# TIPS CCINP

1
	1		def lim avec ε=1
	2		dl de sh en x=1/n, dl de tan => 1+tan^2 = tan' -primitive-> tan... pour avoir du o(x^3) et faire la diff en +oo

2
	1		X=0 et (×X puis X=-1), donne A=3 et B=4
	2(mod)	linéarité puis  1/(X+1)  et  (X+1)^alpha  avec  alpha = -2
	3.b		en n=3

3
	1		récurrences immédiates (des trucs style 2^k, k!, (-1)^k apparaissent), pour 1/(x+1) on fait (x+1)^(-1)
	2		appliquer lebiniz: (f·g)^((n)) = sum_(k=0)^n (k parmi n) f^((k)) · g^((n-k))
	3		par récurrence: init(n=0), her: (fg)' = (f'g)+(g'f), on fait les deux arg de cette somme séparéement et on dit que (fg)' = la somme = lebiniz à n+1 "d'ap. Pascal" ¯\_(ツ)_/¯
31
	1		Euler into BdN, linéarité de ∫
35
	1	=>	def continuité pour f et def limite pour x et x_n in RR donc ok
		<=	contraposition, not(def continuité pour f), particulariser en eta = 1/n, def limite pour x, f°x not(--oo-->) f(a) sinon 0 ≥ ε imp.
	2		CSD nous donne une suite u_n. puis on utilise la question 1 pour f ° u et g ° u, puis par unicité de la limite on a f(x)=g(x) forall x in RR, donc f=g.
43
	1
		a	3 cas:  u_1 ><= u_0  puis  g := atan-id_RR  , on a  @cases g' = -id^2/(1+id^2) < 0 => g in strictlydecreasingfunctions \\ g(0) = 0 @end  puis tab. de var.  => @cases x_0 > 0 => u in stdecreasingfunctions \\ x_0 = 0 => u "est constante" \\ x_0 < 0 => u in stincreasingfunctions @end
		b	3 cas:  x_0 ><= 0  , si  x_0 = 0  , alors  u = (0)_(n in NN) => u --oo-> 0 in RR  , sinon, majo/mino et st. croissante/décroissante  =>  tend vers  x_0  par TLM
	2	poser la suite  u := ((u ° u ° ... ° u)__"  n  fois")_(n in NN)  et faire  h(u_0) = h(atan u_0) = h(u_1) = h(atan u_1) = ... = h(u_n)  , on a  h  constante sur  NN  . ensuite, on fait  h ° u --oo-> h(0) => h(x) --oo-> h(0)  par unicité de lim, puis  h(x) = h(0)  par continuité. Enfin, récipriquement, les fonctions constantes conviennent
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	1		intégrale fonction de ses bornes
	2		DL de  ln(1+h)  avec  h := x - 1  , on a une limite de  1/2 in RR  à la fin 
	3		truc de laroche puis linéarité de l'intégrale pour avoir  x |-> int_x^(x^2) u + int_x^(x^2) 1/(t-1) dt  . Prolongement par continuité de  u  en  1  par sa limite. On note  U  une primitive du prolongement de  u  . On évalue l'intégrale avec la partie avec  int u  nulle, puis par les propriétés de  ln  on trouve une limite de  ln 2  en  1^+  .
63
	1		on part de  D_(n+2)  , on développe par rapport à ligne 1 col. 1, puis par rapport à ligne 2 colonne 1 sur le résultat avec le  (-1)  en coef.
	2		réc double trivialle,  D_n = n+1
	3		On a  forall n in NN*, det A_(n+1) > det A_n  et  det A_1 = 2 > 0  donc il est trivial que  forall n in NN*, det A_n ≠ 0
66
	1		  bar A = { y in ZZ, y R A } = { y in ZZ, y cong 0 mod p }  En particulier, pour  A in {0, p}  , on a  bar A = p ZZ
	2		Pour  opération in {+, ×}, bar a opération bar b := bar (a opération b).  On prend quatre entiers  a, b, c, d  et on suppose  bar a = bar c ^ bar b = bar d. on vérifie que c'est stable pour opération.
	3	=>	contraposition: supp  p !in PP.  on a  p  composé car supérieur à 2. On pose  p = bar k × bar d.  On montre que  bar k  n'a pas d'inverse par l'absurde. On multiplie par  bar d  des deux côtés et on remplace la déf de  p  par  p  puis on a  bar 0 = bar d,  imp.
		<=	Soit  a in [|1, p[|  . On a  a ^ p = 1  par lien  PP  -p.e.e, puis on utilise Bézout, puis on fait  au = pv-1 cong 1 mod p  puis on remplace par la classe d'équivalence, puis on a finalement la déf. de  "  bar a  a un inverse".
76
	1		Mtq  forall f, g in c"C"([a, b], RR), ( int_[a, b] f g )^2 <= int_[a, b] f^2 int_[a, b] g^2.  Deux cas:  f = 0 ou g = 0 => "OK!"  sinon,  P(lambda) := int_[a, b] (lambda f + g)^2 >= 0  par positivité de  int  . Après on développe, on fait la linéarité de  int  , puis:  P(lambda)  ne change pas de signe donc  Delta <= 0 ie "expression du Delta" <= 0  et plus qu'à faire passer un terme de l'autre côté.
	2		
84
	
89
2
94
101
63 \ 3.