\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\L}{\lc}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\conts}{\mathcal{C}}

\baselineskip15pt

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{${}^{{}^{{}^{{}^{{}^{}}}}}$ Applications lin\'eaires\semisubline}}\\[0.25cm]
\end{center}%\ \\[-1.1cm]

Dans tout le chapitre, $\K$ d\'esigne un sous-corps de $\C$, en pratique $\R$ ou $\C$.%\\

\renewcommand{\L}{\lc}
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\conts}{\mathcal{C}}
\section{D\'efinition et op\'erations sur les applications lin\'eaires}
\subsection{D\'efinitions - Exemples}
\prd[Application lin\'eaire]
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-ev. Pour une application  $f : E\too F$ on a \'equivalence entre~:
\begin{enumerate}
\item $f$ pr\'eserve les sommes et les multiplications par un scalaire, \ie~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\forall u \in E,\ \forall \lambda \in \K,\ f(\lambda u) = \lambda f(u)$.
\item $\forall u, v \in E,\ f(u + v) = f(u) + f(v)$.
\end{enumerate}
\item $f$ pr\'eserve les combinaisons lin\'eaires, \ie~:\\
$\forall (u, v) \in E^2,\ \forall (\lambda, \mu) \in \K^2,\ f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$.
\end{enumerate}
On dit alors que \newdef{$f$ est une application lin\'eaire}. On\,note\,$\L(E,F)$\,l'ensemble\,des\,applications\,lin\'eaires\,de\,$E$\,dans\,$F$.
\drp
\subsection{(Co)restriction}
\Proposition
Soient $E$, $F$ des $\K$-ev, $G$ un sev de $E$ et $H$ un sev de $F$.\\[0.05cm]
Si $f:E\too F$ est lin\'eaire et $f(G)\subset H$, alors $f_{{}_{|G}}^{{}^{|H}}:G\too H$ est lin\'eaire.
\FinProposition
\subsection{Stabilit\'e par combinaison lin\'eaire}
\Theoreme
Si $f$ et $g$ sont lin\'eaires alors $\lambda f + \mu g$ est lin\'eaire.
\FinTheoreme
\Theoreme[Reformulation]
$\L(E,F)$ est un sev de $F^E$. En particulier, $(\L(E,F),+,\cdot)$ est un $\K$-espace vectoriel.
\FinTheoreme
\dfn
On appelle \newdef{homoth\'etie vectorielle de rapport $\lambda$}, ou plus simplement \newdef{homoth\'etie de rapport $\lambda$} l'application $\lambda \id_E : E \too E$.
C'est une application lin\'eaire.\\
On dit que $f \in \L(E)$ est une \newdef{homoth\'etie} lorsque $ \exists \lambda \in \K, \forall u \in E, f(u) = \lambda u$, i.e. $f = \lambda \id$. 
\nfd
\subsection{Composition}
\Theoreme
Soient $f \in \L(E, F)$ et $g \in \L(F, G)$. Alors $g \circ f \in \L(E, G)$.
\FinTheoreme
\Proposition
Soit $h\in F^E$ (une \underline{application quelconque}~!).\subline\\
La composition par $h$ \textbf{\underline{\`a droite}} est distributive sur l'addition et compatible avec la multiplication externe~:
\enumeration{\item $\forall f, g \in G^F,\ (f + g) \circ h = f \circ h + g \circ h$~;
\item $\forall f \in G^F,\  \forall \lambda \in \K,\ (\lambda f) \circ h = \lambda (f \circ h)$.}
Remarquons que ces deux propri\'et\'es peuvent \^etre synth\'etis\'ees en une~:\subline\\
 $\forall f, g \in G^F,\ \forall \lambda,\mu\in\K,\ (\lambda f + \mu g) \circ h = \lambda (f \circ h) + \mu (g \circ h)$.
\FinProposition
\Theoreme\label{LinearitePreComposition}
Soient $E,F,G$ des $\K$-ev et $h\in F^E$. L'application de \newdef{pr\'ecomposition par $h$} $\defapp{G^F}{G^E}{f}{f\circ h}$ est lin\'eaire.
\FinTheoreme
\Proposition
Soit $E,F,G$ des $\K$-ev et $h\in G^F$. \textbf{\underline{Supposons $h$ lin\'eaire.}}\\
Alors la composition par $h$ \`a gauche est distributive sur l'addition et compatible avec la multiplication externe~:\\[-0.5cm]\enumeration{\item $\forall f, g \in F^E,\ h\circ (f + g) = h \circ f + h \circ g$.
\item $\forall f \in F^E,\  \forall \lambda \in \K,\ h \circ (\lambda f) = \lambda (h \circ f)$.}
Ou encore : $\forall f, g \in F^E,\ \forall \lambda,\mu\in\K,\ h\circ (\lambda f + \mu g) = \lambda (h \circ f) + \mu (h \circ g)$.
\FinProposition
\Theoreme\label{LinearitePostComposition}
Soit $E,F,G$ des $\K$-ev \underline{{\bf et} {\mathversion{bold}{$h\in \L(F,G)$}}}. L'application de \newdef{postcomposition par $h$}
$\defapp{F^E}{G^E}{f}{h\circ f}$ est lin\'eaire.
\FinTheoreme
\Corollaire %\Theoreme
Bilan~: $\big(\L(E), +, \circ, \cdot \big)$ forme une $\K$-alg\`ebre. En particulier $\big(\L(E), +, \circ \big)$ forme un anneau. 
\FinCorollaire %\FinTheoreme
\Definition\index{endomorphisme}
On dit qu'une application lin\'eaire est un \newdef{un endomorphisme de $E$} lorsque c'est une application d'un $\K$-espace vectoriel $E$ dans lui-m\^eme. %\\
On notera $\L(E)$ plut\^ot que $\L(E,E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$.
\FinDefinition
\Corollaire
On peut appliquer un polyn\^ome \`a un endomorphisme. On obtient un endomorphisme.
\FinCorollaire
\subsection{R\'eciproque}
\Theoreme
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, et $f\in\L(E,F)$. %\\
Si $f$ est bijective alors $f^{-1}\in\L(F,E)$.
\FinTheoreme
\Definition
Une application lin\'eaire bijective est appel\'ee un \newdef{isomorphisme}.
\FinDefinition
\begin{notation} \\
S'il existe un isomorphisme d'un espace vectoriel $E$ dans un espace vectoriel $F$, %alors il existe aussi un isomorphisme de $F$ dans $E$, et r\'eciproquement. Pour cette raison, lorsque ce sera le cas, on pourra aussi bien dire
on dit que \newdef{$E$ et $F$ sont isomorphes}.
\end{notation}
\rmq\label{SiIsomorphesAlorsMemeDimension}Si $E$ et $F$ sont deux $\K$-espaces vectoriels de dimension finie et isomorphes, alors ils ont la m\^eme dimension.
\qmr
\subsection{Groupe lin\'eaire}
\Definition\index{automorphisme}
On dit qu'une application lin\'eaire est \newdef{un automorphisme de $E$} lorsque c'est un isomorphisme de $E$ dans $E$. En bref~: \og auto = endo + iso \fg. On notera $ GL(E)$ l'ensemble des automorphismes de $E$.
\FinDefinition
\thd
En particulier $\big( GL(E) , \circ\big)$ forme un groupe. On l'appelle le \newdef{groupe lin\'eaire de $E$}.
\dht
\subsection{Formes lin\'eaires}
\Definition
Une application lin\'eaire d'un espace vectoriel $E$ dans le corps de base $\K$ est appel\'ee \newdef{une forme lin\'eaire sur $E$}.\\
On notera $E^*$ plut\^ot que $\L(E,\K)$ l'ensemble des formes lin\'eaires sur $E$.
\FinDefinition
\section{Propri\'et\'e fondamentale}
\subsection{Exemple des droites.}
\lem
Soit $D$ une droite (\ie un $\K$-ev de dimension $1$).\\
Une application $f:D\too D$ est lin\'eaire si et seulement si c'est une homoth\'etie.
\mel
\subsection{Exemple de $\K^n$}
\Proposition\label{ProprieteFondamentaleRn}
Soit\,$f:\K^q\!\too\!\K^p$~;\,$f$\,est\,lin\'eaire\,si\,et\,seulement\,s'il\,existe\,une\,matrice $A\!\!\in\!\!\mpqk$\,telle\,que\,$f\!=\!\defapp{\!\K^q\!}{\!\K^p\!\!\!}{x\!\!\!}{\!\!\!A\times x.}$
Autrement dit, $f$ est lin\'eaire si et seulement s'il existe des scalaires $(a_{i,j})_{\substack{\ \\{\text{\scriptsize $1\!\leq\!i\!\leq\!p$}}\\ \text{\scriptsize $1\!\leq\!j\!\leq\!q$}}}$ pour lesquels on peut \'ecrire\\[-0.2cm]
$f = \defapp{\K^q}{~~~~~~~~\K^p}{\vect{x_1\\ \vdots \\ x_q}}{\vect{a_{1,1}x_1 \!+\! a_{1,2} x_2 \!+\! \hdots \!+\! a_{1,q}x_q \\ \vdots \\ a_{p,1} x_1 \!+\! a_{p,2}x_2 \!+\! \hdots \!+\! a_{p,q} x_q}.}$
\FinProposition
\rmq Du coup, \og dans $\R^n$ \fg, toute application lin\'eaire se repr\'esente canoniquement par une matrice\footnote{Et du coup on connaissait d\'ej\`a. Boring.}, mais on a vu qu'un espace de dimension finie quelconque pouvait \^etre ramen\'e \`a $\R^n$ en le munissant d'une base~: il sera donc possible en dimension finie, et pas seulement dans $\R^n$, de repr\'esenter les applications lin\'eaires par des matrices. On verra plus tard, hein. Quant au cas de la dimension quelconque, on ne peut plus parler de matrice, mais on peut faire pareil quand m\^eme, c'est l'objet du paragraphe suivant.
\qmr
\subsection{Cas g\'en\'eral\subline}
\Theoreme[Propri\'et\'e fondamentale des applications lin\'eaires]\label{ProprieteFondamentaleAL}
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels. Toute application lin\'eaire $f \in \L(E, F)$ est \uuline{enti\`erement} et \uuline{uniquement} d\'etermin\'ee par ses valeurs sur une base de $E$.\\[0.15cm]
Autrement dit~: soit $\bc=(\eps_i)_{i\in I}$ une base de $E$. Alors, pour toute famille $(y_i)_{i\in I}$ de vecteurs de $F$, il existe une unique application lin\'eaire $f\in\L(E,F)$ telle que $\forall i\in I,\ f(\eps_i)=y_i$.
\FinTheoreme
\subsection{D\'efinition par restrictions}
\Theoreme[Propri\'et\'e fondamentale g\'en\'eralis\'ee]\label{thmDefinitionParRestriction}
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-evs et $E_1,E_2,\hdots,E_p$ des sevs de $E$ tels que $E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_p = E$.\\[0.1cm]
Soient $\varphi_1\in\L(E_1,F)$, $\varphi_2\in\L(E_2,F)$, $\hdots$, $\varphi_p\in\L(E_p,F)$.\\[0.1cm]
Alors il existe une unique application lin\'eaire $\varphi\in\L(E,F)$ telle que $\forall i\in\{1,2,\hdots,p\}$, $\varphi_{{}_{|E_i}}=\varphi_i$.
\FinTheoreme
\section{Noyau, image et rang}
\subsection{Image et noyau}
\Definition[Rappel]
Soit $f \in \L(E, F)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On appelle noyau de $f$ l'ensemble $\mathrm{Ker}(f) = f^{-1}\big(\{0_F\}\big) = \{ x \in E,\ f(x) = 0_F \}\subset E$.
\item On appelle image de $f$ l'ensemble $\mathrm{Im}(f)=f(E)=\{y \in F,\ \exists x \in E,\ y = f(x) \}\subset F$.
\end{enumerate}
\FinDefinition
\Theoreme[Rappel]
Soit $f \in \L(E, F)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ injective $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Ker}(f) \subset \{ 0_E \}$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Ker}(f) = \{ 0_E \}$ .
\item $f$ surjective $\Leftrightarrow$ $F \subset \mathrm{Im}(f)$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Im}(f) = F$.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\rmq\ \\[-1.2cm]\phantom{Remarque 3~:~} On peut parler d'image ou noyau d'une matrice~; cela signifie image ou noyau de l'application lin\'eaire canoniquement associ\'ee.
(Voir juste au-dessus)

\qmr
\Theoreme
Soit $f \in \L(E, F)$. Alors $\mathrm{Ker}(f)$ est un \sev{$E$} et $\mathrm{Im}(f)$ est un \sev{$F$}.
\FinTheoreme
\subsection{Rang}
\begin{notation}
Si $\fc$ est une famille de vecteurs $E$ et $f\in\L(E,F)$, on note $f(\fc)$ la famille obtenue en appliquant $f$ aux vecteurs de $\fc$. Ainsi, pour $\fc = (u_i)_{i \in I}$, on a $f(\fc) = \big(f(u_i)\big)_{i \in I}$.
\end{notation}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}
\Definition
Soit $f \in \L(E, F)$. On appelle \newdef{rang de $f$} et on note $\rg(f)$ 
 la quantit\'e $\rg(f) = \dim\big(\mathrm{Im}(f)\big)$.
\FinDefinition
\Theoreme
Le rang de $f$ est un rang~! Plus pr\'ecis\'ement, pour $f \in \L(E, F)$ et pour toute base $\bc$ de $E$, on a $\rg(f) = \rg\big(f(\bc)\big)$.
\FinTheoreme
\Theoreme[Propri\'et\'es "imm\'ediates" du rang]
Soient $E$, $F$, $G$ trois $\K$-espaces vectoriels.
\begin{enumerate}
\item Pour $f \in \L(E, F)$, on a $\rg(f)\leq \min(\dim(E),\dim(F))$.
\item Pour  $f \in \L(E, F)$ et $g \in \L(F, G)$, on a $\rg(g\circ f)\leq \min(\rg(f),\rg(g))$, et, de plus~:
\item si $f$ est un isomorphisme alors $\rg(g\circ f)= \rg(g)$ et si $g$ est un isomorphisme alors $\rg(g\circ f)= \rg(f)$.
	\ie composer par un isomorphisme ne modifie pas le rang
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\subsection{\'Equations d'un hyperplan}
\Theoreme\label{thmcaracterisationdeshyperplans}
Les hyperplans sont exactement les noyaux des formes lin\'eaires non nulles.
\FinTheoreme
\dfn
Soit $H$ un hyperplan de $E$. On appelle \newdef{\'equation de $H$} une expression de la forme $\phi(x) = 0$ o\`u $\phi$ est une forme lin\'eaire telle que $\mathrm{Ker}(\phi) = H$.
D'apr\`es le th\'eor\`eme \ref{thmcaracterisationdeshyperplans}, tout hyperplan a une \'equation.
\nfd
\subsection{Th\'eor\`eme d'isomorphisme}
\Theoreme[Th\'eor\`eme d'isomorphisme]\label{TheoremedIsomorphismeSupplementaireduNoyauetImagechapApplLin}
Soient $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $f\in \L(E,F)$.\\
Soit $S$ un suppl\'ementaire de $\mathrm{Ker}(f)$ dans $E$. Alors $f_{{}_{|S}}^{{}^{|\mathrm{Im}(f)}}$ est bien d\'efinie et c'est un isomorphisme. \\
 On dit que \newdef{$f$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\mathrm{Im}(f)$}.
\FinTheoreme
\section{Applications lin\'eaires en dimension finie}
\subsection{Th\'eor\`eme du rang}
\Theoreme[formule du rang]
Soit $E$ et $F$ deux $\K$-espaces vectoriels et $f\in\lc(E,F)$. {\bf On suppose que $E$ est de dimension finie.}\subline\break Alors $\dim\big(\mathrm{Ker}(f)\big) +\dim\big(\mathrm{Im}(f)\big) = \dim(E)$ \ie $\rg(f) = \dim(E)- \dim(\mathrm{Ker}(f))$.
\FinTheoreme
\subsection{Applications imm\'ediates du th\'eor\`eme du rang}
\subsection{Th\'eor\`eme du rang et *jectivit\'e}
\Theoreme[Caract\'erisation par le rang]
Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies. % $\dim(E)=n$ et $\dim(F)=m$. 
 Soit $f\in\lc(E,F)$. Alors on a~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est surjective \ssi $\rg(f)=\dim(F)$~;
\item $f$ est injective \ssi $\rg(f)=\dim(E)$~;
\item $f$ est bijective \ssi $\rg(f)=\dim(E)=\dim(F)$.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\Theoreme[Caract\'erisation des isomorphismes]
Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels \underline{de m\^eme dimension finie} $n$. % $\dim(E)=n$ et $\dim(F)=m$. 
 Soit $f\in\lc(E,F)$. %Alors les propositions suivantes s
 Sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est injective~;
\item $f$ est surjective~;
\item $f$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\rmq
On a un analogue ensembliste~: Soit $A, B$ deux ensembles tels que $\#A = \#B := n \in \N$.

Alors

\begin{align*}
	f : A\to B &\in \injections \\
	\iff f &\in \surjections \\
		\iff f & \in \bijections
\end{align*}
\qmr
\Theoreme[Caract\'erisation des automorphismes]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie.
Soit $f\in\lc(E)$.
Sont \'equivalentes~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $f$ est inversible \`a gauche~;
\item $f$ est inversible \`a droite~;
\item $f$ est un automorphisme.
\end{enumerate}
\FinTheoreme
\subsection{Deux applications de la th\'eorie au calcul matriciel}
\section{Endomorphismes remarquables}
\subsection{Endomorphismes nilpotents}
\Definition
Un endomorphisme $f \in \L(E)$ est dit \newdef{nilpotent} lorsque c'est un \'el\'ement nilpotent de l'anneau $(\L(E), +, \circ)$.\\[0.1cm]%, c'est \`a lorsqu'il existe $k \in \N$ tel que $f^k = 0_{\L(E)}$.\\
L'unique entier $p$ tel que $f^{p-1} \neq 0_{\L(E)}$ et $f^p = 0_{\L(E)}$ s'appelle \newdef{l'indice de nilpotence} de $f$.
\FinDefinition
\Proposition
Si $\dim(E)<+\infty$ et $f\in\lc(E)$ est nilpotent, alors l'indice de nilpotence de $f$ est plus petit que $\dim(E)$.
\FinProposition
\subsection{Projections}
\rmq
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces suppl\'ementaires de $E$. Alors on a~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $p_G^F = \id_E - p_F^G$~;
\item $p_G^F \circ p_F^G = p_F^G \circ p_G^F = 0_{\L(E)}$.
\end{enumerate}
\qmr
\Proposition[Propri\'et\'es imm\'ediates des projections]
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces suppl\'ementaires de $E$. Alors on a~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $\mathrm{Ker}(p_F^G)=G$~;
\item $\mathrm{Im}(p_F^G)=F$~;
\item $p_F^G \circ p_F^G = p_F^G$.
\end{enumerate}
\FinProposition
\Theoreme[:mind\_blown:]
Si $p$ est un endomorphisme idempotent, alors $p$ est une projection.\\[0.2cm]
C'est la projection sur $\mathrm{Im}(p)$ parall\`element \`a $\mathrm{Ker}(p)$.
\FinTheoreme
\subsection{Sym\'etries}
\Proposition[Propri\'et\'es imm\'ediates des projections]
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces suppl\'ementaires de $E$. Alors on a~:
\begin{enumerate}[i/]
\item $\mathrm{Ker}(s_F^G-\id_E)=\mathrm{Im}(s_F^G+\id_E)=F$~;
\item $\mathrm{Ker}(s_F^G+\id_E)=\mathrm{Im}(s_F^G-\id_E)=G$~;
\item $s_G^F = - s_F^G$~;
\item $s_F^G=p_F^G-p_G^F$~;
\item $s_F^G \circ s_F^G = \id_E$.
\end{enumerate}
\FinProposition
\Theoreme
Si $s$ est un endomorphisme involutif, alors $s$ est une sym\'etrie.\\[0.2cm]
C'est la sym\'etrie par rapport \`a $\mathrm{Ker}(s-\id_E)$ parall\`element \`a $\mathrm{Ker}(s+\id_E)$.
\FinTheoreme
\end{document}