\documentclass{article}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}
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\begin{document}


\begin{enumerate}
	\item On a $u \sim v$ ie  $\frac{v}{u} \to 1$ car $v\neq 0$ ÀPCR.

		Par définition de la limite, il existe $n_0\in \N$ tel que

		\begin{align*}
			\forall n\ge n_0,\ \left| \frac{u_n}{v_n} \right| < 1 \\
			\text{ie}\ \forall n\ge n_0,\ -1 < \frac{u_n}{v_n} < 1 \\
			\text{donc}\ \forall n\ge n_0,\ 0 < \frac{u_n}{v_n} \\
			\text{donc}\ \forall n\ge n_0,\ \operatorname{sgn}(u_n) = \operatorname{sgn}(v_n)
		\end{align*}

	\item Posons  $x := \frac{1}{n}$. On a ainsi $x\to 0$. Faisons le DL de $\tan$ :


		\begin{align*}
			\tan x &= x + o(x) \\
			\iff 1 + \tan(x)^2 &= 1 + x^2 + o(x^2) = \tan'(x)\\
			\implies \tan x &= x + \frac{x^3}{2} + o(x^3)\\
		\end{align*}

		D'autre part, le DL de $\sh$ :

		\begin{align*}
			\sh x &= x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) \\
		\end{align*}

		Ainsi:

		\begin{align*}
			\sh x - \tan x &= \cancel{x} - \frac{x^3}{3} \cancel{-x} - \frac{x^3}{2} + o(x^3) \\
			&= -\frac{5x^3}{6} \\
			&= -\frac{5}{6n^3} \\
			&< 0
		\end{align*}


		D'où $\sh \frac{1}{n} -  \tan \frac{1}{n}$ négatif au voisinage de $\infty$.
	
\end{enumerate}

\end{document}
