\input{../Entetes/EnteteTD.tex}

%Premier exercice.\\\\
%1) $E=\R_n[X]$\\
%$\rc=\{P\in E,\ X^nP(1/X)=P(X)\}$\\
%$\ac=\{P\in E,\ X^nP(1/X)=-P(X)\}$\\
%Montrer que $\rc$ et $\ac$ sont des sevs de $E$ suppl\'ementaires.\\\\
%2) Trouver les $n$ tels que $X^2+X+1 \mid X^{2n}+X^n+1$\\\\
%3) Trouver les $P\in\R[X]$ tels que $P(2X)=P'(X)P''(X)$.\\\\
%
%Second exercice.\\\\
%1) Trouver tous les $P\in\R[X]$ tel que $P(X)=P(jX)$ ($j=\e^{2\i\pi/3}$).\\\\
%2) R\'esoudre \uuline{dans $\R^3$} $\lect{x^2+y^2+z^2=3\\xy+yz+xz=3\\xyz=1}$.\\\\
%3) Donner les $4$ formules des degr\'es puis trouver les $P\in\R[X]$ $P\times P = P\circ P$.\\\\


\begin{center}
\shadowbox{{\LARGE \textbf{Applications lin\'eaires}}}\ \\
\end{center}

%\vspace{\baselineskip}
%\vspace{0.5cm}

\setcounter{exo}{-3}
%\vspace{0.1cm}
Dans toute la feuille, $\K=\R$ ou $\C$, et $E$, $F$, $G$ d\'esignent des $\K$-\evs.
%\vspace{0.3cm}


\vspace{0.3cm}
\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Facile~?}}
\end{center}
\vspace{0.15cm}


\exo ~~~ Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $G$ un sev de $E$.\subline\\
Montrer~: $\Ker(f_{|G})=\Ker(f)\cap G$.\\\\

\exo ~~~ Soit $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$.\subline\\
On note $0$ l'application lin\'eaire nulle de $E$ dans $G$ : montrer qu'on a $g \circ f = 0 \Leftrightarrow Im(f) \subset Ker(g)$.\\\\

\exo ~~\label{exdebase} {\it Lin\'eaires ou pas~?}\\[0.2cm]
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? S'agit-il d'endomorphismes, d'isomorphismes, de formes lin\'eaires~?\\[0.2cm]
%$\defapp{\K^3}{\K^3}{\vect{x\\y\\z}}{\vect{yz \\ xz\\ xy}}$, ~~~~
%$\defapp{\cc^{\infty}(\R,\R)}{\cc^{\infty}(\R,\R)}{f}{f''-2f'+f}$,~~~~ 
$\defapp{\R^\N}{\R^\N}{\big(u_n\big)_{n\in\N}}{\big(u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\big)_{n\in\N},}$~~~~
$\defapp{\K[X]}{\K[X]}{P}{P''(0)+P(0)X^2,}$~~~~
$\defapp{\K[X]}{\K[X]}{P}{P''(0)+P(0)^2X.}$\\\\%[1.2cm]


\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Propri\'et\'e fondamentale}}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\exo ~~~ {\it Quelques endomorphismes de $\R^2$.}\subline\\
D'apr\`es le cours (r\'ecent ou imminent)
, toute application lin\'eaire $f$ de $\R^2$ dans $\R^2$ est de la forme~:$$f : \vect{x\\y} \mapsto  \vect{ax+by\\cx+dy} = f \vect{x\\y}\text{.}$$
\ \\[-0.25cm] \`A quoi sont donc \'egaux $a,b,c,d$ lorsque...\subline
\begin{enumerate}
\item ... $f$ est l'homoth\'etie (de centre $O$ et) de rapport $\lambda$~?\\[-0.25cm]%\\\\
\item ... $f$ est la sym\'etrie orthogonale d'axe $\Delta$~?\\[-0.25cm]
\item ... $f$ est la rotation (de centre $O$ et) d'angle $\theta$~?\\\\
\end{enumerate}

\exo ~~~\\[-0.05cm]
D\'eterminer toutes les AL $f \in\lc(\R^2,\R^3)$, s'il en existe, qui v\'erifient : $f \vect{1\\2} = \vect{3\\3\\0}$ et $f \vect{2\\1} = \vect{0\\3\\3}$.\\\\

\exo  ~~~ {\it Formes lin\'eaires ayant la propri\'et\'e fondamentale de la trace.}\subline\\
On rappelle que la trace est une forme lin\'eaire sur $\mnk$, et v\'erifie la propri\'et\'e $\forall (A,B)\in \mnk^2,~Tr(AB)=Tr(BA)$.\\[0.2cm]
On suppose maintenant disposer d'une forme lin\'eaire $\phi \in \mnk^\star$ telle qu'on ait $\forall (A,B)\in \mnk^2,~\phi(AB)=\phi(BA)$.\\[0.2cm]
Montrez que $\phi$ est proportionnelle \`a la trace.\\\\


\exo ~~~ {\it Propri\'et\'e fondamentale g\'en\'eralis\'ee}\subline\\
D\'eterminer toutes les applications linéaires $f : \mnk \rightarrow \mnk$, s'il en existe, pour lesquelles une matrice antisym\'etrique a pour image son double et pour lesquelles une matrice sym\'etrique a pour image son triple.\\\\

\newpage
\vspace{0.1cm}
\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Image, noyau.}}
\end{center}
\vspace{0.3cm}

\exo ~~ {\it Reprenons l'exercice \ref{exdebase}}\subline\\
D\'eterminer l'image et le noyau des applications de l'exercice \ref{exdebase} qui sont lin\'eaires, s'il y en a.\\\\

\exo ~~~ {\it Nouveau formalisme pour le m\^eme exercice}\subline\\
D\'eterminer une base du noyau et une base de l'image des applications lin\'eaires suivantes :
{\scriptsize $$f : \left \{ \begin{array}{ccc} \R^4 & \rightarrow & \R^4\\ \vect{x\\y\\z\\t} & \mapsto & \vect{3x+z+2t \\ 4x+3z+t\\ 3(x+t)\\ x+3z-2t} \end{array} \right .,\qquad
g : \left \{ \begin{array}{ccc} \K^4 & \rightarrow & \K^4\\ \vect{x\\y\\z\\t} & \mapsto & \vect{x-y+z \\ -2x-4z+4t\\ y+z-2t\\ 3x-2y+4z-2t} \end{array} \right .,\qquad
h : \left \{ \begin{array}{ccc} \K[X] & \rightarrow & \K[X]\\ \displaystyle{P(X)=\sum_{k=0}^{\deg(P)} a_k X^k} & \mapsto & \displaystyle{\sum_{k=0}^n a_k X^k} \end{array} \right .\text{.}$$}\\[-0.25cm]


\exo ~~~ Soient $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$. Montrer qu'on a~:\\[-0.3cm]
\begin{enumerate}
\item $\Ker(g \circ f ) = \Ker( f ) \Leftrightarrow Im(f) \cap \Ker(g) = \{0_F\}$~;\\[-0.3cm]
\item $\Im(g \circ f ) = Im(g) \Leftrightarrow Ker(g) + Im(f ) = F$.\\\\
\end{enumerate}


\vspace{0.1cm}
\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Formes lin\'eaires et hyperplans.}}
\end{center}
\vspace{0.3cm}


\exo ~~~{\it Formes lin\'eaires non nulles}.\subline\\
On consid\`ere une forme lin\'eaire $f$ {\bf non nulle}. Montrer que $f$ est surjective.\\\\

\exo ~~~ Dans cet exercice on suppose avoir $E=\K[X]$ et on se donne $a\in\K$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\phi : \defapp{E}{\K}{P}{P(a)}$ est une forme lin\'eaire non nulle.
\item D\'eterminer une base de $\Ker(\phi)$.\\\\
\end{enumerate}

\exo ~~~ Soient $f$ et $g$ deux formes lin\'eaires non nulles sur $E$. Montrer~:
$$\Ker(f)=\Ker(g) ~\Leftrightarrow~ (f,g) \text{ est li\'ee dans } E^*.\megasublined$$

%\newpage\ \\[-1.75cm]

\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Propri\'et\'es du rang}}\subline\\
\end{center}

\exo ~~~ {\it In\'egalit\'e triangulaire pour le rang}\\[0.2cm]
Soient $E$, $F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $f\in\lc(E,F)$. Montrer qu'on a $\rg(f+g) \leq \rg(f)+\rg(g)$.\\\\

\exo ~~\\[0.2cm]
Soient $p,\ q\in \N$. Soient $A\in\mc_{p,q}(\K)$ et $B\in\mc_{q,p}(\K)$. On suppose que $AB$ et $BA$ sont inversibles. Qu'en d\'eduire~?\\\\%Montrer qu'on a $p=q$.\\\\


\begin{center}
\ovalbox{\textsc{AL en dimension finie.}}\subline\\
\end{center}

%\exo ~~~\subline\\
%Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\lc(E)$.\\[0.2cm]
%Montrer~: $Ker(f) = Ker(f^2) \Leftrightarrow Im(f) = Im(f^2) \Leftrightarrow Im(f) \oplus Ker(f) = E$.\\[0.2cm]
%Contre-exemple en dimension infinie~?\\\\

\exo ~~~ {\it \'Equations matricielles}\\[0.15cm]
R\'esoudre les \'equations d'inconnue $A \in \mathcal{M}_{2}(\K)$ suivantes~:
$$A^2 =  \matdd{0}{0}{0}{0} \quad\quad\quad\quad\quad\quad A^n = \matdd{0}{0}{0}{0} \quad\quad\quad\quad\quad\quad A^2 =  \matdd{0}{1}{0}{0}.$$
{\it On pourra, sans obligation d'achat, s'int\'eresser \`a l'endomorphisme $f_A$.}\newpage

\exo ~~~ {\it Racine de l'unit\'e dans $\lc(E)$.}\subline\\
Dans un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, on suppose avoir un endomorphisme $f$ tel que $f^p = id_E$ o\`u $p$ est un entier strictement positif donn\'e.\subline\\
On notera $g=id_E+f+f^2+\ldots+f^{p-1}$ et $h=f-id_E$.\subline
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $Ker(g) \cap Ker(h)$.
\item En d\'eduire qu'on a $\dim(Ker(g))+\dim(Ker(h)) \leq n$.\subline
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer qu'on a $Im(g) \subset Ker(h)$.
\item En d\'eduire qu'on a $\dim(Ker(g))+\dim(Ker(h)) \geq n$.\subline
\end{enumerate}
\item Que peut-on conclure sur $Ker(g)$ et $Ker(h)$~?%\\
%%%\item Question bonus~!
%%%\begin{enumerate}
%%%\item Montrer que $Ker(g)$ et $Ker(h)$ sont stables par $f$.
%%%\item Dans cette question on suppose qu'on a $\K=\R$ et $p$ impair.\\
%%%Montrer que la restriction de $f$ \`a $Ker(g)$ n'a pas de valeur propre.\\\\
%%%\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\it Le r\'esultat demeure en dimension quelconque... pour les courageux~!}\\\\



\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Homoth\'eties. Nilpotents.}}\subline\\
\end{center}

\exo ~~~ {\it Pseudo-nilpotents}\subline\\
On appelle {\it endomorphisme pseudo-nilpotent} tout endomorphisme $f$ de $E$ tel que~: $\forall x \in E, \exists n_x \in \N, f^{n_x}(x)=0$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la diff\'erence entre la d\'efinition d'un endomorphisme pseudo-nilpotent et celle d'un endomorphisme nilpotent~?
\item Montrez que tout endomorphisme nilpotent est pseudo-nilpotent.
\item Montrez \`a l'aide d'un exemple qu'il peut en g\'en\'eral exister des endomorphismes pseudo-nilpotents qui ne sont pas nilpotents.
\item Montrez que, si $E$ est de dimension finie, tout endomorphisme pseudo-nilpotent est nilpotent.\\[0.3cm]
\end{enumerate}

%\newpage\ \\[-1cm]
\exo ~~~ {{\it Caract\'erisation des homoth\'eties %("lemme de Schur")
}}\subline\\
{On appelle {\it pseudo-homoth\'etie} tout endomorphisme $f$ de $E$ tel que~: $\forall x \in E, \exists \lambda_x \in \K, f(x)=\lambda_x x$.}
\begin{enumerate}
\item {Quelle est la diff\'erence entre la d\'efinition d'une pseudo-homoth\'etie et celle d'une homoth\'etie~?}
\item {Montrez que toute homoth\'etie est une pseudo-homoth\'etie.}
\item {Montrez que toute pseudo-homoth\'etie est une homoth\'etie.}
\item Application~: {D\'eterminez l'ensemble des endomorphismes $u$ tels que $\forall f\in\lc(E), f\circ u = u\circ f$.\\
{\it On {\bf admettra} que tout sous-espace vectoriel admet toujours un suppl\'ementaire (r\'esultat vu en dimension finie).}}\\
\end{enumerate}


\begin{center}
\ovalbox{\textsc{Projections. Sym\'etries.}}\subline\\
\end{center}

\exo ~~ {\it Projections}\subline
\begin{enumerate}
\item Montrez que $p : \vect{x\\y\\z} \mapsto \vect{-y-2z\\-2x-y-4z\\x+y+3z}$ est une projection, et pr\'ecisez la somme directe associ\'ee.\\[-0.15cm]
\item On note $F_2 = \left \{ \vect{x\\y\\z},~x+y+z=0 \right \}$ et $G_2=\left \{ \vect{\lambda\\0\\\lambda},~\lambda \in \K \right \}$. \\Justifier qu'on a $F_2 \oplus G_2 = \K^3$ puis d\'ecrire la projection sur $F_2$ parall\`element \`a $G_2$.\\\\
\end{enumerate}


\exo ~~ {\it Sym\'etries}\subline
\begin{enumerate}
\item Montrez que $s : \vect{x\\y\\z} \mapsto \vect{x+2y+2z\\2x+y+2z\\-2x-2y-3z}$ est une sym\'etrie, et pr\'ecisez la somme directe associ\'ee.\\[-0.25cm]
\item Donner l'expression de la sym\'etrie par rapport \`a $\left\{\mvect{x\\y\\z},\ x+y=0\right\}$ et parall\`element \`a $\Vect{\mpvect{~1\\-2\\~2}}$, apr\`es avoir mont\'e que ces \sevs sont bien suppl\'ementaires.\\\\
\end{enumerate}

%\exo ~~~ {\it Famille de projection.}\subline\\
%\'Etant donn\'ee une d\'ecomposition de $E$ en somme directe $E=F\oplus G$, on appelle famille de projection associ\'ee \`a cette somme directe le couple $(p_F^G,p_G^F)$.\subline\\
%Montrer le r\'esultat suivant~: \'etant donn\'e un couple $(p,q)$ d'endomorphismes, le couple $(p,q)$ est une famille de projection si et seulement si on a~:\\
%$\left \{ \begin{array}{l} p\circ p = p\text{ et }q \circ q = q\\ p\circ q = q \circ p = 0\\ p+q=id_E \end{array} \right .$.\\\\

\exo ~~~ {\it Somme de projections}\subline
\begin{enumerate}
\item Soient $p_1$ et $p_2$ deux projections de $E$.\\
Montrer que $p_1+p_2$ est une projection si et seulement si $p_1\circ p_2=p_2\circ p_1=0$.\subline
\item Soient $p$ et $q$ deux projections tels que $p \circ q = 0$. On pose $r = p + q - q \circ p$.\\
Montrer que r est un projection de noyau $Ker(p) \cap Ker(q)$ et d'image $Im(p) \oplus Im(q)$.\subline
\item On suppose $\dim(E)=n<+\infty$. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u+v=\id_E$ et $\rg(u)+\rg(v)\leq n$. Montrer qu'on a $\Ker(u)\oplus\Ker(v)=E$ et $\Im(u)\oplus\Im(v)=E$, que $u$ et $v$ sont des projections, et calculer $u\circ v$ et $v\circ u$.\\\\
\end{enumerate}




\vfill
\input{../Entetes/Enonce.tex}

\end{document}