\input{../.headers/cours.tex}

\section{Méthode de Newton}

\begin{center}
\begin{description}
	\item[Condition d'arrêt] $\lnot (|f'(u)| \ge \epsilon)$
	\item[Itération] $u \leftarrow u - \frac{f(u)}{f'(u)}$
\end{description}
\end{center}

\section{Méthode de la sécante}

\begin{center}
\begin{description}
	\item[Condition d'arrêt] 
	\item[Itération] $u \leftarrow u - \tau_{u_{-1}}(u)f(u)$
\end{description}
\end{center}

\section{Pivot de Gauss}

\subsection{Descente}

\subsubsection{Recherche du pivot}

\begin{enumerate}
	\item $p \leftarrow \max \{|A[\square, j]|, \quad\square: j \to \operatorname{lignes}(A) \} $
	\item Si $p\neq j$, pour $A$ et $b$ : $[p, j] \to [j, p]$
\end{enumerate}

\subsubsection{Élimination bas}

\begin{enumerate}
	\item Pour $\square: j+1 \to \operatorname{lignes}(A)$
	\begin{itemize}
		\item Pour $A$ et $b$ : $M[] \leftarrow M[] - \dfrac{A[\square, j]}{A[j, j]} M[j]$
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Descente}

\begin{enumerate}
	\item Pour $j: 0 \to \operatorname{colonnes}(A)\ \color{red}{- 1}$ 
	\begin{itemize}
		\item $\mintinline{python}|recherche_pivot|(A, b, j)$
		\item $\mintinline{python}|élimination_bas|(A, b, j)$
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsection{Remontée}

\subsubsection{Élimination haut}

\begin{enumerate}
	\item Pour $\square: j+1 \to \operatorname{lignes}(A)$ 
	\begin{itemize}
		\item $b[] \leftarrow b[] - \dfrac{A[\square, j]}{A[j, j]} b[j]$
	\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Remontée}

\begin{enumerate}
	\item Pour $j: \operatorname{colonnes}(A)-1 \to 0$ 
		\begin{itemize}
			\item $\mintinline{python}|élimination_haut|(A, b, j)$
		\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{Solve diagonal}

\begin{enumerate}
	\item Pour $: 0 \to \operatorname{lignes}({\color{red}b})$
	\begin{itemize}
		%\item \mintinline{python}|b[_] /= A[_, _]|
		\item $b[] \ /\!\!\!= A[, ]$
	\end{itemize}

\end{enumerate}

\subsection{Gauss}

\begin{enumerate}
	\item \texttt{descente}
	\item \texttt{remontée}
	\item \mintinline{python}|return solve_diagonal(A, b)|
\end{enumerate}

\end{document}
