\input{../.headers/cours.tex}

\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \bf \textsc{\supline ~$\K[X]$ \subline}}\\
\end{center}

Contexte~: dans ce chapitre, $\K$ d\'esigne un sous-corps de $\C$ (mais en pratique on prendra $\K=\R$ ou $\K=\C$).\\

Objectifs du chapitre~:\subline
\begin{itemize}
\item D\'efinir rigoureusement les objets rencontr\'es en TACMAS.\subline
\item D\'emontrer les th\'eor\`emes admis en TACMAS.\subline
\item D\'ecrire l'arithm\'etique de $\K[X]$.
\end{itemize}


\section{Construction. Structure.}
\subsection{Alg\`ebre {\mathversion{bold}{$\K[X]$}}}
\Definition\ \\[-0.9cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On appelle ind\'etermin\'ee la lettre $X$.
\item On appelle \newdef{polyn\^ome en $X$} \`a coefficients dans $\K$ toute combinaison lin\'eaire formelle de puissances de l'ind\'etermin\'ee $X$.
\item On appelle \newdef{mon\^ome} tout polyn\^ome de la forme $a_{n}X^n$.
\end{enumerate}
\FinDefinition
\Definition
On appelle degr\'e de $P$ l'\'el\'ement de $\N\cup\{-\infty\}$ suivant~: $\deg(P)=\sup\limits_{\overline{\R}}\ \{i,~a_i\neq 0\}$.\\
Ainsi un polyn\^ome est nul \ssi son degr\'e est $-\infty$ et, si $a_n\neq 0$, alors $\deg(a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n)=n$.
\FinDefinition
\nota
\begin{enumerate}[$\bullet$] 
\item On note $\K[X]$ l'ensemble de tous les polyn\^omes \`a coefficients dans $\K$.
\item On note $\K_n[X]$ l'ensemble des polyn\^omes \`a coefficients dans $\K$ de degr\'e $\leq n$.
\end{enumerate}
\aton
\begin{rem}\ \\[-0.5cm]
On peut donc agr\'eablement noter un polyn\^ome $\dsp{\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^k}$, o\`u la suite $(a_{k})_{k\in\N}$ est nulle \`a partir d'un certain rang (on dit aussi qu'elle est \newdef{presque nulle}). 
Le polyn\^ome nul correspond alors \`a la suite $(a_{k})_{k\in\N}$ telle que $a_{k}=0$ pour tout $k\in\N$.
\end{rem}\ \\[0.25cm]
\Theoreme[Identification]\label{theoremeidentificationcoefficientspolynomes}
Deux polyn\^omes %$\dsp{P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^k}$ et $\dsp{Q=\sum_{k=0}^{+\infty}b_{k}X^k}$
 sont \'egaux \ssi %tous leurs coefficients de m\^eme degr\'e sont \'egaux, \ie 
 les suites presque nulles $(a_{k})_{k\in\N}$ et $(b_{k})_{k\in\N}$ sont identiques.\\[0.1cm]
Dit autrement~: $P=Q\eq \forall k\in \N,\ a_{k}=b_{k}$.
\FinTheoreme
\subsection{Structure d'alg\`ebre}
\Definition\label{lci+surlespolynomes}
On d\'efinit une loi de composition interne $+$ sur $\K[X]$ de la mani\`ere suivante :\\
si $\dsp{P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^k}$ et $\dsp{Q=\sum_{k=0}^{+\infty}b_{k}X^k}$ sont deux \'el\'ements de $\K[X]$, on note $P+Q$ le polyn\^ome ~:\\[0.25cm]
$\dsp{P+Q=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)X+\cdots+(a_n+b_n)X^n}$.\\[-0.25cm]
\FinDefinition
\Proposition
$(\K[X],+)$ forme un groupe de neutre le polyn\^ome nul.
\FinProposition
\begin{rem}\ \\
$\Psi\nobreak:\nobreak \defapp{\K[X]}{\K^\N}{P=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n}{(a_0,a_1,\cdots,a_n,0,0,\ldots,0,\ldots)}$ est un morphisme de groupe.\\\\\\
$Im(\Psi)=\K^{(\N)}$ (les suites presque nulles). La corestriction $\Psi : \K[X] \too \K^{(\N)}$ est un isomorphisme de groupe.
\end{rem}\ \\
\Definition
On d\'efinit une loi de composition externe~ $\boldsymbol{\cdot} : \defapp{\K\times \K[X]}{\K[X]}{(\lambda,P)}{\lambda\boldsymbol{\cdot} P}$ par : si $\dsp{P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^k}$ alors\\[0.15cm]
$\dsp{\lambda\boldsymbol{\cdot} P=(\lambda a_0)+(\lambda a_1)X+\cdots+(\lambda a_n)X^n}$\\[-0.25cm]
\FinDefinition
\Proposition\label{propositionK[X]espacevectoriel}
$(\K[X],+,\boldsymbol{\cdot})$ est un $\K$-espace vectoriel.
\FinProposition
\begin{rem}
$\Psi\nobreak:\nobreak\defapp{\K[X]}{\K^{(\N)}}{P=a_0+\cdots+a_nX^n}{(a_0,\cdots,a_n,0,\ldots,0,\ldots)}$ est un isomorphisme de $\K$-ev.
\end{rem}\ \\
\begin{rem}\ \\[-0.8cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Par d\'efinition, $\K[X]$ a une base canonique~: $(1,X,X^2,\ldots,X^n,\ldots)$.
\item $\K_n[X]$ est clairement un sev de $\K[X]$ qui a aussi une base canonique~: $(1,X,X^2,\ldots,X^n)$.
\end{enumerate}
\end{rem}
\Definition \label{definitionproduitpolynomes}
Soit $\dsp{P=\sum_{k=0}^na_kX^k}$ et $\dsp{Q=\sum_{j=0}^mb_jX^j}$. \\On d\'efinit le polyn\^ome not\'e $P\times Q$ par~: $\dsp{P\times Q=\sum_{k=0}^{n+m}c_kX^k}$ avec
$c_k=\sum\limits_{i+j=k} a_ib_j = \sum\limits_{r=0}^ka_rb_{k-r}$.%\\[-0.25cm] 
\FinDefinition
\begin{notation}
Pour un polyn\^ome $P$ quelconque, on note \'evidemment $P^2=P\times P$, $P^3=P^2\times P$, etc.
\end{notation}
\thm
$(\K[X],+,\times)$ est un anneau commutatif, d'\'el\'ement unit\'e le polyn\^ome constant $1$.
\mht
\col[Structure de \mathversion{bold}{$\K$}-alg\`ebre]\label{KDeXEstUneAlgebre}
$(\K[X],+,\times,\cdot)$ forme une $\K$-alg\`ebre.
\loc
\begin{rem}
$\K_{n}[X]$ {\bf n'}est {\bf pas} un sous-anneau de $\K[X]$ pour $n\geq 1$~!
\end{rem}
\Proposition
L'anneau $\K[X]$ est int\`egre, \cad qu'un produit de deux polyn\^omes est nul \ssi un des deux facteurs est nul.
\FinProposition
\subsection{Applications polynomiales}
\Definition\label{definitionapplicationpolynomiale}
Soit $\big(\ac,+,\times,\cdot\big)$ une $\K$-alg\`ebre. Pour tout polyn\^ome $\dsp{P=\sum_{k=0}^d a_kX^k}$ de $\K[X]$ on peut consid\'erer\break\\[-0.4cm]
\newdef{l'application polynomiale associ\'ee \`a $P$ dans $\ac$}, simplement d\'efinie par~: $\widetilde{P}^{{}^\ac}\defapp{\ac}{\ac}{A}{\dsp{\sum_{k=0}^d a_kA^k}}$,\break la somme et les multiplications consid\'er\'ees dans cette expression \'etant celles de l'alg\`ebre $\ac$.${}^{{}^{}}$
\FinDefinition
\thm[Lien polyn\^ome/application polynomiale] Si $\ac\neq\{0\}$ alors $P\mapsto \tilde{P}$ est un morphisme d'alg\`ebres injectif, \cad~:
\begin{enumerate}
\item $\forall (P,Q)\in \K[X]^2,\ \forall (\lambda,\mu)\in \K^2\, \widetilde{\lambda P+\mu Q}{}^{{}^\ac}=\lambda \widetilde{P}^{{}^\ac}+\mu\widetilde{Q}^{{}^\ac}$ (lin\'earit\'e)~;
\item $\forall (P,Q)\in \K[X]^2,\ \widetilde{PQ}{}^{{}^\ac}=\widetilde{P}^{{}^\ac}\,\widetilde{Q}^{{}^\ac}$ (pr\'eservation des produits)~;
\item $\forall (P,Q)\in \K[X]^2,\ \widetilde{P}{}^{{}^\ac}=\widetilde{Q}^{{}^\ac}\Rightarrow P=Q$ (injectivit\'e). 
\end{enumerate}
\mht\ \\
\rmq
On a vu dans le corollaire \ref{KDeXEstUneAlgebre} que $(\K[X],+,\times,\cdot)$ est justement une $\K$-alg\`ebre.\\[0.2cm]
\`A tout polyn\^ome $P$, on peut donc associer une application $\widetilde{P}^{{}^{\K[X]}} : \K[X]\too\K[X]$~!
\qmr
\begin{rem}
On a donc toujours~: $P(X)=P$~!
\end{rem}
\Definition
Soient $P=\dsp{\sum_{k=0}^{+\infty} a_{k}X^k}$ et $Q\in \K[X]$.\\
On d\'efinit le polyn\^ome compos\'e $P\circ Q$, not\'e parfois simplement $P(Q)$, par~: $P\circ Q=\widetilde{P}^{{}^{\K[X]}}\big(Q\big)=\dsp{\sum_{k=0}^{+\infty} a_{k}Q^k}$.
\FinDefinition
\subsection{D\'erivation des polyn\^omes}
\Definition\ \\[-0.25cm]
Soit $\dsp{P=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\K[X]}$. \\On appelle \newdef{polyn\^ome d\'eriv\'e} de $P$ le polyn\^ome $\dsp{P'=\sum_{k=1}^da_kkX^{k-1}}$ \ie $\dsp{P'=\sum_{k=0}^{d-1}(k+1)a_{k+1}X^k}$.
\FinDefinition
\thm[Propri\'et\'es de la d\'erivation]\label{ProprietesAiseesDeLaDerivation}\ \\[-0.75cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P\mapsto P'$ est lin\'eaire, donc $P\mapsto P^{(n)}$ est lin\'eaire~;
\item $\forall (P,Q)\in\K[X],\ (PQ)'=P'Q+PQ'$, donc $\forall (P,Q)\in\K[X],\ (PQ)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} P^{(k)}Q^{(n-k)}$~;
\item $\forall (P,Q)\in\K[X],\ (P\circ Q)'=Q' \,\times\, P' \circ Q$, donc $\forall P\in\K[X],\ \forall (\alpha,\beta)\in\K^2,\ P^{(n)}(\alpha X+\beta)=\alpha^n P^{(n)}(\alpha X+\beta)$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Taylor pour les polyn\^omes]\label{ProprietesAiseesDeLaDerivation}\ \\[-0.5cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item En $0$~: $P(X)=\sum\limits_{k=0}^{\deg(P)} \dfrac{P^{(k)}(0)}{k!}X^k$.
\item En $\lambda$~: $P(X+\lambda)=\sum\limits_{k=0}^{\deg(P)} \dfrac{P^{(k)}(\lambda)}{k!}X^k$.
\item En $\lambda$ (v2)~: $P(X)=\sum\limits_{k=0}^{\deg(P)} \dfrac{P^{(k)}(\lambda)}{k!}(X-\lambda)^k$.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Propri\'et\'es du degr\'e}
\pro[Degr\'e d'une d\'eriv\'ee]
Soit $P$ un polyn\^ome. Alors on a~:\subline
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\deg(P') = \lect{\deg(P)-1\text{ si }\deg(P)\geq 1\\-\infty\text{ sinon.}}$\megasubline
\item $\deg(P^{(n)}) = \lect{\deg(P)-n\text{ si }\deg(P)\geq n\\-\infty\text{ sinon.}}$\subline
\end{enumerate}
\orp
\thm[Degr\'e d'une CL]
Soient $P$ et $Q$ deux polyn\^omes, $\lambda$ un scalaire. Alors on a~:
\begin{enumerate}
\item $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$~;
\item si $\deg(P)\neq \deg(Q)$, alors $\deg(P+Q)=\max(\deg P,\deg Q)$~;
\item si $\lambda\neq 0$, alors $\deg(\lambda P)=\deg(P)$.
\end{enumerate}
\mht
\thm[Degr\'e d'un produit]
Soient $P$ et $Q$ deux polyn\^omes. Alors on a~: $\deg(P\times Q)=\deg(P)+\deg(Q)$.
\mht
\rmq
La proposition pr\'ec\'edente montre \`a nouveau que $\K_n[X]$ n'est pas un sous-anneau de $\K[X]$ pour $n\geq 1$.\\[0.15cm]
On peut aussi l'utiliser pour retrouver l'int\'egrit\'e de $\K[X]$ en une demi-ligne~!\megasubline
\qmr
\col[Degr\'e d'une puissance]
Soit $P$ un polyn\^ome et $n\in\N$. Alors on a~: $\deg(P^n)=n\deg(P)$.
\loc
\thm[Degr\'e d'une compos\'ee]
Soient $P$ un polyn\^ome {\bf et $\mathversion{bold}{Q}$ un polyn\^ome non constant}. Alors on a~: $\deg(P\circ Q)=\deg(P)\times \deg(Q)$.
\mht
\rmq
Si $Q$ est constant il peut se produire qu'il soit une racine de $P$ et dans ce cas on a $P\circ Q=0$...
\qmr
\section{Racines}
\subsection{Division euclidienne}
\thm[Division euclidienne]
Soit $(A,B)\in \K[X]\times (\K[X]\setminus\{0\})$.\\
Alors il existe un unique couple $(Q,R)\in \K[X]^2$ tel que~:
$A=BQ+R\ \text{et}\ \deg(R)<\deg(B)$.
\mht
\Proposition[Invariance par extension de corps]
Soit $(A,B)\in \R[X]\times (\R[X]\setminus\{0\})$ $\Big($ en particulier on a $(A,B)\in \C[X]\times (\C[X]\nobreak\setminus\nobreak\{0\})$ $\Big)$.\\[0.2cm]
Le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ sont les m\^emes pour la division euclidienne dans $\C[X]$ que pour la division euclidienne dans $\R[X]$.
\FinProposition
\subsection{Racines}
\prd
Soit $P\in\K[X]$ et $\alpha\in\K$. Sont \'equivalentes :
\begin{enumerate}
\item ${P}(\alpha)=0$.
\item Le polyn\^ome $(X-\alpha)$ divise $P$.
\end{enumerate}
On dit alors que $\alpha$ est une \newdef{racine de $P$ dans $\K$.}\subline
\drp
\thm[\bf{très important}]\ \\[-0.75cm]
\begin{enumerate}
\item Un polyn\^ome de degr\'e $n\geq 0$ a au plus $n$ racines.
\item Si $P\in\K[X]$ a une infinit\'e de racines alors $P=0$.
\item Si $P\in\K_n[X]$ a $n+1$ racines alors $P=0$.
\end{enumerate}
\mht
\Definition
Un polyn\^ome $P$ de degr\'e $n$ est dit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item scind\'e lorsqu'il peut s'\'ecrire $P(X)=a_n(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n)$.
\item scind\'e \`a racines simples lorsqu'il peut s'\'ecrire $P(X)=a_n(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n)$ avec les $\lambda_i$ distincts.
\end{enumerate}
\FinDefinition\ \\[-0.25cm]
\thm[de d'Alembert-Gauss (rappel)]
{\bf Tout} polyn\^ome de $\C[X]$ est scind\'e dans $\C$.
\mht
\subsection{Relations coefficients-racines}
\pro[Cas $n=3$]
Supposons $a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$ scind\'e de racines $\lambda_{1}, \lambda_2, \lambda_3$. Alors~:~\\[0.4cm]
$\lect{
\frac{a_2}{a_3}=-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\\[0.4cm]
\frac{a_1}{a_3}=+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3)\\[0.4cm]
\frac{a_0}{a_3}=-\lambda_1\lambda_2\lambda_3
}$\subline
\orp
\thm[Cas g\'en\'eral]
Supposons $a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ scind\'e de racines $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$.\\[0.2cm]
On appelle \newdef{$k^e$ expression sym\'etrique \'el\'ementaire} le scalaire $\sigma_k=\sum\limits_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n} \lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_k}$.\\[0.2cm]
Supposons $a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ scind\'e de racines $\lambda_{1}, \lambda_2, \ldots \lambda_n$. Alors~:~\\[0.2cm]
Pour tout $0\leq i \leq n$ on a $\dfrac{a_i}{a_n}=(-1)^{n-i}\sigma_{n-i}$
\subline
\mht
\subsection{Multiplicit\'e}
\prd[Racines multiples]\label{theoremeconditionsequivalentesracinesmultiples}
Soit $P\in\K[X]\setminus\{0\}$, $\alpha\in\K$ et $r\in\N$. Les trois propositions suivantes sont \'equivalentes :
\enumeration{
\item[i.] $r=\max\{k\in \Np,\ (X-\alpha)^k\ \text{divise}\ P\}$.
\item[ii.] On peut \'ecrire $P=(X-\alpha)^rQ$ avec ${Q}(\alpha)\not=0$.
\item[iii.] ${P}(\alpha)=0,\;{P'}(\alpha)=0,\ldots,\;{P^{(r-1)}}(\alpha)=0$ et ${P^{(r)}}(\alpha)\not=0$.}\subline
Lorsqu'elles sont v\'erifi\'ees, on dit que $\alpha$ est une \textbf{racine de multiplicit\'e $r$} de $P$.\\
Pour $r=1$ on parle de racine \newdef{simple}, pour $r=2$ de racine \newdef{double}, pour $r=3$ de racine \newdef{triple}, etc.\subline\\
On parle de \newdef{racine multiple} d\`es qu'on a $r\geq 2$.
\drp
\rmq
L'exercice CCINP $n^\circ 85$ consiste essentiellement en cette question de cours~!\megasubline
\qmr
\begin{rem}
Avec la d\'efinition pr\'ec\'edente, on peut donc dire que $\alpha$ est racine de multiplicit\'e $0$ de $P$ \ssi ce n'est pas une racine de $P$ (c'est dans le programme). On peut aussi dire que tout scalaire est racine de multiplicit\'e infinie du polyn\^ome nul.\megasubline
\end{rem}
\rmq
Si $P$ est un polyn\^ome admettant des racines distinctes $\alpha_i$, pour $i\in \{1,\hdots,s\}$, de multiplicit\'es respectives $r_{i}$, alors $P$ est divisible par
$\dsp{(X-\alpha_1)^{r_1}(X-\alpha_2)^{r_2}\ldots(X-\alpha_s)^{r_s}=\prod_{i=1}^s(X-\alpha_i)^{r_i}}$.\\
\qmr
\col
Soit $n\in\N$ et $P\in\K_n[X]$.
\begin{enumerate}
\item $P$ a au plus $n$ racines {\bf compt\'ees avec leur multiplicit\'e}.
\item $P$ est scind\'e \ssi il a $n$ racines {\bf compt\'ees avec leur multiplicit\'e}.
\item Si $P$ a au moins $n+1$ racines  {\bf compt\'ees avec multiplicit\'e}, c'est le polyn\^ome nul.
\end{enumerate}
\loc
\subsection{Racines complexes d'un polyn\^ome de $\R[X]$}
\dfn
Pour $P\in\C[X]$, on appelle %\newdef{polyn\^ome conjugu\'e} 
 {\bf polyn\^ome conjugu\'e} de $P=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n$ le polyn\^ome $\overline{P}$ \subline d\'efini par $\overline{P}(X)=\overline{a_0}+\overline{a_1}X+\overline{a_2}X^2+\cdots+\overline{a_n}X^n$.\semisubline
\nfd
\rmq
La conjugaison \'etant un automorphisme de corps involutif sur $\C$ elle induit un automorphisme d'anneau involutif sur $\C[X]$. Elle est de plus compatible avec la d\'erivation et avec $P\mapsto \tilde{P}$.
\qmr
\section{Arithm\'etique dans {\mathversion{bold}{$\K[X]$}}}
\subsection{Divisibilit\'e des polyn\^omes}
\subsection{Propri\'et\'es alg\'ebriques de la divisibilit\'e}
\subsection{PGCD}
\subsection{Polyn\^omes premiers entre eux}
\rmq\ \\[-1cm]\phantom{Remarque 14~:~}~ $\overline{P}=P \Leftrightarrow P\in\R[X]$. {\bf C'est \`a \c{c}a que sert \`a la conjugaison des polyn\^omes.}\qmr

\medskip
\col
Soit $P\in\R[X]$ et $\alpha\in\C$.
\begin{enumerate}
\item $\alpha$ racine de $P$ $\Leftrightarrow$ $\overline{\alpha}$ racine de $P$.
\item $\alpha$ racine de $P$ de multiplicit\'e $k$ $\Leftrightarrow$ $\overline{\alpha}$ racine de $P$ de multiplicit\'e $k$.
\end{enumerate}
\loc

\medskip

\demo \begin{enumerate}
\item Il suffit de montrer l'implication directe par involutivit\'e de la conjugaison.\subline\\
Supposons $P(\alpha)=0$. On a $P\in\R[X]$ donc $\overline{P}=P$.\subline\\
On conjugue~: $\overline{P(\alpha)}=\overline{0}$ \ie $\overline{P}(\overline{\alpha})=0$ \ie $P(\overline{\alpha})=0$. Youpie.\subline\\
\item Il suffit de montrer l'implication directe par involutivit\'e de la conjugaison.\subline\\
$\alpha$ est racine de $P$ de multiplicit\'e $k$ signifie que $\alpha$ est racine de $P$, $P'$, $\ldots$, $P^{(k-1)}$ mais pas de $P^{(k)}$.\subline\\
On utilise le point 1. sur $P$, $P'$, $\ldots$, $P^{(k-1)}$ et sa contrapos\'ee sur $P^{(k)}$.
\end{enumerate}
\cqfd

\col
Soit $P\in\R_{2n+1}[X]$. Alors $P$ a une racine {\bf r\'eelle}.
\loc

\medskip

\demo
D'apr\`es d'Alembert-Gauss, $P$ a $2n+1$ racines complexes compt\'ees avec multiplicit\'e.\subline\\
Or $P$ est \`a coefficients r\'eels donc ses racines vont par paires avec leur conjugu\'e qui a la m\^eme multiplicit\'e.\subline\\
Montrons que l'une est r\'eelle par l'absurde~: si ce n'\'etait pas le cas on aurait un nombre pair de racines compt\'ees avec leur multiplicit\'e. C'est une contradiction.
\cqfd

\bigskip

On aurait aussi pu utiliser le TVI~!\\%, comme au CB de janvier.\\





\bigskip

Lorsqu'on a un anneau, on a une arithm\'etique (qui consiste, essentiellement, en l'\'etude de sa relation de divisibilit\'e). L'arithm\'etique d'un anneau dans lequelle on a un th\'eor\`eme de division euclidienne est essentiellement la m\^eme que celle de $\Z$~: nous allons l'illustrer ici, en prenant notre sur cours sur $\Z$ et en le recopiant. {\scriptsize Recopier, c'est le bien. Avec l'ordinateur en plus \c{c}a va vite.}


\Definition
On dit d'un polyn\^ome $B$ de $\K[X]$ qu'il \newdef{divise} un polyn\^ome $A$ de $\K[X]$, et on \'ecrit $B\mid A$, lorsqu'il existe un polyn\^ome $C$ de $\K[X]$ v\'erifiant $A=BC$. On dit alors de $B$ qu'il est un \newdef{diviseur} de $A$, et de $A$ qu'il est un \newdef{multiple} de $B$.
\FinDefinition

\nota
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble des multiples de $P$ dans $\K[X]$ se note $P\K[X]$.
\item On pourra, comme dans $\Z$, noter $D(P)$ l'ensemble des diviseurs de $P$.
\end{enumerate}
\aton


\pro[Inversibles de $\K\lceil X\rfloor$\supline]\ \\[-1.05cm] \phantom{Les inversibles de $\K[X]$ sont ces gens-l\`a~:} L'ensemble des inversibles de $\K[X]$ est $\K[X]^\times=\K^*$\subline\supline
\orp

\demo \fbox{$\supset$} Si $c\in\K^*$ alors $c$ est inversible puisque son inverse est $c^{-1}$.\subline\\
\fbox{$\subset$} Soit $P$ un polyn\^ome inversible et notons $Q$ son inverse. On a $PQ=1$ donc $\deg(PQ)=0$.\\
D'apr\`es la formule des degr\'es $\deg(P)+\deg(Q)=0$. Donc $\deg(P)=\deg(Q)=0$ et en particulier $P\in\K^*$.
\cqfd

\bigskip

\Proposition\label{propietesrelationdivisibilite}
La relation de divisibilit\'e sur $\K[X]$ est r\'eflexive et transitive mais n'est pas antisym\'etrique.\\[0.2cm]
Si on la restreint \`a l'ensemble $\uc$ des polyn\^omes unitaires de $\K[X]$, elle devient alors antisym\'etrique et est par cons\'equent une relation d'ordre sur $\uc$. Idem sur $\uc \cup \{0\}$ si on ne veut pas se priver du polyn\^ome nul.\subline
\FinProposition

\demo \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item R\'eflexivit\'e~: soit $P\in\K[X]$. On a $1\in\K[X]$ et $P=1\times P$ donc $P\mid P$.
\item Transitivit\'e~: soient $P,Q,R\in\K[X]$ et supposons $P\mid Q$ et $Q\mid R$. Il existe donc $S, T\in\K[X]$ tels que $Q=PS$ et $R=QT$, donc $R=P(ST)$ et donc $P\mid R$.
\item La relation de divisibilit\'e n'est pas antisym\'etrique sur $\K[X]$~: $3X^2\mid X^2$ et $X^2\mid 3X^2$ mais $X^2\neq 3X^2$.
\item Pla\c{c}ons-nous maintenant dans $\uc\cup\{0\}$~: soit $(P,Q)\in \big(\uc\cup\{0\}\big)^2$ et supposons $P\mid Q$ et $Q\mid P$. Il existe $S\in \K[X]$ tel que $Q=SP$ et il existe $T\in \K[X]$ tel que $P=TQ$. On en d\'eduit $P=STP$ et donc on a soit $P=0$, soit $ST=1$ par int\'egrit\'e.
\item \'Evidemment, restreindre une relation antisym\'etrique donne une relation antisym\'etrique, donc la divisibilit\'e est aussi un ordre sur $\uc$.
\end{enumerate}\ \\[-0.75cm]
\cqfd

\smallskip

On retiendra donc que \textbf{$\mathversion{bold}{\uc}$ joue dans $\mathversion{bold}{\K[X]}$ le r\^ole jou\'e dans $\mathversion{bold}{\Z}$ par $\mathversion{bold}{\N}\setminus\{0\}$}.

\smallskip
\Propdef
On dit de deux polyn\^omes $P$ et $Q$ qu'ils sont \newdef{associ\'es} lorsqu'une des propositions suivantes est v\'erifi\'ees~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $P\mid Q$ et $Q\mid P$~;
\item il existe $\lambda \in \K^*$ tel que $P=\lambda Q$.
\end{enumerate}
\FinPropdef
L'association est donc la relation d'\'equivalence canoniquement associ\'ee \`a la divisibilit\'e. La multiplication par un scalaire non nul joue dans $\K[X]$ le r\^ole jou\'e par la multiplication par $\pm 1$ dans $\Z$. On retrouve bien que $\uc$ joue dans $\K[X]$ le r\^ole jou\'e dans $\Z$ par $\N\setminus\{0\}$. On voit en particulier que tout polyn\^ome non nul est associ\'e \`a un unique polyn\^ome unitaire.

\demo
\fbox{$\Rightarrow$} Soit $(P,Q)\in \K[X]^2$ tels que $P|Q$ et $Q|P$.\\Ainsi il existe $C\in \K[X]$ tel que $P=QS$ et $T\in \K[X]$ tel que $Q=PT$.\\ On a en particulier les relations $\deg(P)=\deg(Q)+\deg(S)$ et $\deg(Q)=\deg(P)+\deg(T)$, dont on d\'eduit en r\'einjectant~: $\deg(S)+\deg(T)=0$. Et donc $\deg(S)=\deg(T)=0$.\ Ainsi $S$ est un polyn\^ome constant non nul~; en posant $\lambda=S$, on a bien $P=\lambda Q$ avec $\lambda\in \K^*$.\\[0.1cm] 
\fbox{$\Leftarrow$} $\lambda$ et $\frac{1}{\lambda}$ sont dans $\K[X]$ donc lol.
\cqfd




\pro
La divisibilit\'e est stable par~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item CL~: si $C\mid A$ et $C\mid B$ alors $C\mid AU+BV$.
\item Produit~: $\lect{\text{si $A\mid B$ alors $AC\mid BC$~;}\\
\text{si $A\mid B$ et $P\mid Q$ alors $AP\mid BQ$.}}$
\item Puissances~: si $n\in\N$ et $A\mid B$ alors $A^n\mid B^n$.
\end{enumerate}
\orp

\demo Fastoche (recopier le cours sur $\Z$).\cqfd

\pro
La divisibilit\'e est invariante par extension de corps~: si $P,\ Q\in\R[X]$ alors $P\mid Q$ dans $\R[X]$ \ssi $P\mid Q$ dans $\C[X]$.
\orp

\demo Imm\'ediat car il suffit d'utiliser le lien divisibilit\'e/division euclidienne et l'invariance de la division euclidienne par extension de corps.
\cqfd



\dfn
Soient $P$ et $Q$ dans $\K[X]$.
\begin{enumerate}
\item On dit que $D$ est {\bf un} pgcd de $P$ et $Q$ lorsque c'est un plus grand diviseur de $P$ et de $Q$ (pour la divisibilit\'e).
\item Il existe un unique pgcd unitaire (ou nul), on l'appelle {\bf le} pgcd et on le note \textsc{PGCD}$(P,Q)$ ou $P\wedge Q$.
\end{enumerate}
\nfd

\exo Reformuler cette d\'efinition.

\begin{itemize}
	\item
		\begin{itemize}
		\item $D | P$ et $D | Q$ 
		\item $\forall R\in \K[X], (R | P \text{ et } R | Q) \implies R | D$
		\end{itemize}
	\item $P \land Q = \inf_{(\uc \cup \{0\},\ |) } \{P, Q\} $
	\item $\dc(D) = \dc(P) \cap \dc(Q)$
\end{itemize}

\semisubline

\pro[Propri\'et\'es imm\'ediates du PGCD]\ \\[-0.75cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Homog\'en\'eit\'e~: si $K$ est unitaire alors $KA\wedge KB=K(A\wedge B)$~;
\item Commutativit\'e~:  $B\wedge A~=~A\wedge B$~;
\item Associativit\'e~: $(A\wedge B)\wedge C=A\wedge (B\wedge C)$.
\end{enumerate}
\orp

Pour montrer l'existence, ne faisons pas comme dans $\Z$ (on pourrait), mais utilisons l'algorithme d'Euclide.

\lem[Lemme pr\'eparatoire \`a l'algorithme d'Euclide]\ \\[-0.75cm]
\begin{enumerate}
\item Si $R$ est le reste dans la division euclidienne de $A$ par $B$ alors $A\wedge B = B\wedge R$.\subline
\item Si $D$ est unitaire, $D\wedge 0 = D$.\subline
\end{enumerate}
\mel

\demo \begin{enumerate}
\item Il suffit de montrer que les diviseurs communs \`a $A$ et $B$ sont les m\^emes que les diviseurs communs \`a $B$ et $R$. Cela provient de la stabilit\'e par CL avec les deux CL $A=BQ+R$ et $R=A-BQ$.
\item Les diviseurs communs \`a $D$ et $0$ sont juste les diviseurs de $D$ d'o\`u le r\'esultat.
\end{enumerate}
\cqfd

L'existence du \textsc{pgcd} est assur\'ee par l'algorithme d'Euclide~:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On pose $R_0=A$ et $R_1=B$.
\item Tant que $R_{n+1}\neq 0$ on d\'efinit $R_{n+2}$ comme le reste dans la DE de $R_{n}$ par $R_{n+1}$.
\item Le \textsc{pgcd} est le dernier reste non nul $R_n$ (au coefficient dominant pr\`es).
\end{enumerate}

\medskip

Reste \`a montrer la terminaison et la correction de cet algorithme.
\demo On copie le cours sur $\Z$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Terminaison~: par division euclidienne, pour tout $n\geq 1$ tel que $R_{n}\neq 0$, on a $\deg(R_{n+1})<\deg(R_{n})$. On a donc $\deg(B)=\deg(R_{1})>\deg(R_{2})>\deg(R_{3})>\cdots$. Comme il n'y a qu'un nombre fini d'\'el\'ements dans $\{-\infty\}\cup \{0,\hdots,\deg(B)\}$, il existe n\'ecessairement un rang $N\geq 2$ tel que $\deg(R_{N})=-\infty$, \cad $R_{N}=0$ et $\deg(R_{N-1})\geq 0$. D'o\`u la terminaison.
\item Correction~: on a alors, par le lemme pr\'eparatoire, $R_{n-1}\land R_{n}=R_{n}\land R_{n+1}$ pour tout $n\in\{1,\hdots,N-1\}$. Donc~:
$A\land B=R_{0}\land R_{1}=R_{1}\land R_{2}=\cdots=R_{N-2}\land R_{N-1}=R_{N-1}\land R_{N}=R_{N-1}\land 0$. Le \textsc{pgcd} est donc associ\'e \`a $R_{N-1}$.
\end{enumerate}\ \\[-0.9cm]
\cqfd

\bigskip

\exo Calculons par exemple $\big(X^6+1\big) \wedge \big(X^4+1\big)$.\\

\medskip

\thm[Th\'eor\`eme d'Eudoxe (th\'eor\`eme "sur la relation de B\'ezout")]
Si $D=A\wedge B$ alors $\exists (U,V)\in\K[X]^2,~AU+BV=D$.
\subline\supline
\mht

\medskip
Formulation moderne~: pour $D$ unitaire~: $D=A\wedge B \Leftrightarrow A\K[X]+B\K[X]=D\K[X]$.

\demo Il suffit de remonter l'algorithme d'Euclide.
\cqfd

\exo Trouvons une relation de B\'ezout pour $A=X^6+1$ et $B=X^4+1$.

\pro
Le PGCD est invariant par extension de corps~: si $P,Q\in\R[X]$ alors le \textsc{pgcd} de $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ est le m\^eme que dans $\C[X]$.
\orp

\ \\[-1.15cm]
\demo Imm\'ediat d'apr\`es le lien divisibilit\'e/division euclidienne et l'invariance de la division euclidienne par extension de corps.
\cqfd

\exo Calculons $\big(X^6-1\big)\wedge\big(X^4-1\big)$.

\medskip


\smallskip

\dfn
On dit que deux polyn\^omes $P$ et $Q$ sont premiers entre eux lorsque $P\wedge Q=1$.
\nfd

\pro
Le caract\`ere "premiers entre eux" est invariant par extension de corps~: $P,\ Q\in\R[X]$ sont premiers entre eux dans $\R[X]$ \ssi ils le sont dans $\C[X]$.
\orp


\rmq L'homog\'en\'e\"it\'e entra\^ine que si $A$ et $B$ sont non nuls et $D$ est leur \textsc{pgcd}, alors $\dfrac{A}{D}$ et $\dfrac{B}{D}$ sont premiers entre eux.
\qmr
\thm[Th\'eor\`eme de B\'ezout]
Soient $A$ et $B$ deux polyn\^omes. On a $A\wedge B=1$ $\Leftrightarrow$ $\exists (U,V),~AU+BV=1$.
\mht
\thm[Lemme de Gauss]
Si $\lect{A\wedge B=1\\A|BC}$ alors $A|C$.
\mht
\subsection{PPCM}
\dfn
Soient $P$ et $Q$ dans $\K[X]$.
\begin{enumerate}
\item On dit que $M$ est {\bf un} ppcm de $P$ et $Q$ lorsque c'est un plus petit multiple de $P$ et de $Q$.
\item Il existe un unique ppcm unitaire (ou nul), on l'appelle {\bf le} ppcm et on le note \textsc{ppcm}$(P,Q)$ ou $P\vee Q$.
\end{enumerate}
\nfd
\pro[Propri\'et\'es imm\'ediates du PPCM]\ \\[-0.75cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Homog\'en\'eit\'e~: si $K$ est unitaire alors $KA\vee KB=K(A\vee B)$~;
\item Commutativit\'e~:  $B\vee A~=~A\vee B$~;
\item Associativit\'e~: $(A\vee B)\vee C=A\vee (B\vee C)$.
\end{enumerate}
\orp
\rmq Si $A$ et $B$ sont unitaires, alors $(A\wedge B)\times(A\vee B) = A\times B$.\\
\qmr
\pro
Le PPCM est invariant par extension de corps~: si $P,Q\in\R[X]$ alors le \textsc{ppcm} de $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ est le m\^eme que dans $\C[X]$.
\orp
\subsection{Polyn\^omes irr\'eductibles}
\dfn
Un polyn\^ome $P\in\K[X]\setminus\K$ est dit irr\'eductible lorsqu'on a~:\\
$\forall (U,V)\in\K[X]^2,~P=UV ~\Rightarrow~ \lect{U\text{ inversible}\\V\text{ associ\'e \`a }P} \text{ ou } \lect{U\text{ associ\'e \`a }P\\V\text{ inversible}}$
\nfd
\thm[Th\'eor\`eme de d\'ecomposition]
Tout polyn\^ome peut s'\'ecrire comme produit de polyn\^omes irr\'eductibles, de fa\c{c}on unique \`a l'ordre des facteurs pr\`es et \`a association pr\`es.
\mht
\thm[Irr\'eductibles de $\C$]
Les irr\'eductibles unitaires de $\C[X]$ sont les polyn\^omes de degr\'e $1$.
\mht
\thm[Irr\'eductibles de $\R$]
Les irr\'eductibles unitaires de $\R[X]$ sont
\begin{itemize}
\item les $X-\lambda$,~ $\lambda\in\R$~;
\item les $X^2+bX+c$,~$\Delta<0$.
\end{itemize}
\mht
\end{document}