.75) -- (9.1, 9.25) node{$\bullet$} node[right, text width=4cm]{\small on augmente $y$, la courbe reste en dessous};
	
\end{tikzpicture}
\end{center}

\exx La fonction $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\R$, parce que "\c{c}a se voit". Plus s\'erieusement, le\,calcul\,suivant\,le\,montre.\\[0.2cm]
Soient $x,y\in\R$ et $t\in[0,1]$. On a~:\\[0.2cm]
$\begin{array}{ccl} \big((1-t)x+ty\big)^2-\big((1-t)x^2+ty^2\big)
& = & (1-t)^2x^2+2t(1-t)xy+t^2y^2-(1-t)x^2-ty^2\\[0.1cm]
& = & \big((1-t)^2-(1-t)\big)x^2+2t(1-t)xy+\big(t^2-t\big)y^2\\[0.1cm]
& = & -t(1-t)x^2+2t(1-t)xy-t(1-t)y^2\\[0.1cm]
& = & -t(1-t)(x-y)^2\\[0.1cm]
& \leq & 0
\end{array}$\ \\[0.1cm]
Ce calcul \'etant un peu p\'enible, la caract\'erisation par la d\'eriv\'ee seconde que l'on va revoir plus bas est tip top.%vraiment int\'eressante.
\xxe

\medskip

\rmq On d\'efinit de m\^eme une fonction \newdef{concave} $g : I \too \R$ par %la propri\'et\'e
 $\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\ g\big((1-t)x+ty\big) \geq (1-t)g(x)+tgf(y)$. Autrement dit, une fonction concave est l'oppos\'ee d'une fonction convexe, son graphe est {\bf au dessus} de ses s\'ecantes, son \textbf{hypographe} (l'ensemble des points du plan "sous" la courbe) est convexe, ses taux d'accroissements sont d\'ecroissants. L'\'etude des fonctions concaves est la m\^eme que celle des fonctions convexes, il suffit de renverser les in\'egalit\'es.
\qmr

\medskip

\rmq Une fonction convexe n'a aucune raison d'\^etre d\'erivable, par exemple $x\mapsto |x|$ est convexe.
\qmr
On restreint d\'esormais l'\'etude de la convexit\'e aux fonctions d\'erivables.

\medskip

\pro
Supposons $f$ d\'erivable sur $I$% et que $I$ est un intervalle (d\'ej\`a fait)
. Alors $f$ est convexe \ssi $f'$ est croissante.\\[0.15cm]
En particulier, si $f$ est deux fois d\'erivable, alors elle est convexe \ssi $f''$ est positive.\subline
\orp

\demo On montre le premier point, le second s'en d\'eduit par th\'eor\`eme sur le signe de la d\'eriv\'ee.\\[0.15cm]
$\bullet$ Supposons $f$ convexe. Alors tous ses taux d'accroissements sont croissants. Soient $x,y\in I$ et supposons $x<y$. Pour tout $z\in]x,y[$ on a $\tau_x(z)=\tau_z(x)\leq\tau_z(y)=\tau_y(z)$. En prenant la limite pour $z\too x$, on obtient $f'(x)\leq \tau_y(x)$. En prenant la limite pour $z\too y$, on obtient $\tau_y(x)\leq f'(y)$. On conclut par transitivit\'e.\\[0.15cm]
$\bullet$ Supposons $f'$ croissante. Soient $x,y\in I$ et $t\in[0,1]$. On veut montrer qu'on a $f((1-t)x+ty)-(1-t)f(x)-tf(y)\leq 0$. \`A renommage pr\`es, on peut supposer $x\leq y$, ce qu'on fait dans la suite. Consid\'erons (par exemple) la fonction
$$\Delta : \defapp{[x,y]}{\R}{s}{f((1-t)s+ty)-(1-t)f(s)-tf(y).}$$
Elle est d\'erivable par th\'eor\`emes g\'en\'eraux et on a $\forall s\in I,\ \Delta^\prime(s)=(1-t)\Big(f^\prime((1-t)s+ty)-f^\prime(s)\Big)\geq 0$ par croissance de $f$. Comme $[x,y]$ est un intervalle, $\Delta$ est croissante en en particulier $\Delta(x)\leq \Delta(y)=0$, cqfd.
\cqfd

{\bf \underline{Quelques interpr\'etations g\'eom\'etriques pour $\pmb{f}$ d\'erivable}~:} L\`a encore ces reformulations peuvent \^etre plus ou moins imm\'ediates, mais on ne s'attardera pas sur leurs d\'emonstrations.
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item La fonction $f$ est convexe \ssi sa courbe est \textbf{au dessus de ses tangentes}.
\item La fonction $f$ est convexe \ssi sa courbe a l'une des trois allures suivantes~:\\
%TODO \includegraphics[width=0.9\textwidth,height=0.17\textheight]{./FonctionConvexe.jpg}
\begin{center}
	\texttt{drawing 8}
\end{center}
\end{itemize}
%[scale=0.5]

\exx On retrouve que la fonction $x\mapsto x^2$ est convexe sur $\R$ puisque sa d\'eriv\'ee seconde est $x\mapsto 2$ qui est positive.
\xxe

\bigskip
\smallskip

\'Evidemment, les fonctions qu'on \'etudie ne sont en g\'en\'eral ni convexes ni concaves (ni croissantes ni d\'ecroissantes).
\dfn
Soit $a\in I$. On dit que \newdef{$f$ pr\'esente un point d'inflexion en $a$} lorsque $f$ change de concavit\'e en $a$.
\nfd

\exx On a d\'ej\`a vu que la fonction $\sh$ pr\'esente un point d'inflexion en $0$.
\xxe
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\[
\square
\] 
\end{document}