\input{../.headers/cours.tex}
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}


\begin{center}
\shadowbox{\LARGE \textsc{\'Equations diff\'erentielles lin\'eaires.}}\\[0.2cm]
\end{center}

{\bf Contexte}~: dans tout le chapitre, $I$ d\'esigne un intervalle non trivial, et $\K$ d\'esigne $\R$ ou $\C$.\\\\

\nota
Pour gagner un peu de place et de temps~:
\begin{enumerate}
\item[ED~:] \'Equation diff\'erentielle. 
\item[EDL~:] \'Equation diff\'erentielle lin\'eaire. 
\end{enumerate}
\aton


\smallskip
\renewcommand{\tendvers}[3]{#1\underset{#2}{\longrightarrow} #3}
\nota
Pour gagner un peu de place et de temps~:
\begin{enumerate}
\item[ED~:] \'Equation diff\'erentielle. 
\item[EDL~:] \'Equation diff\'erentielle lin\'eaire. 
\end{enumerate}
\aton
\section{G\'en\'eralit\'es sur les EDL}
\subsection{Terminologie}
\dfn[EDL sur $I$]
On appelle \newdef{EDL sur $I$} une \'equation dont l'inconnue est une fonction $y\in\dc^n$ et de la forme
$$\forall t,\ a_n(t)y^{(n)}(t)+\cdots+a_1(t)y'(t)+a_0(t)y(t)=b(t) \qquad \text{o\`u~:}$$
\begin{itemize}[$\bullet$]
\item $n\in\N$ est appel\'e l'\newdef{ordre} de l'EDL~;
\item $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\cc(I,\K)$ sont appel\'es les \newdef{coefficients} de l'EDL~;
\item $b\in\cc(I,\K)$ est appel\'e le \newdef{second membre} de l'EDL.
\end{itemize} 
\nfd
\dfn[Solution d'une EDL]
On appelle \newdef{solution locale} de l'EDL un couple $(J,y)$ avec $J$ un intervalle inclus dans $I$ et $y\in\dc^n(J,\K)$ qui v\'erifie l'\'equation (pour $t\in J$). Pour $J=I$ on parle de \newdef{solution globale}, celles qui nous int\'eressent en priorit\'e.
\nfd
\subsection{Th\'eor\`eme de Cauchy-lin\'eaire.}
\dfn[Probl\`eme de Cauchy]
On appelle \newdef{probl\`eme de Cauchy} un syst\`eme de la forme
$$\lect{y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_0(t)y(t)=b(t)\\
y(t_0)=\alpha_0\\
\vdots\\
y^{(n-1)}(t_0)=\alpha_{n-1}}$$
o\`u $t_0\in I$ et $(\alpha_0,\ldots,\alpha_{n-1})\in \K^n$. (Et o\`u les $a_i$ et $b$ sont $\dc^{n}(I,\K)$ comme d'habitude.)
\nfd
\thm[Cauchy lin\'eaire]
Un probl\`eme de Cauchy a toujours une unique solution.
\mht
\subsection{Th\'eor\`eme de structure affine}
\thm[de structure affine]
L'ensemble des solutions (globales) d'une EDL r\'esolue est un sea de direction l'ensemble des solutions de l'EDLH associ\'ee. Sa dimension est l'ordre de l'EDL.
\mht
\thm[Principe de superposition]
Soient $a_0, \ldots, a_n, b, b_1\in\dc^{n}(I,\K)$.\\[0.1cm]
Si $y_1$ est solution de $y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_0(t)y(t)=b_1(t)$~;\\[0.1cm]
et $y_2$ est solution de $y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_0(t)y(t)=b_2(t)$~;\\[0.1cm]
alors $\lambda y_1+\mu y_2$ est solution de $y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_0(t)y(t)=\lambda b_1(t) + \mu b_2(t)$.
\mht
\section{EDL du premier ordre}
\subsection{Cas r\'esolu homog\`ene}
\thm
L'ensemble des solutions globales est ${}_{......................................}$ o\`u ${}_{.......................................................................................}$.\subline
\mht
\subsection{Cas r\'esolu non homog\`ene}
\thm[Variations de la constante]
En gardant les m\^emes notations que pr\'ec\'edemment, on peut toujours trouver une solution particuli\`ere de la forme $t \mapsto K(t)\e^{A(t)}$ \`a l'aide d'un simple calcul de primitive.
\mht
\subsection{Cas non r\'esolu}
\section{EDL du second ordre \`a coefficients constants}
\subsection{Cas homog\`ene}
\dfn
On appelle \newdef{polyn\^ome caract\'eristique} de l'EDL le polyn\^ome $\Chi(X)=aX^2+bX+c$.
\nfd
\renewcommand{\i}{\mathbf{i}}
\thm[Second ordre \`a coefficients constants, cas homog\`ene]
Notons $S_H$ l'ensemble des solutions globales. 
\begin{enumerate}
\item Si $\Chi$ a deux racines $r_1, r_2$ dans $\K$ alors l'ensemble des solutions est $S_H=\Big\{t\mapsto A\e^{r_1t}+B\e^{r_2t},\ \mvect{A\\B}\in\K^2\Big\}$. 
\item Si $\Chi$ a une racine double $r_0$ dans $\K$ alors l'ensemble des solutions est $S_H=\Big\{t\mapsto (A+Bt)\e^{r_0t},\ \mvect{A\\B}\in\K^2\Big\}$.
\item Pour $\K=\R$, si $\Chi$ a deux racines complexes conjugu\'ees $\alpha+\i\,\omega$ et $\alpha-\i\,\omega$ alors on a\break $S_H=\Big\{t\mapsto \e^{\alpha t}(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)),\ \mvect{A\\B}\in\R^2\Big\}$.
\end{enumerate}
\mht
\subsection{Cas d'un second membre de la forme $P(t)\e^{\gamma t}$}
\thm
L'\'equation $ay''(t)+by'(t)+cy(t)=P(t)\e^{\gamma t}$ a toujours une solution particuli\`ere de la forme $t^\mu Q(t) \e^{\gamma t}$ o\`u~:\\
$\left \| \begin{array}{l}\mu\text{ est la multiplicit\'e de }\gamma\text{ comme racine de }\Chi\\Q\text{ est un polyn\^ome de m\^eme degr\'e que }P.\end{array} \right.$
\mht
\section{Autres \'equations diff\'erentielles}
\subsection{M\'ethode d'Euler}
\rmq M\^eme dans le cas $y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$ la m\'ethode d'Euler peut \^etre utile car \newpage
\qmr
\subsection{Changement de fonction inconnue}
\subsection{Changement de variable}
\subsection{\'Equations \`a variables s\'epar\'ees}
\end{document}