\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[margin=1in]{geometry}
\usepackage{xifthen}
\usepackage{amsmath, amssymb}
%\usepackage{longfbox}
\usepackage[bookmarks]{hyperref}
\usepackage{bookmark}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bc}{\mathcal{B}}
\newcommand{\ac}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
\newcommand{\uc}{\mathcal{U}}
\newcommand{\lc}{\mathcal{L}}
\newcommand{\decomp}[2]{\begin{array}{c}| \\ #1 \\ |\end{array}_{#2}}
\DeclareMathOperator{\Vect}{Vect}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\newcommand{\xor}{\veebar}
\newcommand{\ie}{\text{ie}\quad}
\newcommand{\donc}{\text{donc}\quad}
\renewcommand{\t}{{}^t\!}
\newcounter{remarques}
\newcounter{lemmes}
\newcounter{corollaires}
\newcounter{theoremes}
\newcounter{exemples}
\newcounter{exercices}
\newcounter{definitions}
\newcounter{methodes}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
%\newcommand{\detail}[1]{\ifthenelse{\isempty{#1}}{}{: #1}}
\newcommand{\detail}[1]{ #1}

\newenvironment{remarque}[1][]{
	\addtocounter{remarques}{1}
	\belowpdfbookmark{Remarque \theremarques\detail{#1}}{remarque\theremarques}
	\paragraph{Remarque \theremarques \hspace{1em}  {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{lemme}[1][]{
	\addtocounter{lemmes}{1}
	\belowpdfbookmark{Lemme \thelemmes \detail{#1}}{remarque\thelemmes}
	\paragraph{Lemme \thelemmes \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{corollaire}[1][]{
	\addtocounter{corollaires}{1}
	\belowpdfbookmark{Corollaire \thecorollaires\detail{#1}}{remarque\thecorollaires}
	\paragraph{Corollaire \thecorollaires \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{theoreme}[1][]{
	\addtocounter{theoremes}{1}
	\belowpdfbookmark{Théorème \thetheoremes\detail{#1}}{remarque\thetheoremes}
	\paragraph{Théorème \thetheoremes \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{exemple}[1][]{
	\addtocounter{exemples}{1}
	\belowpdfbookmark{Exemple \theexemples\detail{#1}}{remarque\theexemples}
	\paragraph{Exemple \theexemples \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{exercice}[1][]{
	\addtocounter{exercices}{1}
	\belowpdfbookmark{Exercice \theexercices\detail{#1}}{remarque\theexercices}
	\paragraph{Exercice \theexercice \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{
	\setcounter{methodes}{0}
	\paragraph{}
}
\newenvironment{definition}[1][]{
	\addtocounter{definitions}{1}
	\belowpdfbookmark{Définition \thedefinitions\detail{#1}}{remarque\thedefinitions}
	\paragraph{Définition \thedefinitions \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{methode}[1][]{
	\addtocounter{methodes}{1}
	%\noindent\lfbox[border-radius=0.5ex]{Meth. \themethodes} \hspace{1em} {\it #1}
	\noindent\fbox{Meth. \themethodes} \hspace{1em} {\it #1}
	\mbox{}\\[1em]
}{}
\newenvironment{demo}[1][]{
	\paragraph{Démonstration \hspace{1em} {\it #1}}
	\mbox{}\\[1em]
}{
	\setcounter{methodes}{0}
	\paragraph{}
}


\begin{document}

\begin{definition}
	Soit $f\in \lc(E)$. $\forall u, v \left<f(u), f(v) \right> = \left<u, v \right> $
\end{definition}

\begin{theoreme}
	$f\in \lc(E)$ et $\dim E = n < +\infty$
	Il suffit de montrer l'injectivité

	\begin{align*}
		\Ker f &= \{x\in E, f(x) = 0_E\}  \\
	\end{align*}

	Soit $x\in \Ker f$.
	On a $\|x\|^2 = \left<x, x \right> = \left<f(x), f(x) \right> = \|f(x)\|^2 = 0$ donc par séparation:
	\begin{align*}
		x&= O_E \\
	\end{align*}

	Finito.
\end{theoreme}

\begin{notation}
	\begin{align*}
		\oc(E) \subset GL(E)
	\end{align*}
\end{notation}

\begin{demo}
	\begin{enumerate}
		\item 
	\begin{align*}
		s_{F}^\bot : \begin{cases}
			E = F\oplus F^\bot &\to E \\
			x = x_F+x_{F^\bot} &\mapsto x_F - x_{F^\bot}
		\end{cases}
	\end{align*}

	Soient $x, y\in E$.

	\begin{align*}
		\begin{cases}
			x&= \underbrace{x_F}_{\in F}+ \underbrace{x_{F^\bot}}_{\in F^\bot} \\
			y&= \underbrace{y_F}_{\in F} + \underbrace{y_{F^\bot}}_{\in F^\bot} \\
		\end{cases}
	\end{align*}

	\begin{align*}
		\left<s_F^\bot(x), s_F^\bot(y) \right> &= \left<x_F - x_{F^\bot}, y_F - y_{F^\bot} \right>  \\
		&= \left<x_F, y_F \right> - \underbrace{\left<x_F, y_{F^\bot} \right> }_{0} - \underbrace{x_{F^\bot}, y_F}_{0} + \left<x_{F^\bot}, y_{F^\bot} \right>  \\
		&= \left<x_F, y_F \right> + \left<x_{F^\bot}, y_{F^\bot} \right>  \\
		&= \left<x, y \right>  \\
	\end{align*}

	\item $p_{F}^\bot$ est un automorphisme $\iff$ $\Ker p_F^\bot = \{0_E\} \iff p_F^\bot = p_F^\{0_E\} = \id_E$
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{demo}
	\begin{enumerate}
		\item On suppose $f(F) \subset F$

			Montrons $f(F^\bot) \subset F^\bot$

			Soit $y\in f(F^\bot)$ i.e. il existe $x\in F^\bot$ tel que
			\begin{align*}
				y&= f(x) \\
			\end{align*}

			Montrons $y\in F^\bot$.

			Soit $z \in F$, montrons que \begin{align*}
				\left<y, z \right> &= 0 \\
			\end{align*}

			Or $f$ est injective donc $\dim f(F) = \dim f$ or  $f(F) \subset F$ donc $f(F) = F$

			Il existe  $t\in F$ tel que $z = f(t)$

			 \begin{align*}
				 \left<y, z \right> &= \left<f(x), f(t) \right> \\
				 &= \left< \underbrace{x}_{\in F^\bot}, \underbrace{t}_{\in F} \right> \quad&\text{par def d'un OE} \\
				 &= 0 \\
			\end{align*}

		\item Montrons $f(F^\bot) \subset f(F)^\bot$

			Soit $y\in f(F^\bot)$. Il existe $x\in F^\bot$ tel que $y = f(x)$

			En général, $z\in f(F)^\bot \iff \forall u \in F, \left<z, f(u) \right> = 0$

			Ici on a  $\forall u\in F, \left<y, f(u) \right> = \left<f(x), f(u) \right> = \left< \underbrace{x}_{\in F^\bot}, \underbrace{u}_{\in F} \right> = 0$ 

			Donc $y\in f(F)^\bot$

			Notons $p = \dim F$
			Comme  $f$ est injective, on a \begin{align*}
				\dim f(F) &= p \\
			\end{align*}

			Puis $\dim (F^\bot) = n-p$ 

			Donc $\dim(f(F^\bot)) = n-p$

			Enfin  $\dim (f(F)^\bot) = n-p$
	\end{enumerate}
\end{demo}

\begin{demo}
	\fbox{$\impliedby$} Supposons $f\in \oc(E)$

	Soit $x\in E$. On a en particulier
	\begin{align*}
		\|f(x)\|^2 &= \left<f(x),  f(x) \right> = \left<x, x \right> = \|x\|^2 \\
	\end{align*}

	Une somme étant positive: $\|f(x)\| = \|x\|$

	 Donc $f$ est une isométrie

	 \fbox{$\implies$} On utilise une identité de polarisation.

	 Soient $u, v\in E$

	 \begin{align*}
		 \left<f(u), f(v) \right> &= \frac{\|f(u)+f(v)\|^2 - \|f(u)\|^2 - \|f(v)\|^2}{2} \\
					  &= \frac{\|f(u+v)\|^2 - \|f(u)\|^2 - \|f(v)\|^2}{2} \quad&\text{par linéarité}\\
					  &= \frac{\|u+v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2}{2} \quad&\text{car $f$ isométrie}\\
					  &= \left<u, v \right> \quad&\text{par polarisation} \\
	 \end{align*}
\end{demo}


\begin{exemple}
	Soit $E$ euclidien de $\dim$ 2. Soit $(u, v)$ une b.o.n.


	\begin{align*}
		\|f(x_p + x_{p^\bot}\|^2 &= \| \underbrace{r_{\theta}(x_p)}_{\in p}+ \underbrace{x_{p^\bot}}_{\in p^\bot}\|^2 \\
					 &= \|r_g(x_p)\|^2 + \|x_{p^\bot}\|^2 \\
					 &= \|x_p\|^2 + \|x_{p^\bot}\|^2 \\
					 &= \|x_p + x_{p^\bot}\|^2 \\
	\end{align*}
\end{exemple}

\begin{demo}
	\begin{description}
		\item[$1 \implies 2$]  Supposons $f\in \oc(E)$

			Soit $\bc$ \textbf{b.o.n.} de $E$, notons  $\bc = (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n)$

			Montrons que $(f(\epsilon_1), \ldots, f(\epsilon_n))$ est une b.o.n. de  $E$ 

			i.e. $\forall i, j \in \llbracket 1, n \rrbracket, \left<f(\epsilon_1), f(\epsilon_j) \right> = \delta_{ij}$ 
			or $\forall i, j \in \llbracket 1, n\rrbracket, \left<f(\epsilon_i), f(\epsilon_j) \right> = \left<\epsilon_i, \epsilon_j \right> = \delta_{ij} $

		\item[$2 \implies 3$] Par existence des b.o.n. en dimension finie

		\item[$3 \implies 1$] On suppose qu'il existe 

			\begin{align*}
				\bc &= (\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n) \\
			\end{align*}

			tel que $f(\bc) = (f(\epsilon_1), \ldots, f(\epsilon_n))$ est une b.o.n.

			Soit $x\in E$

			On a $x = \sum_{i=1}^{n} \left<x, \epsilon_i \right> \epsilon_i$ 

			\begin{align*}
				\|f(x)\|^2 &= \left\|\sum_{i=1}^{n} \left<x, \epsilon_i \right> \epsilon_i\right\|^2 \\
					   &= \sum_{i=1}^n \left<x, \epsilon_i \right> ^2 \|f(\epsilon_i)\|^2 \quad&\text{Pythagore généralisé car $f(\bc)$ b.o.n.} \\
					   &= \sum_{i=1}^n \left<x, \epsilon_i \right> ^2 \\
					   &= \sum_{i=1}^n \left<x, \epsilon_i \right> ^2 \|\epsilon_i\|^2 \\
					   &= \|x\|^2 \\
			\end{align*}
	\end{description}
\end{demo}

\begin{exemple}
	\begin{align*}
		f_{\sigma}(e_i) &= e_{\sigma(i)} \\
		f_{\sigma} \in \oc(E}
	\end{align*}

	car $f(\cc) = (e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \ldots, e_{\sigma(n)})$ est une b.o.n.

	Caractérisons $f_c$ 

	\begin{align*}
		c &= \begin{pmatrix} 1&2&3\\2&3&1 \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}

	\begin{align*}
		f_c \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &= f_c(x e_1 + y e_2 + z e_3) \\
		&= x e_2 + y e_3 + z e_1 \\
		&= \begin{pmatrix} z\\x\\y \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}

	 \begin{align*}
		 f_c &: \begin{cases}
			 \R^3 &\to \R^3 \\
			 \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &\mapsto \begin{pmatrix} z\\x\\y \end{pmatrix} 
		 \end{cases}
	\end{align*}

	Cherchons $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} $ tel que $f_c \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &=  \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}  \\ $

	 ie \begin{align*}
	 	\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} z\\x\\y \end{pmatrix}  \\
		\text{ie } x = y = z
	 \end{align*}

	 ie $\Ker(f_c - \id) = \Vect \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = D = \Vect\left( \frac{1}{\sqrt{3} } \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \right)$ est une droite stable car elle est fixe.

	 \begin{align*}
	 	f_{c|D} &= \id_D \\
	 \end{align*}

	 $D$ est stable par $f$ et $f\in \oc(E)$ donc $D^\bot$ est stable par $f$

	  \begin{align*}
		  D^\bot &= \{(x, y, z) \in  \R^3, x+y+z = 0\}  \\
			 &= \Vect \left( \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}  \right) \\
			 &=: \Vect(\epsilon1, \epsilon_2)
	 \end{align*}

	 \begin{align*}
		 f_c(\epsilon_1) &= \frac{1}{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix}  \\
		 &= \underbrace{-\frac{1}{2} }_{\cos \frac{2\pi}{3}}\epsilon_1 + \underbrace{\frac{\sqrt{3} }{2} }_{\sin \frac{2\pi}{3}} \epsilon_2 \quad&\text{d'après la formule de projection} \\
		 f_c(\epsilon_2) &= \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\1 \end{pmatrix}  \\
				 &= \underbrace{\frac{-\sqrt{3} }{2}}_{-\sin \frac{2\pi}{3}} \epsilon_1+ \underbrace{-\frac{1}{2} \epsilon_2}_{\cos \frac{2\pi}{3}} \\
	 \end{align*}

	 $f_c$ est la rotation sur le plan orienté $\Vect \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1\\1\\-2 \end{pmatrix}  \right) $ d'angle $\frac{2\pi}{3}$
\end{exemple}

\begin{demo}
	\begin{description}
		\item[Stable par neutre] $\id_{E} \in \oc(E)$ car c'est une symétrie
		\item[Stable par la loi] Soient $f, g\in \oc(E)$. Montrons que $f\circ g \in \oc(E)$

		Soit $x\in E$.

		\begin{align*}
			\|x\| &= \|g(x)\| \quad&\text{$g\in \oc(E)$} \\
			      &= \|f(g(x))\| \quad&\text{$f\in \oc(E)$} \\
			      &= \|(f\circ g)(x)\| \\
		\end{align*}
	\item[Stable par réciproque (symétrique pour $\circ$ )] 
		Soit $f\in \oc(E)$.
		En particulier $f\in GL(E)$ donc $f^{-1}$ existe.

		\begin{align*}
			\|f^{-1}(x)\| &= \| f(f^{-1}(x)) \| \quad&\text{$f\in \oc(E)$}\\
			&= \|x\| \\
		\end{align*}
	\end{description}
\end{demo}

\begin{exemple}
	 \begin{itemize}
		 \item $s\in \mathcal{O}(E) \setminus \sc\oc(E)$ car $\det s = (-1)^{\dim \Ker(s+\id)} = (-1)^1 = -1 < 0$ 
		 \item $r\in \sc\oc(E)$ car dans une base orthonormée adaptée à $\pc \oplus \pc^\bot = E$, la matrice de  $r$ est de la forme 
		 \begin{array}{cc|c}
			 & $2 \atop \leftrightarrow$ &  $n-2 \atop \leftrightarrow$ \\
			 $2 \updownarrow$ &  $\begin{matrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{matrix} $ & $(0)$ \\
			 $n-2 \updownarrow$ &  $(0)$ &  $\begin{matrix} 1 & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & 1 \end{matrix} $
			 \end{array} de déterminant $\det \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}  \times \det I_{n-2} = (\cos^2\theta+ \sin^2\theta)  \times 1 = 1 >0 $
	\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{remarque}
	\begin{itemize}
		\item \ldots ssi $det M > 0$ et $M^{-1} = \t M$ 
		\item \ldots ssi $\exists \bc_1, \bc_2 \text{ bon\textbf{d} }, M = \Mat_{\bc_2 \leftarrow \bc_1} \id$
		\item \ldots ssi les (transposées des) lignes de $M$ forment une bon\textbf{d} de $\R^n$
	\end{itemize}
\end{remarque}

\begin{demo}
	\begin{align*}
		\mathcal{O}_2(\R) &= \left\{ \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} , \left( \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix}  \right) \text{ bon } \R^2 \right\} \\
				  &= \left\{ \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} , \begin{cases}
				  	a^2 + c^2 &= 1 \\
					c^2+d^2&= 1 \\
					ab + cd &= 0 \\
			\end{cases} \right\} \\
	\end{align*}

	\paragraph{Rappel}
	\begin{align*}
		a^2+c^2=1 &\iff \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} \in \mathcal{C} \\
			  &\iff \exists \theta\in \R \begin{cases}
			  	a&= \cos\theta \\
				c&= \sin\theta \\
			  \end{cases} 
	\end{align*}

	De plus, 
	\begin{align*}
		\begin{pmatrix} a\\d \end{pmatrix} \bot \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} \text{ et }\left\|\begin{pmatrix} a\\d \end{pmatrix} \right\| = \left\| \begin{pmatrix} a\\c \end{pmatrix} \right\| \\
		\iff \begin{pmatrix} b\\a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -c\\a \end{pmatrix} \text{ ou } \begin{pmatrix} b\\d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c\\-a \end{pmatrix}  \\
	\end{align*}

	D'où

	\begin{align*}
	\mathcal{O}_2(\R) &= \underbrace{\left\{ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin\theta & \cos \theta \end{pmatrix}, \theta\in \R\right\}}_{\text{rotations}} \amalg \underbrace{\left\{ \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin\theta \\ \sin \theta & -\cos\theta \end{pmatrix} , \theta\in \R \right\}}_{\text{réflexions}} \\
	\end{align*}

	\begin{itemize}
		\item $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $ est la matrice de rotation d'angle $\theta$ déjà vu
		\item $\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & - \cos\theta \end{pmatrix} $ est la matrice de $s$ tel que $\begin{cases}
			f(e_1) &= \cos \theta e_1 + \sin \theta e_2 \\
			f(e_2) &= \sin\theta e_1 -\cos \theta e_2 \\
		\end{cases}$ 

		%TODO Fig 2

		On peut montrer par calcul direct que c'est la symétrie par rapport à  $D: y = x \tan \frac{\theta}{2} $
	\end{itemize}
\end{demo}

\end{document}
